陸 曉，吳 云，楊 侃，湯梓杰

(1.河海大學水文水資源學院，南京 210098；2.山西水利職業(yè)技術學院，山西 運城044004)

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展以及人口的增長，人們對水資源的需求愈來愈大，區(qū)域水資源緊缺問題日益突出。在不能完全滿足區(qū)域用水的條件下，考慮水庫調度并對有限水資源進行合理優(yōu)化配置就顯得尤為重要。近年來，啟發(fā)式智能算法逐漸被用于優(yōu)化調度中，如遺傳算法(GA)[1]、粒子群算法(PSO)[2]、差分進化算法(DE)[3]和蟻群算法(ACO)[4]等，都取得了較好的效果。

布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)[5]是劍橋大學學者Yang Xinshe近年來提出的一種新的智能優(yōu)化算法，得益于其參數(shù)少、操作簡單和魯棒性強，已被成功用于諸多領域。隨后，Yang通過引入支配關系和非支配集的概念，構建了多目標布谷鳥算法(Multi-objective Cuckoo Search，MOCS)[6]，將算法拓展到多目標領域。2014年，宋玉堅等[7]引入了非均勻變異算子和差分進化算子對多目標布谷鳥算法進行改進，并用于資源均衡優(yōu)化問題；2015年，賀興時等[8]對傳統(tǒng)的基于Pareto支配關系的適應度函數(shù)進行了改進，并提出了基于小生境技術的逐步檔案縮減法，保證了解的均勻性；2017年，馬藝元等[9]針對標準算法迭代后期尋優(yōu)速度慢、易陷入局部解等缺點，提出了結合混沌理論和云模型的多目標布谷鳥算法，通過函數(shù)仿真結果證明了該算法的優(yōu)越性；2018年，張鑫帥等[10]改進了布谷鳥的局部隨機游走策略及自適應發(fā)現(xiàn)概率，并增加了檔案管理機制，之后將其應用于翼型的多目標氣動優(yōu)化設計中，得到了很好的效果；2019年，楊歡紅等[11]通過設置動態(tài)發(fā)現(xiàn)概率和步長，將改進的多目標布谷鳥算法用于微電網(wǎng)調度，克服了原算法的“早熟”現(xiàn)象。目前，雖然多目標布谷鳥算法逐漸受到廣泛關注，但仍處于起步階段，在水庫調度與水資源配置方面的應用較少，對于如何實現(xiàn)區(qū)域水資源的多目標優(yōu)化問題，布谷鳥算法將是一種新的求解思路。

本文針對布谷鳥算法容易陷入局部最優(yōu)解、收斂速度不理想等缺陷，從混沌種群初始化、自適應發(fā)現(xiàn)概率和步長及外部檔案集維護等方面對MOCS進行改進，并將改進后的算法(IMOCS)應用于山西省同朔供水區(qū)的水資源優(yōu)化配置中，為該區(qū)域提供了可行可靠的配置方案，并為解決此類優(yōu)化調度問題提供了行之有效的新途徑。

1 水資源優(yōu)化配置模型

為了實現(xiàn)區(qū)域水資源的高效利用以及促進地區(qū)生態(tài)文明，本文從供水和生態(tài)兩個目標入手建立數(shù)學模型。

1.1 目標函數(shù)

(1)供水單元缺水量最小。

(1)

(2)控制斷面河道最小生態(tài)流量總缺水量最小。

(2)

式中：Dit,1為規(guī)劃水平年第i區(qū)間第t時段的需水量；Sit,1為規(guī)劃水平年第i區(qū)間第t時段的實際供水量；Dit,2為規(guī)劃水平年第i區(qū)間第t時段的河道內生態(tài)需水量，可采用最枯月平均流量法計算得到；Sit,2為規(guī)劃水平年第i區(qū)間第t時段的實際河道內生態(tài)用水量；i=1,2,…,N，t=1,2,…,T，N為水庫個數(shù)，T為供水時段數(shù)。

1.2 約束條件

(1)水量平衡約束：

Vwt=Vw,t-1+(Iwt-qwt) Δt

(3)

(2)水庫水位約束：

Zwt,min≤Zwt≤Zwt,max

(4)

(3)水庫下泄能力約束：

qwt,min≤qwt≤qwt,max

(5)

(4)水庫蓄水量約束：

Vwt,min≤Vwt≤Vwt,max

(6)

(5)變量非負約束：所有變量均為非負量。

式中：Vw,t-1、Vwt為第w水庫t時段初、末的庫容；Iwt為第w水庫第t時段的入庫流量；qwt為w水庫第t時段的下泄流量；Zwt,min、Zwt,max為w水庫t時段允許的最小、最大水位；qwt,min、qwt,max為w水庫t時段最小、最大下泄流量；Vwt,min、Vwt,max為w水庫t時段的最小、最大蓄水量。

