杭 磊，張 龍，王曉雯

（新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊830046）

1 引言和預(yù)備知識(shí)

自然環(huán)境的季節(jié)交替對(duì)生物種群具有極大影響，季節(jié)性變化的環(huán)境將影響種群的增長(zhǎng)[1-2]、種間關(guān)系[3-5]、傳染病動(dòng)力學(xué)行為[6-7]和群落結(jié)構(gòu)[8-11]等.相關(guān)學(xué)者對(duì)具有季節(jié)交替的生物種群的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了廣泛研究[1，3-7].文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[3]將一年分為“好的季節(jié)”和“壞的季節(jié)”.文獻(xiàn)[1]建立了在季節(jié)演替和脈沖擾動(dòng)下的單種群系統(tǒng)，在“好的季節(jié)”種群增長(zhǎng)較快，在“壞的季節(jié)”種群增長(zhǎng)較慢，甚至負(fù)增長(zhǎng)，得到了正周期解的存在唯一性和全局穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3]考慮具有季節(jié)演替的非自治Lotka-Volterra 競(jìng)爭(zhēng)模型，在“好的季節(jié)”兩種群互相競(jìng)爭(zhēng)，在“壞的季節(jié)”兩種群無(wú)競(jìng)爭(zhēng)，研究了平衡點(diǎn)和周期解的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[6]研究了一類(lèi)季節(jié)性的SIR 流行病模型.

考慮到種群的增長(zhǎng)方式與種間關(guān)系是隨季節(jié)變化的，文獻(xiàn)[5]建立了基于負(fù)增長(zhǎng)與Logistic 增長(zhǎng)交替進(jìn)行的兩種群競(jìng)爭(zhēng)模型

其中：m∈N；λi、ri和Ki分別為種群xi的自然死亡率、內(nèi)稟增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量；α 和β 分別為種群x1和x2的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù).模型由周期性交替的2個(gè)連續(xù)季節(jié)（S1，S2）組成：在S1（壞的季節(jié)）中，即t∈[mω，mω+（1-φ）ω]時(shí)，兩種群無(wú)競(jìng)爭(zhēng)；在S2（好的季節(jié)）中，即t∈[mω+（1-φ）ω，（m+1）ω]時(shí)，兩種群互相競(jìng)爭(zhēng).

在現(xiàn)實(shí)世界中，種群間不僅存在競(jìng)爭(zhēng)，還有捕食以及合作關(guān)系，因此本文考慮如下基于Gompertz 與Logistic 交替增長(zhǎng)的捕食-食餌模型

其中：k∈N；x為食餌種群，y為捕食者種群；正數(shù)ri、ki、ai和bi（i=1、2）分別為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、食餌的環(huán)境容納量、捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率和捕食者的死亡率，正數(shù)c1為捕食者的營(yíng)養(yǎng)轉(zhuǎn)化率；功能反應(yīng)函數(shù)φ（x）為捕食率，即每個(gè)捕食者捕獲的食餌數(shù)量.模型由2個(gè)連續(xù)季節(jié)（S1，S2）組成：在S1 中，即t∈[2kω，（2k+1）ω]時(shí)，捕食者捕食食餌；在S2 中，即t∈[（2k+1）ω，（2k+2）ω]時(shí)，捕食者不捕食食餌但有其他食物來(lái)源.

本文對(duì)模型（2）做如下假設(shè)：

（A1）當(dāng)食餌種群密度增大時(shí)，每個(gè)捕食者捕獲的食餌數(shù)量隨之增大，即捕食率函數(shù)φ（x）增大[12].因此假設(shè)φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且關(guān)于x可微，φ（0）=0.

考慮單種群模型

為方便，將模型（3）改寫(xiě)為

對(duì)模型（4）和（5）做如下假設(shè)：

引理1[1]若假設(shè)（A2）成立，則模型（4）（或（5））有唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解u0*（t）.

對(duì)于純量微分方程

有以下結(jié)論.

引理2[13]設(shè)（ft，x）和F（t，x）在平面G上連續(xù)，且滿足f（t，x）≤F（t，x），（τ，ξ）∈G.若x=φ（t）和x=Φ（t）分別為方程（6）和（7）定義在a ＜t ＜b上的唯一解，則有φ（t）≤Φ（t），τ≤t ＜b.

容易看出，模型（2）任意具有正初始條件（x（0），y（0））的解（x（t），y（t））在（0，+∞）內(nèi)恒正.

