強旭紅，陳 歡，姜 旭，席永慧，陳武龍

（1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

1 研究背景

鋼結構梁柱端板連接節(jié)點具有較高的承載力、一定的延性和較好的抗震耗能能力，是多高層鋼結構與鋼結構廠房中常用的裝配式節(jié)點形式之一［1］。它屬于半剛性節(jié)點，常采用組件法［2］研究。我國和歐洲現(xiàn)行鋼結構設計規(guī)范都建議采用節(jié)點的彎矩-轉角（M-θ）曲線作為半剛性框架結構設計分析的依據［3-4］。端板連接節(jié)點的典型M-θ曲線如圖1所示。節(jié)點力學性能的主要指標包括：①初始剛度kini；②抗彎承載力My；③抗彎承載力對應的轉角θy；④屈服后剛度kp；⑤抗彎極限承載力Mmax；⑥抗彎極限承載力對應的轉角θmax；⑦極限轉角Фc。

我國鋼結構設計標準［4］規(guī)定：在內力分析時，應假定半剛性連接節(jié)點的M-θ曲線，并在節(jié)點設計時，保證其構造與假定的M-θ曲線符合。因此，探究半剛性節(jié)點M-θ曲線的數(shù)學表達，對于內力分析和節(jié)點設計非常必要。最簡單的數(shù)學表達莫過于線性模型，其包括單線性、雙線性和多線性3種形式。單線性模型采用節(jié)點的初始剛度kini表征節(jié)點全部加載范圍的力學特性；雙線性模型在某一彎矩處，采用更小的剛度代替連接的初始剛度［5-9］；多線性模型則采用一組直線來逼近節(jié)點非線性的M-θ曲線。雙線性和多線性模型更接近節(jié)點的實際力學行為，但在轉折點處剛度存在突變，容易造成計算不收斂。總的來說，線性模型過于簡單，很難準確描述M-θ曲線的非線性段，即圖1中的BE段，而OA為線性段。

圖1 端板連接節(jié)點的M-θ曲線Fig.1 M-θ curve of endplate connection

為尋求節(jié)點M-θ曲線更準確的數(shù)學表達，F(xiàn)rye等［10］提出了奇次方多項式數(shù)學模型；Jones等［11-12］采用B樣條曲線對節(jié)點的M-θ曲線進行擬合，保證了曲線在交點處一、二階導數(shù)連續(xù)；Kishi等［13］和Attiogbe等［14］分別提出了三參數(shù)和四參數(shù)冪函數(shù)模型；郭兵等［15-16］提出了兩參數(shù)指數(shù)模型；Wu等［17］提出了三參數(shù)指數(shù)模型，來描述頂、底角鋼連接或帶雙腹板角鋼的頂、底角鋼連接的M-θ曲線；Yee等［18］針對端板無加勁肋的外伸式端板連接提出了四參數(shù)指數(shù)模型，參數(shù)分別為節(jié)點的初始剛度kini、屈服后剛度kp、抗彎極限承載力Mmax和形狀參數(shù)c，如下式：

因此，現(xiàn)有研究針對節(jié)點M-θ曲線提出的數(shù)學模型主要有：線性模型、多項式模型、B樣條模型、冪函數(shù)模型和指數(shù)模型。

目前，對于高強鋼的定義，歐洲鋼結構設計規(guī)范Eurocode 3（EC3）［19］定義高強鋼的名義屈服強度不小于460 MPa；澳大利亞規(guī)范AS 4100［20］定義高強鋼的名義屈服強度大于450 MPa；香港規(guī)范［21］定義高強鋼的名義屈服強度在460～690 MPa之間；我國國家標準《鋼分類》［22］定義屈服強度大于等于420 MPa的鋼材為高強鋼。

