梁 進，包俊利

（同濟大學 數學科學學院，上海 200092）

近幾年來，信用風險對資產投資的威脅日益增大。2007年的次貸危機和歐債危機都由信用風險引發(fā)，對整個全球市場造成了巨大的沖擊，以致投資者和發(fā)行商在對金融產品定價時越來越重視信用風險可能帶來的損失。由于金融產品發(fā)行者和投資者信息的不對稱，投資者自身很難把握投資的金融產品所含的信用風險大小，目前由信用評級機構評定的信用等級就成了信用風險評估的主流方法。它們針對受評對象實時的經營狀況，投資資本等數據進行調研分析，給予受評對象信用風險的總體評價。所以考慮到信用等級對金融產品價格的影響力，在金融產品定價之中加入可能發(fā)生的信用等級遷移將更加符合金融市場的需求。

目前對含信用風險的金融產品進行定價已經有了大量的研究工作。定價的主流方法有兩種：一是由 Jarrow 等［1］首先提出的約化法（reduced form approach），二是由 Merton［2］首先提出的結構化法（structure approach）。在約化法中，違約作為外生隨機變量，違約事件隨機發(fā)生，一般用違約率或違約強度來刻畫未定權益違約過程。Turnbull等［3］和Duffie等［4］都通過約化法對金融產品違約問題做了進一步推廣。在結構化法中，Merton最初假設公司資產遵循Brown運動，若在到期日公司無法償還債務，則判定違約。隨后Black等［5］將Merton的模型進一步完善到違約事件可在任何時刻發(fā)生。Jarrow等［6］考慮到信用變換對金融產品價格的影響，構造了信用轉移概率矩陣，來刻畫在任意時刻違約的概率。隨后Arvanitis等［7］對模型作了進一步的推廣和完善。但信用風險變換仍被視作外生變量，梁進等［8］首次考慮到公司資產狀況是影響公司信用變換的關鍵因素，所以在金融產品結構化法定價中用公司資產的變換過程來刻畫信用等級遷移，并對新模型做了相應的理論證明和數值模擬。隨后梁進等［9-13］解決了信用等級遷移邊界是自由邊界的情形以及將信用等級遷移問題推廣到利率互換衍生品定價模型。

由于公司資產種類的多樣性，不同公司資產收益和波動率不同。僅用總資產的變動過程往往不能充分刻畫信用等級遷移。所以本文將梁進等的方法推廣到基于流動資產和固定資產影響下的定價問題?？紤]部分公司當流動資產不足時，違約風險可能就會急劇增大，違約風險受流動資產影響顯著。同時也有公司的違約風險對流動資產的靈敏度不高。為綜合考慮，分別用關于流動資產的信用等級遷移邊界和關于雙資產的信用等級遷移邊界來刻畫信用等級風險，使得信用風險的變換過程得到進一步的擴展。

基于此，本文將對含信用等級遷移風險的公司債券基于雙資產的結構化定價進行研究。在Merton的公司債券結構化定價方法的基礎上，建立含信用等級遷移風險的公司債券基于流動資產和固定資產的模型假設，分別用流動資產信用等級遷移邊界和雙資產信用等級遷移邊界來刻畫信用等級遷移風險。分析公司債券的未來預期收益，用Feynman-Kac公式［14］給出在遷移邊界處耦合的偏微分方程組，再在信用等級遷移邊界處添加一階導數條件或線性組合條件，從而得到定價模型。進一步求得模型的解析解和數值解，數值分析兩種模型中債券價格關于時間和雙資產的變化情況。至此，本文提供了含信用等級遷移風險的公司債券基于雙資產影響下的結構化定價模型、求解方法以及數值結果。

1 基于雙資產的含信用等級遷移風險的債券定價模型

公司債券是由公司發(fā)行的約定在一定期限內還本付息的有價證券。公司債券的還款主要來源于公司的經營利潤，在Merton的公司債券結構化定價方法中若在到期日公司無法償還債券，則判定債券違約，此時用公司剩余資產價值償還債券。若公司在經營過程中資產減少，則公司在到期日無法還本付息的風險增大；而若公司在經營過程中資產增加，則公司在到期日無法還本付息的風險減小。即公司資產是評判公司債券是否違約的重要指標。在Merton結構化模型的基礎上，為評估公司的違約風險，設定信用等級遷移邊界，當公司資產低于信用等級遷移邊界時為低信用等級，當公司資產高于信用等級遷移邊界時為高信用等級。隨著公司經營和資產變動，公司的信用等級也可能發(fā)生遷移，由此建立含信用等級遷移風險的債券定價模型。

