李怡晨，宋燕平，胡飛

中國空間技術(shù)研究院 西安分院，西安 710000

隨著社會飛速發(fā)展，信息傳輸量與日俱增，對空間大型可展開天線反射器(large deployable reflector，LDR)的需求旺盛并呈增長趨勢。未來對于科學(xué)、通信和地球觀測等任務(wù)的實(shí)現(xiàn)，將需要中等(4～8 m)、大(8～15 m)甚至非常大(25 m以上)口徑的反射器[1-2]。另一方面,為滿足Ka及以上頻段衛(wèi)星通信和更高頻率地球觀測任務(wù)的需要，對反射器型面精度的要求越來越高[3]。

目前，在軌運(yùn)行的星載大型可展開天線反射器主要為網(wǎng)狀可展開天線反射器[4]，它具有技術(shù)成熟、面密度低和在軌飛行經(jīng)驗豐富等優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)現(xiàn)高的型面精度方面具有一定的局限性[5]。網(wǎng)狀可展開天線反射器的局限性來自兩個因素[6]。首先，在較高的頻率下，金屬網(wǎng)的孔隙率和表面粗糙度會導(dǎo)致信號的損失和散射；其次，金屬網(wǎng)不具有任何彎曲剛度，因此不能形成真正的拋物線形狀(或其他期望的形狀)。由硅橡膠作為基體的碳纖維三向紡織物(TWF)復(fù)合材料，屬于一種新型的高性能材料。使用該材料作為反射器反射表面，由于其具有一定的彎曲剛度，可以獲得拋物線形狀，可以提供高精度的反射表面。其中碳纖維TWF提供了表面的反射性和高度穩(wěn)定性；而硅橡膠則為復(fù)合材料提供了柔韌性，使得其保持容易折疊的性能。此外，它具有非常低的熱膨脹系數(shù)，準(zhǔn)各向同性的熱行為。因此它可以與可展開支撐結(jié)構(gòu)一起實(shí)現(xiàn)大口徑和高精度的空間可展開天線反射器。

中外學(xué)者對TWF復(fù)合材料力學(xué)性能展開了一定的研究。大多數(shù)研究者對樹脂基TWF復(fù)合材料展開了一系列研究工作，對柔性基體TWF復(fù)合材料性能研究較少。目前主要利用細(xì)觀力學(xué)方法和有限元方法對TWF復(fù)合材料進(jìn)行性能分析，選取材料單胞，對其進(jìn)行有限元建模，通過均勻化方法得到等效的材料力學(xué)性能。其中慕尼黑工業(yè)大學(xué)Datashvili等[7]在分析硅橡膠基TWF復(fù)合材料性能時，將材料特性計算為9×9 [ABD]矩陣。本文在對柔性基體TWF復(fù)合材料力學(xué)性能進(jìn)行分析時，沒有采用層合板的假設(shè)。參考均勻化理論和周期性邊界條件的施加方式，通過施加6個單位應(yīng)變載荷最終得到等效均質(zhì)材料的剛度矩陣，繼而得到材料的工程常數(shù)。建立單胞有限元模型時，由于周期性邊界條件的施加，需要模型為3D實(shí)體模型，而且實(shí)體模型相比于梁模型分析精度會更高。因此，對單胞進(jìn)行了精細(xì)3D實(shí)體模型的建立。

為滿足空間高精度可展開天線反射器各項高性能指標(biāo)要求，本文將對采用不同模量碳纖維、不同纖維體積分?jǐn)?shù)的硅橡膠基TWF復(fù)合材料等效性能進(jìn)行分析，總結(jié)出碳纖維種類、材料纖維體積分?jǐn)?shù)對單胞等效性能的影響規(guī)律，進(jìn)行材料的優(yōu)化設(shè)計。對于硅橡膠基TWF復(fù)合材料性能的分析，可以為其未來應(yīng)用于空間大型高精度可展開天線反射器提供一定的理論基礎(chǔ)。

1 復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基本理論

本節(jié)具體介紹如何由纖維、基體的材料特性最終得到整個TWF復(fù)合材料等效力學(xué)性能的理論。主要包括纖維束等效材料性能的獲取、TWF復(fù)合材料幾何特性及均勻化理論。

1.1 纖維束等效材料特性的獲取

對單胞進(jìn)行模型建立之前，首先要獲取構(gòu)成單胞的各向纖維束的等效材料特性。如圖1所示，紅色、藍(lán)色、綠色條紋分別代表0°，-60°，+60°方向的纖維束，各個方向纖維束采用的原料均相同。