2 改進的多目標布谷鳥算法

2.1 標準多目標布谷鳥算法

布谷鳥搜索算法(Cuckoo Search, CS)是通過模擬布谷鳥產(chǎn)蛋行為生成的一種新型智能算法，其搜索機制基于萊維飛行。后來，針對k維多目標優(yōu)化問題，Yang等又在CS算法基礎上提出了MOCS算法，將布谷鳥算法推廣至多目標領域。在MOCS中，Yang重新修改了CS中的三條準則[6]，使其滿足k個目標的需求：①每只布谷鳥一次產(chǎn)k個蛋，并將這k個蛋隨機放入一個鳥巢，第k個蛋代表著第k個目標；②擁有高質量的蛋的鳥巢會保留至下一代；③每個鳥巢中的蛋都有pa的概率被丟棄，并根據(jù)蛋之間的相似性重新生成一個鳥巢。

該算法中，第一條準則意味著隨機化的過程，新解可以通過萊維飛行或隨機游走產(chǎn)生；第二條準則意味著精英策略，有助于算法收斂；第三條準則意味著變異過程，差解被丟棄并生成新解。這三條準則保證了算法的有效性，使之能向最優(yōu)解收斂。

在此基礎上，基于萊維飛行的鳥巢位置更新公式如下：

(7)

其中，u和v服從正態(tài)分布。

(8)

式中：Γ為標準的Gamma函數(shù)；β一般取1.5。

此外，MOCS的另一種更新方式是根據(jù)發(fā)現(xiàn)概率Pa與隨機生成的數(shù)r之間大小來決定是否生成新解，其更新公式如下：

xi,t+1=xi,t+γH(Pa-r)⊕[xj,t-xk,t]

(9)

式中：γ和r二者均服從均勻分布，γ,r∈U[0,1]；xi,t、xj,t、xk,t分別為第t代中3個不同的隨機個體；H為赫威賽德函數(shù)。

標準MOCS算法的偽代碼可參考文獻[6]。

2.2 改進的多目標布谷鳥算法

在MOCS基礎上，本文針對算法搜索性能、收斂速度及求解效率對原算法進行了以下3方面的改進：通過對種群進行混沌初始化，保證了初始種群的多樣性和均勻性，為全局搜索奠定了良好的基礎；根據(jù)外部檔案集的更新情況，動態(tài)調整發(fā)現(xiàn)概率pa和步長α，有助于算法跳出局部最優(yōu)解；利用3-點最短路徑法對外部檔案集進行實時更新和精簡，有效提高算法的運行效率，保證最優(yōu)解的輸出。

2.2.1 混沌初始化

MOCS中，初始種群的生成采用隨機方式，這有可能導致種群分布不均，也有可能產(chǎn)生大量劣解，導致算法收斂過慢，影響算法性能。混沌是由確定性方程得到的具有隨機性的運動狀態(tài)，是一種非線性現(xiàn)象，具有隨機性、遍歷性、規(guī)律性、對初始條件的敏感性等優(yōu)點[12]。融入混沌原理的特點，能夠有效提高種群多樣性，又不失個體隨機性，為進一步進行有效全局搜索提供基礎。

本文采用Logistic映射對種群進行混沌初始化，其表達式為：

(10)

式中：μ為控制變量，當μ=4時，Logistic映射完全處于混沌狀態(tài)，本文利用混沌迭代生成布谷鳥的初始鳥窩位置，然后再進行優(yōu)化搜索，步驟如下：

step3：將產(chǎn)生的N個混沌變量按下式映射到解的搜索空間：

(11)

式中：Ud和Ld分別為搜索空間第d維的上下限；yid為利用式(11)產(chǎn)生的第i個鳥巢在搜索空間第d維；xid即為第i個鳥巢在搜索空間第d維的坐標。

2.2.2 自適應發(fā)現(xiàn)概率和步長

MOCS中，發(fā)現(xiàn)概率和步長是一個非常重要的參數(shù)，一般被設為固定值，但這不利于提高局部搜索精度。國內外不少學者，如楊歡紅[11]、畢曉君[13]等都將發(fā)現(xiàn)概率和步長改為動態(tài)的，一般都是將發(fā)現(xiàn)概率調整為線性的，步長調整為連續(xù)的指數(shù)函數(shù)，即隨著迭代次數(shù)的增加，發(fā)現(xiàn)概率和步長是不斷減小的，這雖然提高了算法的收斂速度，但沒有考慮到所有情況。當外部歸檔集沒有更新時，即意味著算法沒有搜尋到更優(yōu)秀的解，此時若繼續(xù)減小概率和步長，很容易導致算法陷入局部最優(yōu)解，不利于其跳出局部搜索。因此本文分情況考慮對發(fā)現(xiàn)概率和步長進行改進。