本文考慮到公司資產種類的多樣性，不同類別的公司資產收益和波動率不同，僅用總資產的變動過程往往不能充分刻畫信用等級遷移。國內外學者對多資產的公司結構已經有了一定的研究［15-16］，假設各類風險資產服從各自的幾何布朗運動從而建立起模型。本文僅從流動性角度，將公司資產分為流動資產和固定資產，并借鑒學者們對公司資產的假設，從而建立基于雙資產的含信用等級遷移風險的債券定價模型。即假設公司資產分為流動資產和固定資產，兩者滿足不同的幾何布朗運動過程。同時，考慮到存在公司流動資產不足時，違約風險可能就會急劇增大，違約風險受流動資產影響顯著。但也存在公司固定資產兌現能力強，違約風險對流動資產和固定資產的變動都會有顯著影響的情形。所以，設置兩類信用等級遷移邊界（流動資產信用等級遷移邊界以及雙資產信用等級遷移邊界）來刻畫信用等級遷移風險。

分析含信用等級遷移風險的公司債券未來預期收益的所有貼現情況，一種是到期日公司債券的償還或是公司違約后償還的剩余價值，另一種是公司債券在到期日前發(fā)生信用等級遷移后的債券價值。利用Fecnman-Kac公式求得債券價值的偏微分方程。為保證偏微分方程解的唯一性，在信用等級遷移邊界處引入一階導數條件或線性組合條件，從而建立起含信用遷移風險的公司債券基于流動資產和固定資產的定價模型。

1.1 流動資產信用邊界模型假設

假設1基本假定：假設市場完備，不存在套利機會，設定無風險利率為常數r。

假設2公司債券：假設公司債務只由單一的零息債券構成。債券面值為F，到期日為T，債券在t時刻價值記為Φt。

假設3公司資產：公司總資產分為流動資產和固定資產，兩者在t時刻價值分別記為St和Vt。固定資產變現系數記為α（0＜α＜1），表示固定資產兌換成流動資產的能力。

假設4債券違約：若在到期日公司總資產價值St+αVt低于F，判定公司違約，此時清算公司資產，并用于償還公司債券，不考慮手續(xù)費及其他額外費用。

假設5信用等級：假設公司只分為兩個信用等級，高信用等級和低信用等級。在流動資產信用邊界模型中，公司流動資產不足時，違約風險會急劇增大，所以假設公司信用等級遷移只與流動資產相關。設定信用等級遷移邊界為K，當流動資產價值St低于K時，公司為低信用等級；當流動資產價值高于K時，公司為高信用等級。

假設6 公司資產運動過程：流動資產價值St遵循幾何Brown運動

式中：σ1、σ2分別為公司處在低、高信用等級下流動資產的波動率，由于高信用等級下公司運營穩(wěn)定，所以資產波動較小，即有σ1＞σ2；W(S)t為由完備帶流概率空間 (Ω，?，{?t}t≥0，P)生成的標準 Brown運動。

固定資產價值Vt遵循如下幾何Brown運動：

式中：σ3為固定資產的波動率；W(V)t也為定義在完備帶域流概率空間(Ω，?，{?t}t≥0，P)上的標準Brown運動，滿足Cov(W(S)t，W(V)t)=ρ以及||ρ≤1。

隨著公司的經營，公司資產狀況不斷發(fā)生變化，信用等級也可能發(fā)生遷移。記公司首次發(fā)生信用等級遷移的時刻如下式：

式中：τ1、τ2分別對應公司從低、高信用等級轉移到高、低信用等級的初始時刻。

1.2 流動資產信用邊界模型的公司債券現金流

考慮一份含信用等級遷移的零息公司債券。根據無套利原理，債券的價值等于債券未來所有預期收益的貼現之和。當公司處于低信用等級時，公司債券在未來有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃壍墓緜?/p>

當公司處于高信用等級時，公司債券在未來也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級遷移，在到期日T獲得收益min{S+αV，F}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)榈托庞玫燃壍墓緜９咎幱诘汀⒏咝庞玫燃壪碌膫瘍r值記為Φ1、Φ2。由此可推導出公司分別處在低、高信用等級下的公司債券的現金流表達式，如下式：

公司處于低信用等級狀態(tài)下，即當St≤K時，

公司處于高信用等級狀態(tài)下，即當St＞K時，

式中：Ω1=(0，K]×R+×(0，T]，表示低信用等級區(qū)域；Ω2=(K，+∞)×R+×(0，T]，表示高信用等級區(qū)域。

1.3 流動資產信用邊界模型的偏微分方程組

在現金流公式（4）、（5）充分光滑的情況下，根據Feynman-Kac公式可轉換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=1，2。證明過程可參照文獻［14］。在信用等級遷移的邊界K上，由無套利假設可得如下連續(xù)條件：