圖1 纖維束示意Fig.1 Fiber bundles diagram

假設(shè)纖維束為橫觀各向同性材料，使用混合規(guī)則及其他一些公式[7]，由纖維、硅橡膠的材料特性以及TWF復(fù)合材料的纖維體積分?jǐn)?shù)來計算等效均質(zhì)的纖維束的材料特性。

纖維束拉伸模量E1和泊松比ν12使用混合規(guī)則獲得，其中φf為纖維體積分?jǐn)?shù)，Ef,Em分別為纖維和基體的拉伸模量：

E1=φfE1,f+(1-φf)Em

(1)

ν12=φfν12，f+(1-φf)νm

(2)

由Halpin-Tsai半經(jīng)驗方程得到橫向拉伸模量：

(3)

其中，

(4)

參數(shù)ξ=2，取決于增強(qiáng)纖維的幾何形狀、基體的幾何形狀和載荷條件。

由Halpin-Tsai半經(jīng)驗方程得到剪切模量G12：

G12=G13=

(5)

通過求解以下二次方程獲得剪切模量G23：

(6)

其中A,B,C的計算公式過長，不在此列出[14]。

由剪切模量G23，可以計算泊松比ν23：

(7)

本小節(jié)獲得了構(gòu)成TWF復(fù)合材料的纖維束的等效材料特性。

1.2 TWF復(fù)合材料幾何特性

建立編織結(jié)構(gòu)復(fù)合材料單胞模型是研究其力學(xué)性能的基礎(chǔ)，對于選定的單胞，其幾何特征指的是纖維束的空間軌跡(即位置、方向和形狀)，纖維束橫截面形狀等[8]。

單胞(unit cell)為TWF復(fù)合材料的代表性體積單元(representative volume element，RVE)，對其進(jìn)行空間平移復(fù)制即可拼造出完整織物[9]。

本文選取的單胞如圖2所示。

圖2 三向織物及其單胞幾何結(jié)構(gòu) Fig.2 Three-directional fabric and its unit cell geometry

根據(jù)TWF內(nèi)0°纖維束運(yùn)動軌跡可知，在一個循環(huán)內(nèi),0°纖維束從+60°方向的纖維束之上逐步擴(kuò)展到-60°方向的纖維束之下，然后又回到+60°方向的纖維束之上。假設(shè)在TWF中，0°纖維束按照如圖3所示的形式屈曲波動，由直線和橢圓圓弧曲線組成[10]。

圖3 單胞內(nèi)0°纖維束的波動形態(tài)Fig.3 Fluctuation pattern of 0° fiber bundle in unit cell

假設(shè)TWF中±60°纖維束的波動形態(tài)如圖4所示。纖維束中心線走向由部分橢圓圓弧與直線組成，其形狀接近于波浪狀。

圖4 單胞內(nèi)±60°纖維束的走向示意Fig.4 Diagram of the trend of ±60° fiber bundle in unit cell

其中l(wèi)1l2段、l3l4段、l5l6段為橢圓圓弧曲線(纖維束的交疊部分)，l2l3段和l4l5段(連接部分)連接相鄰圓弧段并與之相切。

纖維束的橫截面均假設(shè)為矩形截面。

1.3 周期性邊界條件

周期性邊界條件基于平移對稱性變換[11]。對于尺寸為2a×2b×2c的3D復(fù)合材料，單胞的相對面之間的相對位移(見圖5(a))如下：

(8)

其中下標(biāo)x=a和x= -a表示相對應(yīng)的面，而下標(biāo)y，z表示該相對面上的相應(yīng)點(diǎn)的共同坐標(biāo)。

方程(8)可以寫為：

UA-UB=FAB,UC-UD=FCD,

UE-UF=FEF

U={uvw}，下標(biāo)A,B,C,D,E,F為單胞的6個面。

圖5 單胞示意Fig.5 Diagram of unit cell

相對的邊(頂點(diǎn)除外)的相對位移如下：

(9)

其中下標(biāo)I～XII分別代表12條邊，如圖5(b)所示。

同樣的，相對頂點(diǎn)之間的相對位移如下：

(10)

其中下標(biāo)1～8分別代表8個頂點(diǎn)，如圖5(b)所示。

將6個獨(dú)立載荷情況應(yīng)用于具有適當(dāng)周期性邊界條件的單胞，每一個載荷的施加都是通過施加單位宏觀應(yīng)變的形式。

(11)