在迭代初期，本文將參數(shù)pa和α設為較大的值，保證解向量的多樣性；若第m代的外部檔案集Archive(m)沒有更新，則依舊采用第m-1代的發(fā)現(xiàn)概率和步長；若有更新，則意味著算法搜尋到了更優(yōu)解，此時適當減小pa和α，幫助算法局部尋優(yōu)，提高搜索精度；當?shù)揭欢ù螖?shù)，pa或α達到最小值時，保持最小值不變繼續(xù)迭代，以防止發(fā)現(xiàn)概率和步長過小導致算法陷入局部最優(yōu)。

(12)

(13)

2.2.3 外部檔案集的生成與維護

MOCS中，Yang引入了支配解與非支配解的概念，比較新解與舊解，保留支配關系最好的一組解，并將非支配存入外部檔案集中。但外部檔案集存在一定的容量，當Pareto最優(yōu)解超過其最大容量限制時需要對其進行裁剪，因此需要有合理的檔案刪除和保留機制。本文參考文獻[14]中的方法，利用3-點最短路徑法保證非支配解的均勻性和多樣性。規(guī)則如下：

選定第i個點，設為i1，尋找出與其距離最近的點，設為i2，計算出它們之間的距離為Di1,i2；繼續(xù)尋找出距i2最近的點，設為i3，計算出i2、i3之間的距離為Di2,i3。此時i1點的3-點最短路徑值為：

Di1=Di1,i2+Di2,i3-|Di1,i2-Di2,i3|

(14)

(i1≠i2≠i3)

從公式可以看出，被評估的解點獲得的距離值越大則證明其越稀疏，并且分布均勻的解點獲得的距離值要大于分布不均的解點的距離值，按照距離值排序可有效維護外部檔案集。

2.2.4 IMOCS計算流程

具體流程如圖1所示。

圖1 IMOCS算法流程圖Fig.1 The flow diagram of IMOCS algorithm

3 實例研究

同朔供水區(qū)屬于“山西大水網(wǎng)”建設的第一橫，位于山西省北部，該區(qū)域本身水量不足，再加上隨著經(jīng)濟的發(fā)展，水資源緊缺的問題日益嚴重，合理高效配置水資源迫在眉睫。同朔供水區(qū)主要涉及12個區(qū)縣，經(jīng)簡化合并后形成7個供水片區(qū)；供水區(qū)內的主要河流為桑干河，屬于海河流域永定河水系，區(qū)域內可供調度的水庫為東榆林水庫、孤山水庫和文瀛湖水庫，其中東榆林水庫位于桑干河上游，屬于中型水庫，孤山水庫和文瀛湖水庫位于御河，孤山水庫屬于小(Ⅰ)型水庫，文瀛湖水庫屬于中型水庫，這3個水庫進行聯(lián)合調度。供水區(qū)域及供水路線如圖2所示。

依據(jù)2018年同朔盆地供水區(qū)的需水、當?shù)毓┧⑺畮烊肓骷耙{水情況，以2018年為現(xiàn)狀年，對2025年進行規(guī)劃，在考慮引調水和不考慮引調水兩種情境下，分別對保證率為50%、75%和95% 3種不同情況應用改進的多目標布谷鳥算法求解水庫群供水優(yōu)化調度模型。采用Matlab編寫，應用文獻[15]中的多目標決策方法，得出各情境下最優(yōu)調度方案，水庫調度過程如圖3所示，配置結果如表1、表2和表3所示。

由調度結果可知，平水年時天然來水較多，能夠滿足部分農業(yè)用水，此時整體需水量較小。而在枯水年和特枯水年的農業(yè)用水需求更大，總需水量增加明顯。平水年、枯水年和特枯水年時供水區(qū)都出現(xiàn)了不同程度供水不足的現(xiàn)象，且存在不同程度的河道生態(tài)缺水。當考慮萬家寨引黃工程后，供水區(qū)可供水量增加，缺水現(xiàn)象得到緩解，能夠基本滿足供水和生態(tài)要求。萬家寨引黃工程在促進供水區(qū)經(jīng)濟發(fā)展以及保護其生態(tài)環(huán)境方面具有重要意義。

圖2 同朔供水區(qū)分區(qū)及供水路線示意圖Fig.2 Schematic diagram of water resource system in Tongshuo water supply area

圖3 不同情況下2025年各水庫調度過程線Fig.3 Water level of reservoirs in 2025 under different scenarios

4 結 語

針對傳統(tǒng)多目標布谷鳥算法，本文用混沌映射進行種群初始化、改進自適應步長和發(fā)現(xiàn)概率和通過3-點最短路徑法進行檔案集的刪除和保留，從而構建IMOCS方法。對于考慮供水和生態(tài)目標的水資源配置問題，以同朔供水區(qū)為例，用IMOCS方法進行求解。調度結果驗證了該算法的合理性，同時表明萬家寨引黃工程對改善供水區(qū)的水資源問題具有重要意義。

表1 同朔供水區(qū)2025年平水情況下年水量調度方案 萬m3

表2 同朔供水區(qū)2025年枯水情況下年水量調度方案 萬m3

表3 同朔供水區(qū)2025年特枯情況下年水量調度方案 萬m3

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