但僅有連續(xù)條件會致使解存在但不唯一。為求得定解，在信用等級邊界處推導出一階導數連續(xù)條件或添加線性組合條件，從而給出如下兩種定價模型。分別記為流動資產信用邊界導數連續(xù)模型和流動資產信用邊界線性組合模型。

1.3.1 流動資產信用邊界導數連續(xù)模型

利用Δ-對沖推導出在信用等級遷移邊界處導數連續(xù)條件。通過持有Δ1份額的流動資產，Δ2份額的固定資產以及賣出一份公司債券來構建一份無風險投資組合Πt。由于信用等級遷移并不會使得投資組合價值發(fā)生突變，以及流動資產信用邊界遷移不考慮固定資產變換的影響可推得

推導過程參見文獻［8］。在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和一階導數連續(xù)條件式（8），得到如下流動資產信用邊界導數連續(xù)模型：

1.3.2 流動資產信用邊界線性組合模型

設W1(S，V，t)、W2(S，V，t)為不考慮信用等級遷移，公司分別處在低、高信用等級下的公司債券價值。分析W1(S，V，t)、W2(S，V，t)預期的收益，可推出如下的現金流：

推導出解析解如下：

其中

在信用等級邊界處應同時考慮低、高信用等級對債券價值的影響，則考慮在信用等級邊界處滿足如下線性組合條件：

在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和線性組合條件式（13），得到如下流動資產信用邊界線性組合模型：

1.4 雙資產信用邊界模型假設

假設1到假設4同流動資產信用邊界模型相同，不再贅述。

假設5 信用等級：假設公司信用只分為兩個信用等級，高信用等級和低信用等級。在雙資產信用邊界模型中，當公司總資產不足時，違約風險才會急劇增大，所以假設公司信用等級遷移與流動資產和固定資產都相關。設定信用等級遷移邊界為K，當公司總資產價值低于K時，公司為低信用等級；當公司總資產價值St+αVt高于K時，公司為高信用等級。

假設6 公司資產運動過程：流動資產價值St遵循如下幾何Brown運動：

式中：σ3、σ4是公司分別處在低、高信用等級下固定資產的波動率。

記公司首次發(fā)生信用等級遷移的時刻如下：

式中：τ3、τ4分別對應公司從低、高信用等級轉移到高、低信用等級的初始時刻。

1.5 雙資產信用邊界模型的現金流

考慮一份含信用等級遷移的零息公司債券。根據無套利原理，債券的價值等于債券所有預期收益的貼現之和。當公司處于低信用等級時，公司債券在未來有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃壍墓緜?/p>

當公司處于高信用等級時，公司債券在未來也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級遷移，在到期日獲得收益min{ST+αVT，F}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級遷移，變?yōu)榈托庞玫燃壍墓緜９咎幱诘?、高信用等級下的債券價值記為Φ3、Φ4。由此可推導出如下公司分別處在低、高信用等級下的公司債券的現金流表達式，即式（18）和式（19）。

其中

1.6 雙資產信用邊界模型的偏微分方程組

在現金流公式（18）、（19）充分光滑的情況下，根據Feynman-Kac公式可轉換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=3，4；j=1，2。由無套利得連續(xù)條件

其中

在信用等級邊界處推導導數相關條件，從而給出如下定價模型，記為雙資產信用邊界導數相關模型。

利用Δ-對沖推導出在信用等級遷移邊界處導數相關條件。通過持有Δ1份額的流動資產，Δ2份額的固定資產以及賣出一份公司債券來構建一份無風險投資組合Πt，即Πt=Δ1St+Δ2Vt-Φt，且滿足dΠt=rΠtdt，其中

信用等級遷移并不會使得投資組合價值發(fā)生突變，即Πt在信用等級遷移邊界處連續(xù)。所以在邊界處Ω5有

推得

在二維偏微分方程組（20）中添加上述連續(xù)條件（21）和一階導數相關條件（22），推得如下雙資產信用邊界導數相關模型：

2 模型求解

2.1 流動資產信用邊界導數連續(xù)模型的數值解

運用有限差分法求解流動資產信用邊界導數連續(xù)模型的數值解。先對方程組做自變量變換x=lnS，y=lnV，τ=T-t（仍記為t），得

再選取方程組的部分區(qū)域進行剖分，建立網格xm=mΔh，yn=nΔh，ts=sΔt，定義函數。然后將微商轉換為差商，推導出差分格式，化簡成如下遞推關系式：

最后沿時間方向依次算出各網點的數值解。模型結合文獻［17］，選取合乎市場的參數做數值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，r=0.04。