2 主要結(jié)果

2.1 有界性

定理1設(shè)（A1）和（A2）成立，則存在常數(shù)M＞0，使得模型（2）的任意正解（x（t），y（t））滿足

證明令（x（t），y（t））為模型（2）的任意正解. 當(dāng)t≥0 時(shí)，有

考慮如下輔助方程

由引理2 可得x（t）≤u（t），t≥0，其中u（t）為方程（10）的解，且u（0）=x（0）.由引理1 知，方程（10）存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解因此，對(duì)于任意常數(shù)β1＞0，存在常數(shù)T1＞0，使得

故有

所以，由模型（2）及（A1）可得

由引理2 可得y（t）≤v（t），v（t）為下列輔助方程的解，且v（0）=y（0）.

其中：

所以

令M=max{M1，M2}，則有

證畢.

由（A1）及Lagrange 中值定理[14]可得，存在ξ1∈（0，x（t）），使得

考慮模型

對(duì)于模型（17），進(jìn)一步做如下假設(shè)：

推論設(shè)（A3）成立，則模型（16）存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解且其中為模型（4）的唯一周期解.

證明由引理1 知，模型（16）存在唯一正周期解由于方程（17）右端關(guān)于z（t）滿足局部Lipschitz條件，根據(jù)常微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性[13]，可知方程（17）的任意解z（t，t0，z0，ξ）（z0= x0）關(guān)于（t0，z0，ξ）是連續(xù)的.進(jìn)而可得模型（16）的唯一正周期解關(guān)于參數(shù)ξ 連續(xù).因此有證畢.

2.2 持久性

定理2設(shè)（A1）～（A3）成立，a1≥a2，且

則模型（2）是持久的，即存在常數(shù)M ＞m ＞0，使得模型（2）的任意正解（x（t），y（t））滿足

證明由定理1，只需證明存在常數(shù)m ＞0，使得對(duì)于模型（2）的任意正解（x（t），y（t）），存在常數(shù)當(dāng)時(shí)，有x（t）≥m，y（t）≥m.

先證明x（t）持久.設(shè)（x（t），y（t））為模型（2）的任意正解，由定理1，存在常數(shù)T2＞T1，使得

當(dāng)t≥T2時(shí), 由Lagrange 中值定理知, 存在常數(shù)ξ1∈（0，x（t）），使得

由模型（2），當(dāng)t≥T2時(shí)，有

x（t）持久性得證.

下面證明y（t）持久.由條件（18），可選取充分小的常數(shù)ε0＞0，使得

由推論知

因此，對(duì)于上述常數(shù)ε0，存在常數(shù)ξ0＞0，使得

其中u（t）為模型（16）中當(dāng)ξ=ξ0時(shí)的正解，且u（t0）=u0.進(jìn)一步得

選取充分小的ε1，ε1≤ε0.考慮y（t），y（t）存在下列3種情況：

情況1存在常數(shù)使得y（t）≤ε1，t≥T*.

情況2存在常數(shù)使得y（t）≥ε1，t≥T*.

情況3存在區(qū)間列{[sn，tn]}，滿足T2≤s1＜t1＜s2＜t2＜…＜sn＜tn＜…，且使得當(dāng)tn]時(shí)，y（t）≤ε1，y（sn）=y（tn）=ε1，當(dāng)時(shí)，y（t）≥ε1.

對(duì)于任意整數(shù)k≥0，取t∈[T3+2kω，T3+（2k+1）ω]，其中對(duì)不等式（28）由T3到t 積分可得

再考慮情況3.對(duì)于任意t≥T2，當(dāng)時(shí)，對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，有t∈[sn，tn].

則對(duì)任意t∈[sn，tn]，有

最后考慮情況2.由y（t）≥ε1，t≥T*可得

綜上,對(duì)于模型（2）的任意正解y（t），由式（34）～式（35）可得持久性得證.證畢.

3 數(shù)值模擬

在模型（2）中，令r1=0.5，r2=0.25，k1=10，k2=5，a1=0.6，a2=0.5，b1=0.1，b2=0.1，φ（s）=顯然，a1=0.6 ＞a2=0.5.計(jì)算得

因此，由定理2 知模型（2）是持久的.取3 組初始條件為（x（0），y（0））=（2.5，5.5）、（1.5，6.5）、（3.5，7.5）.圖2給出了模型（2）中x（t）和y（t）的圖像.

圖1 單種群的周期解圖像Fig.1 Image of periodic solution for the single population

圖2 模型（2）中x（t）和y（t）的圖像Fig.2 Images of x（t）and y（t）for Model（2）

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了具有一般功能反應(yīng)的季節(jié)交替的捕食-食餌系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)的有界性和持久性等結(jié)果.在生態(tài)環(huán)境治理過(guò)程中，可利用系統(tǒng)有界性和持久性條件制定相應(yīng)措施，以保證生物資源的可持續(xù)再生，達(dá)到保護(hù)生態(tài)系統(tǒng)多樣性的目的.