高強鋼已經在國內外土木工程中得到較廣泛應用［23］，但因其力學性能與普通鋼材存在差異，高強鋼端板連接節(jié)點的力學性能也與普通鋼端板連接節(jié)點不同。另一方面，高溫會使鋼材性能發(fā)生退化，火災對鋼結構建筑的影響一直是鋼結構研究領域的一個關鍵問題［23］。然而，上述已有研究中節(jié)點M-θ曲線的數(shù)學模型僅針對普通鋼常溫時的情況。Al-Jabri等［24］對普通鋼端板連接節(jié)點高溫試驗研究成果進行了總結，并采用Ramberg-Osgood模型擬合了不同溫度下節(jié)點M-θ曲線；王衛(wèi)永等［25］在Yee等［18］研究的基礎上，通過引入鋼材高溫下力學性能折減系數(shù)，以式（1）為基礎，提出了普通鋼端板連接節(jié)點火災下M-θ曲線的數(shù)學模型。然而，目前高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后M-θ曲線的數(shù)學模型尚未見報道。

本文提出了高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的初始剛度kini、屈服后剛度kp和抗彎極限承載力Mmax的計算方法，與作者前期的試驗結果［26-29］進行對比，驗證了所提kini和Mmax計算方法的準確性；將計算得到的kini、kp、Mmax和c代入式（1），得到節(jié)點M-θ曲線的預測結果，將其與試驗結果作對比，驗證了kp和c計算方法的準確性，以及采用式（1）預測高強鋼端板連接節(jié)點M-θ曲線的合理性。

2 初始剛度計算方法

2.1 各組件初始剛度計算方法

根據組件法，將節(jié)點拆分為多個基本組件，每個組件采用線性或非線性彈簧模擬，通過彈簧的串、并聯(lián)組合計算，獲得節(jié)點整體的力學行為［2］，如圖2所示。EN 1993—1-8［3］采用等效T型連接模擬端板連接節(jié)點受拉區(qū)的力學行為，根據EN 1993—1-8［3］，T型連接的失效模式有3種：翼緣在螺栓處和腹板處屈服（失效模式1）、翼緣在腹板處屈服的同時螺栓拉斷（失效模式2）和螺栓拉斷（失效模式3），如圖3所示。圖中，Ty為外荷載作用，Q為撬力，Mp為端板的全截面塑性抗彎承載力，B為螺栓受到的拉力，By為螺栓的屈服承載力，n為螺栓軸線至翼緣板邊緣的距離，m為螺栓軸線至翼緣板根部的距離。為計算端板連接節(jié)點的初始轉動剛度kini，需求得以下組件的初始剛度：①柱腹板抗壓剛度kcw，C；②柱腹板抗剪剛度kcw，v；③柱腹板抗拉剛度kcw，T；④柱翼緣抗彎剛度kcf；⑤端板抗彎剛度kep；⑥螺栓抗拉剛度kb。

圖2 初始剛度的計算模型Fig.2 Calculation model for initial stiffness

圖3 T型連接的失效模式Fig.3 Failure mode of T-stubs

2.1.1 柱腹板抗壓剛度kcw，C

對于無橫向加勁肋的柱腹板，EN 1993—1-8［3］給出其抗壓剛度kcw，C的計算方法為

式中：E為材料的彈性模量；hcw為柱腹板的高度，hcw=hc-2tcf；hc為柱截面高度；tcf為柱翼緣厚度；tcw為柱腹板厚度；bcw，C，eff為柱腹板受壓區(qū)的有效高度，若為熱軋型鋼柱，其計算方法為

若為焊接型鋼柱，其計算方法為

式（3）、（4）中：tbf為梁翼緣厚度；tep為端板厚度；hf，ep為鋼梁與端板連接焊縫的有效高度；hf，cf為柱翼緣與腹板連接焊縫的有效高度；rc為柱翼緣根部半徑。

對于有橫向加勁肋的柱腹板，文獻［30］給出其抗壓剛度計算方法為

式中：ts為橫向加勁肋的厚度；bs為橫向加勁肋的寬度。

2.1.2 柱腹板抗拉剛度kcw，T

與柱腹板抗壓剛度的計算方法相似，對于無橫向加勁肋的柱腹板，其抗拉剛度kcw，T的計算方法為

式中：bcw，T，eff為柱腹板受拉區(qū)的有效高度，bcw，T，eff=hcw-bcw，C，eff。若為熱軋型鋼柱，其計算方法見式（3）；若為焊接型鋼柱，其計算方法見式（4）。