圖1顯示了當流動資產和固定資產取定后，公司債券價值Φ關于時間t的曲線圖。曲線單調上升，說明了離到期日越近，債券價值越高。流動資產越大，債券價值也越高。

圖2顯示了當時間和固定資產取定后，公司債券價值Φ關于流動資產S的曲線圖。曲線單調上升，說明了流動資產越高，債券違約概率越小，債券價值也就越大，并趨近于債券面值的貼現。公司資產固定，資產時間越大，即離到期日越近，債券價值越高。

圖3顯示了當時間和流動資產取定后，公司債券價值Φ關于固定資產V的曲線圖。曲線單調上升，說明了固定資產越高，債券價值也就越大，并趨近于債券面值的貼現值。

圖1 公司債券價值關于時間的曲線圖Fig.1 Values of corporate bond on time

圖2 公司債券價值關于流動資產的曲線圖Fig.2 Values of corporate bond on current assets

圖3 公司債券價值關于固定資產的曲線圖Fig.3 Values of corporate bond on fixed assets

2.2 流動資產信用邊界線性組合模型的解析解

推導低信用等級下公司債券的解析解，高信用等級下公司債券的解析解同理可得。先做自變量變換，令，τ=T-t（仍記為t）。記Ω6=(-∞，0)×R×(0，T]，得

其中

構造輔助函數q(x，y，t)滿足

可解得

令U(x，y，t)=Φ1(x，y，t)-q(x，y，t)，則U（x，y，t）滿足如下方程式：

為了消除一階導數項和一次項，選取合適的b1、b2、b3做函數變換

得

其中

為了消去交叉項，做自變量變換

代入方程（28），得

考慮Green函數

關于m做奇延拓如下式：

方程式（30）的解如下式：

所以方程式（29）的解如下式：

推得

由此

回到原自變量，得

2.3 雙資產信用邊界導數相關模型的數值解

同流動資產信用邊界導數連續(xù)模型相同，運用有限差分法求解雙資產信用邊界導數相關模型的數值解。模型結合文獻［17］，選取合乎市場的參數做數值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，σ4=0.2，α=0.7，r=0.04。

圖4顯示了在低信用等級下雙資產信用邊界模型Φ1和流動資產信用邊界模型Φ2的公司債券價值關于時間的曲線圖。曲線單調上升，說明離到期日越近，債券價值越高。取相同參數的前提下，雙資產信用邊界導數相關模型的債券價值低于流動資產信用邊界導數連續(xù)模型。

圖5顯示了在高信用等級下雙資產信用邊界模型Φ2和流動資產信用邊界模型Φ4的公司債券價值關于時間的曲線圖。相較于低信用等級，兩模型的差異較小。

圖6顯示了雙資產信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動資產信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價值關于流動資產S的曲線圖。取相同參數的前提下，雙資產信用邊界導數相關模型的債券價值低于流動資產信用邊界導數連續(xù)模型。

圖4 低信用等級下雙模型的公司債券價值關于時間的曲線圖Fig.4 Values of corporate bond on time in low credit rating

圖5 高信用等級下雙模型的公司債券價值關于流動資產的曲線圖Fig.5 Values of corporate bond on current assets in high credit rating

圖6 雙模型的公司債券價值關于流動資產的曲線圖Fig.6 Values of corporate bond on current assets in two models

圖7顯示了雙資產信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動資產信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價值關于流動資產V的曲線圖。取相同參數的前提下，在信用等級邊界處兩模型的差異較大。

3 結語

本文在Merton的公司債券結構化定價方法的基礎上，研究了含信用等級遷移風險的公司債券基于流動資產和固定資產的定價問題?？紤]到公司資產種類的多樣性，不同公司資產收益和波動率不同，建立起含信用等級遷移風險的公司債券基于流動資產和固定資產的模型假設，考慮到當公司流動資產不足時，違約風險可能就會急劇增大，違約風險受流動資產影響顯著，信用等級遷移風險分別用流動資產信用邊界模型和雙資產信用邊界模型刻畫。并分析了債券預期的可能收益情況，從而得到債券現金流及相應的耦合偏微分方程組。在信用等級邊界處添加由Δ-對沖推得的一階導數條件或線性組合條件，建立起定價模型。推得定價模型的解析解和數值解，最后對債券價值關于各變量的變化情況進行了數值分析，數值圖形表明變化情況與結論一致，對信用風險的變換過程做了進一步的擴展。

圖7 雙模型的公司債券價值關于流動資產的曲線圖Fig.7 Values of corporate bond on current assets in two models