對于有橫向加勁肋的柱腹板，其抗拉剛度計算方法為

2.1.3 柱腹板抗剪剛度kcw，v

EN 1993—1-8［3］給出柱腹板抗剪剛度kcw，v的計算方法為

式中：hbf為梁上、下翼緣中心間的距離，hbf=hb-tbf；hb為梁截面高度。

2.1.4 端板抗彎剛度kep

采用作者前期基于連續(xù)梁模型推導的考慮螺栓抗彎剛度的T型連接初始剛度計算方法［31-33］計算端板的抗彎剛度，對于螺栓無預緊力的端板連接節(jié)點，其端板抗彎剛度kep的計算方法為

式中：lep為與端板等效的T型連接的連續(xù)梁模型的梁長；Iep為梁模型的截面慣性矩；leff，ep為梁模型塑性鉸線的計算長度；mep為與端板等效的T型連接的螺栓軸線至翼緣根部的距離；nep為梁模型中用于模擬螺栓的彈簧至支座約束的距離；kb和kbb分別為螺栓的軸向剛度和抗彎剛度。mep及l(fā)eff，ep的確定方法見EN 1993—1-8［3］；nep根據文獻［32］給出的n的確定方法計算得到。

對于螺栓有預緊力的端板連接節(jié)點，需依據文獻［33］求得栓板單元的割線剛度kbs，將kbs替代kb代入式（9），即可求得螺栓有預緊力的端板連接節(jié)點的端板抗彎剛度。

2.1.5 柱翼緣抗彎剛度kcf

與端板抗彎剛度的計算方法相似，對于螺栓無預緊力的端板連接節(jié)點，其柱翼緣抗彎剛度kcf的計算方法為

式中：lcf為與柱翼緣等效的T型連接的連續(xù)梁模型的梁長；Icf為梁模型的截面慣性矩；leff，cf為梁模型塑性鉸線的計算長度；mcf為與柱翼緣等效的T型連接的螺栓軸線至翼緣根部的距離；ncf為梁模型中用于模擬螺栓的彈簧至支座約束的距離。mcf及l(fā)eff，cf的確定方法見EN 1993—1-8［3］；ncf根據文獻［33］給出的n的確定方法計算得到。

對于螺栓有預緊力的端板連接節(jié)點，可依據文獻［33］求得栓板單元的割線剛度kbs，將kbs替代kb并代入式（10），即可求得螺栓有預緊力的端板連接節(jié)點的柱翼緣抗彎剛度。

2.1.6 螺栓抗拉剛度kb

由于采用基于連續(xù)梁模型推導的T型連接初始剛度計算方法［31-33］計算端板和柱翼緣的抗彎剛度，計算得到的端板和柱翼緣抗彎剛度中已包含螺栓的抗拉剛度，因此無需單獨計算螺栓的抗拉剛度。

2.2 節(jié)點初始剛度的計算方法

對于常用的梁受拉翼緣上、下各一排螺栓的端板連接節(jié)點，其各排螺栓處的等效抗拉剛度kTS，i為

式中：kep，i為第i排螺栓處的端板抗彎剛度；kcf，i為第i排螺栓處的柱翼緣抗彎剛度；kcw，T，i為第i排螺栓處的柱腹板抗拉剛度。

在彎矩M作用下，可建立如下平衡方程：

式中：hi為第i排螺栓的螺栓軸線至梁下翼緣中面的距離；keq為等效抗拉彈簧的剛度；heq為等效抗拉彈簧距梁下翼緣中面的距離。

聯(lián)立式（12）和（13）可得

在heq處，由于柱腹板受拉、柱翼緣受彎、端板受彎和螺栓受拉而產生的變形δT為

柱腹板受壓產生變形δC為

柱腹板由于剪切變形而在heq高度范圍內產生的變形量δv為

由式（16）～（18）可得節(jié)點的轉角θ為

綜上可得，節(jié)點初始剛度kini為

3 抗彎極限承載力計算方法

3.1 各組件抗彎極限承載力計算方法

端板連接節(jié)點的抗彎極限承載力取決于節(jié)點中最薄弱組件的極限承載力，故為計算節(jié)點的抗彎極限承載力，需計算：①柱腹板抗拉極限承載力Fcw，T，u；②柱腹板抗壓極限承載力Fcw，C，u；③柱腹板抗剪極限承載力Fcw，v，u；④柱翼緣抗彎極限承載力Tcf，u；⑤端板抗彎極限承載力Tep，u；⑥螺栓抗拉極限承載力Bu。

3.1.1 柱腹板抗壓極限承載力Fcw，C，u

對于無橫向加勁肋的柱腹板，其抗壓極限承載力Fcw，C，u的計算方法為

對于有橫向加勁肋的柱腹板，其抗壓極限承載力Fcw，C，u的計算方法為

式中：fu為節(jié)點所用鋼材的抗拉強度；fus為加勁肋所用鋼材的抗拉強度。

3.1.2 柱腹板抗拉極限承載力Fcw，T，u

對于無橫向加勁肋的柱腹板，其抗拉極限承載力Fcw，T，u的計算方法為

對于有橫向加勁肋的柱腹板，其抗拉極限承載力Fcw，T，u的計算方法為

3.1.3 柱腹板抗剪極限承載力Fcw，v，u

柱腹板抗剪極限承載力Fcw，v，u的計算方法為

式中：hcw為柱腹板的高度，hcw=hc-2tcf；hc為柱截面高度；tcf為柱翼緣厚度；tcw為柱腹板厚度。

3.1.4 端板抗彎極限承載力Tep，u

根據 EN 1993—1-8［3］，節(jié)點受拉區(qū)端板對應失效模式1和模式2（如圖3a和3b所示）的抗彎承載力Tep，y，f1和Tep，y，f2的計算方法為

式中：Mp，ep為端板的全截面塑性抗彎承載力；fby為螺栓鋼材屈服強度；As為螺栓的凈截面面積；leff，ep為塑性鉸線的計算長度；mep和nep，r分別為與端板等效的T型連接的螺栓軸線至翼緣根部的距離和螺栓軸線至翼緣邊緣的距離。mep、nep，r及l(fā)eff，ep的確定方法見EN 1993—1-8［3］。

其抗彎承載力Tep，y取Tep，y，f1和Tep，y，f2中的較小值，即

若考慮螺栓頭與端板接觸面之間的均布面應力對節(jié)點承載能力的影響，則節(jié)點受拉區(qū)端板對應失效模式1的抗彎承載力為

式中：dw為螺栓墊片的直徑。

Jaspart［34］和Piluso等［35］基于材料的真實應力-應變本構關系（如圖4所示）和節(jié)點受拉區(qū)端板抗彎承載力的計算方法，推導了端板對應失效模式1和失效模式 2 的抗彎極限承載力Tep，u，f1和Tep，u，f2的計算公式為

圖4 材料的真實應力-應變曲線Fig.4 True stress-strain curve of material

其抗彎極限承載力Tep，u取Tep，u，f1和Tep，u，f2中的較小值，即

3.1.5 柱翼緣抗彎極限承載力Tcf，u

與端板抗彎極限承載力的計算方法相似，其抗彎極限承載力的計算方法為

式中：leff，cf為塑性鉸線的計算長度；mcf和ncf，r分別為與柱翼緣等效的T型連接的螺栓軸線至翼緣根部的距離和螺栓軸線至翼緣邊緣的距離。mcf、ncf，r及l(fā)eff，cf的確定方法詳見EN 1993—1-8［3］。

3.1.6 螺栓抗拉極限承載力Bu

螺栓的抗拉極限承載力計算方法見式（35）。

3.2 節(jié)點抗彎極限承載力的計算方法

對于常用的梁受拉翼緣上、下各一排螺栓的端板連接節(jié)點，各排螺栓處的抗拉極限承載力Fu，T，i為

式中：Tep，u，i、Tcf，u，i和 2Bu，i分別為第i排螺栓處的端板抗彎極限承載力、柱翼緣抗彎極限承載力和螺栓抗拉極限承載力。

則節(jié)點受拉區(qū)的極限承載力Fu，T為

節(jié)點受壓區(qū)的極限承載力Fu，C為

節(jié)點受剪區(qū)的極限承載力Fu，v為

若節(jié)點的失效模式為節(jié)點受拉區(qū)破壞，則節(jié)點的抗彎極限承載力Mmax，T可由下式計算：

若節(jié)點的失效模式為節(jié)點受壓區(qū)破壞，則節(jié)點的抗彎極限承載力Mmax，C可由下式計算：

若節(jié)點的失效模式為節(jié)點受剪區(qū)破壞，則節(jié)點的抗彎極限承載力Mmax，v可由下式計算：

節(jié)點抗彎極限承載力Mmax取Mmax，T、Mmax，C和Mmax，v中的最小值，即

4 屈服后剛度的計算方法

對于端板連接節(jié)點屈服后剛度kp，王衛(wèi)永等［25］假定節(jié)點在受力變形過程中不發(fā)生應變強化，即假定kp=0。然而，從節(jié)點的M-θ曲線（圖1）可看出，曲線存在明顯的應變強化段；Yee等［18］也明確指出，當節(jié)點的失效模式為柱腹板受壓區(qū)破壞時，節(jié)點往往具有明顯的后屈曲強度，即節(jié)點會發(fā)生應變強化，故假定kp=0不甚合理。Yee等［18］給出了節(jié)點屈服后剛度kp的計算方法，但該計算方法較為復雜。井泉［36］采用Yee等［18］提出的四參數(shù)指數(shù)模型（如式（1）所示）對普通鋼端板連接節(jié)點的M-θ曲線進行擬合，結果表明，kp取初始剛度kini的1/50較為合理。因此，本文采用文獻［36］的建議，取kp=0.02kini。

由文獻［21，32］可知，形狀參數(shù)c對式（1）計算結果的影響較小，可忽略，故取c=0。

5 彎矩-轉角曲線截斷方法

式（1）描述的是節(jié)點承受的彎矩M與節(jié)點轉角θ間的關系，θ無限大時，式（1）計算得到的M也會無限大，從而使M-θ曲線的預測結果無限長。然而，節(jié)點的承載能力和轉動能力都是有限的。為準確模擬節(jié)點的實際力學行為，有必要在預測曲線上確定截斷點L，預測曲線在該點截斷，如圖5所示。

從節(jié)點承載能力的角度出發(fā)，截斷點的縱坐標Mlim不應大于按第3節(jié)計算方法得到的節(jié)點抗彎極限承載力Mmax；現(xiàn)有研究認為，θ達到0.05 rad可視為節(jié)點擁有足夠的轉動能力［25，37］，所以從變形的角度出發(fā)，截斷點的橫坐標θlim不應超過0.05 rad。

因此，本文提出預測曲線的截斷方法如下：①按第3節(jié)計算方法得到節(jié)點的抗彎極限承載力Mmax；② 將θ=0.05 rad代入式（1），求得節(jié)點彎矩M0.05，若M0.05≤Mmax，則θlim=0.05 rad，Mlim=M0.05；若M0.05＞Mmax，則Mlim=Mmax，將Mmax代入式（1），即可求得θlim；③ 由①和②確定了截斷點L（θlim，Mlim），預測曲線在該點截斷。

圖5 M-θ曲線的截斷Fig.5 Truncation of M-θ curve

6 模型準確性驗證

為驗證所提出的kini、Mmax、kp和c計算方法的準確性，以及采用式（1）預測高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下、火災后M-θ曲線的合理性，與3組常溫下［26-27］、3組火災下［30-31］及 4組火災后［26］的Q690和Q960高強鋼端板連接節(jié)點足尺試驗結果進行了對比。

6.1 試驗的kini、Mmax和kp

采用提出的初始剛度kini和抗彎極限承載力Mmax計算方法計算文獻［26-29］各試驗試件，得到計算值kini，cal和Mmax，cal，如表 1所示。表 1同時列出節(jié)點初始剛度kini和抗彎極限承載力Mmax的試驗值kini，ep和Mmax，ep，以及采用 EN 1993—1-8［3］計算得到的節(jié)點初始剛度kini，EN。

表1 文獻［26-29］各試驗試件的kini和Mmax試驗和計算結果Tab.1 Test and calculation results of kini and Mmax of various test specimens in Refs.[26-29]

從表1可看出，Q960高強鋼端板連接節(jié)點的Mmax，cal和Mmax，ep較接近，相對誤差在 5% 以內；Q690高強鋼端板連接節(jié)點的Mmax，ep大約是Mmax，cal的 1.2倍，這與ξ的計算結果有關，即與鋼材本構模型的選取有關；除了Q960高強鋼在火災下的情況，其余節(jié)點的kini，cal高于試驗值kini，ep，但都比kini，EN更接近試驗值kini，ep。因此，提出的節(jié)點初始剛度kini和抗彎極限承載力Mmax的計算方法能夠較為準確地預測高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的力學行為。同時由第 4 節(jié)可知，各試驗試件的kp，cal=0.02kini，cal，ccal=0。

6.2 M-θ曲線的對比

將第6.1節(jié)得到的作者前期足尺試驗研究中［26-29］各試驗試件的初始剛度計算值kini，cal、抗彎極限承載力計算值Mmax，cal、屈服后剛度計算值kp，cal和形狀系數(shù)計算值ccal代入式（1），得到M與θ的表達式。然后，采用第5節(jié)的曲線截斷方法確定截斷點L，并在該點截斷曲線，從而繪出各試驗試件M-θ曲線的預測結果，其與試驗結果的對比如圖6所示。

由圖6可知，高強鋼端板連接節(jié)點的數(shù)學模型和試驗結果較吻合；火災后Q690高強鋼端板連接節(jié)點的Mmax，cal略低于Mmax，ep，即數(shù)學模型預測的M-θ曲線峰值低于試驗結果，因此模型對火災后Q690的預測結果偏于安全，這可能與Q690鋼材材性的離散性和Q690鋼材火災后材性試驗（本文模型的材性輸入數(shù)據）的準確性有關。綜上所述，本文提出的節(jié)點屈服后剛度kp和形狀系數(shù)c的計算方法以及采用式（1）預測高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的M-θ曲線是合理的。

7 結論

本文提出了高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的初始剛度kini、屈服后剛度kp和抗彎極限承載力Mmax的計算方法，將kini、kp、Mmax和c代入Yee等提出的四參數(shù)指數(shù)模型，得到節(jié)點M-θ曲線的預測結果，將初始剛度kini和抗彎極限承載力Mmax的計算結果以及節(jié)點M-θ曲線的預測結果，與作者前期的Q690與Q960節(jié)點足尺試驗結果進行對比，研究結果表明：

（1）Mmax的計算結果與試驗值較吻合，其中Q960的相對誤差在5%以內；kini的計算結果比EN 1993—1-8的結果更接近試驗值。所提出的節(jié)點初始剛度kini和抗彎極限承載力Mmax的計算方法能夠較為準確地預測Q690與Q960高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的力學行為。

（2）對于Q960高強鋼端板連接節(jié)點，預測曲線與試驗曲線較吻合；對于Q690高強鋼端板連接節(jié)點，預測曲線的峰值略低于試驗曲線的峰值，該預測結果偏于安全。由此可見，本文提出的屈服后剛度kp的計算方法以及采用Yee等提出的四參數(shù)指數(shù)模型預測高強鋼端板連接節(jié)點在常溫、火災下及火災后的M-θ曲線是合理的。

本文研究成果可為Q690與Q960高強鋼端板連接節(jié)點在常溫下、火災下及火災后力學性能的預測與評定提供參考，為Q690與Q960高強鋼梁柱節(jié)點的抗火設計、優(yōu)化設計及火災后評估，乃至高強鋼在土木工程領域的合理應用提供理論依據。