圖6為立方體單胞模型受第一種載荷情況(e11=1，其余均為0)時的邊界約束與加載情況示意。

圖6 有限元模型邊界約束示意Fig.6 Finite element model boundary constraint diagram

約束條件為：

1.4 均勻化

由圖7可以得到物體的平衡微分方程：

σij,j+fi=0

式中：(f1,f2,f3)=(fx,fy,fz)為單位體積的體力；σij,j為應(yīng)力分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，如σ12,1=σxy,x=?σxy/?x。

圖7 物體內(nèi)任意一個微分平行六面體的平衡Fig.7 Balance of any differential parallelepiped

應(yīng)變位移關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中：C為材料的剛度矩陣。

邊界條件為：

由于復(fù)合材料中剛度矩陣C會隨位置快速變化，因此很難找到上述方程的解。通過均勻化理論來得到方程的解，引入一個平均模量。

視神經(jīng)脊髓炎譜系病和多發(fā)性硬化患者甲狀腺激素水平及甲狀腺抗體的相關(guān)研究 ………………………………………………………… 陳道文，陳勇，陸杰，等 253

對于非均質(zhì)材料，可以得到其平均應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：

(12)

式中：〈e〉、〈σ〉分別為均勻應(yīng)變和均勻應(yīng)力矩陣；CH為等效均勻剛度矩陣。方程(12)提供了均勻化彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

在有限元計算的過程中，均勻應(yīng)力也可以由面平均應(yīng)力值獲得，如下所示：

(13)

式中：S為單胞的邊界；Ti為邊界S上的面力。

1.5 等效力學(xué)性能的獲取

材料的力學(xué)性能可以用三維本構(gòu)方程來表示，其中矩陣形式如下：

(14)

Cij是彈性模量，對應(yīng)于方程式(12)中的均勻化剛度矩陣分量。對單胞進(jìn)行6個獨(dú)立的載荷情況的應(yīng)力分析，通過積分獲得體積平均應(yīng)力和應(yīng)變，從而獲得Cij。對于每個單位應(yīng)變加載，可以獲得等效剛度矩陣的一列，最終得到剛度矩陣C。

通過對剛度矩陣C求逆可以獲得柔度矩陣S。由柔度矩陣系數(shù)，可以得到工程常數(shù)如下：

(15)

2 單胞有限元模型的建立

2.1 纖維束材料特性的計算

本文研究了不同碳纖維增強(qiáng)硅橡膠(Carbon Fiber Reinforced Silicone，CFRS)TWF復(fù)合材料的特性，其中碳纖維包括T300型(1K)、T700型(12K)、T800型(6K)、M40型(6K)和M60型(3K)，基體采用ZS-NJ-D955 低粘度單組份有機(jī)硅。

不同纖維和基體的材料特性如表1所示。

經(jīng)過計算可以得到纖維束的等效材料性能，如表2所示(僅列出了T300/Silicone的材料特性)。

表1 纖維、基體的材料特性

表2 纖維束(纖維體積分?jǐn)?shù)Vf=42%)材料性能

2.2 單胞幾何模型的建立

圖8 單胞參數(shù)Fig.8 Unit cell parameter diagram

纖維束的波動形態(tài)示意如圖9、圖10所示。

圖11為通過軟件ProE建立起來的TWF單胞實(shí)體幾何模型，由6個纖維束裝配切除后得到。

其中實(shí)體為交錯的纖維束，基體透明化處理，實(shí)際TWF復(fù)合材料六邊形孔和4個角處應(yīng)該不含基體，由于有限元分析中周期性邊界條件的施加要求模型為立方體，因此采用切除的布爾運(yùn)算，將模型填充為一個立方體。

可以看出模型充分考慮了纖維束的屈曲波動與交疊情況。其中d=0.9 mm，厚度h=0.075 mm，即單胞長寬高分別為3.12 mm，5.4 mm，0.15 mm。

圖9 單胞內(nèi)0°纖維束截面示意Fig.9 Cross section diagram of 0° fiber bundle in unit cell

圖10 單胞內(nèi)±60°纖維束截面示意Fig.10 Cross section diagram of ±60°fiber bundle in unit cell

圖11 單胞幾何模型Fig.11 Unit cell geometry model

2.3 單胞有限元模型的建立

將在ProE中建立起來的實(shí)體幾何模型導(dǎo)入到有限元分析軟件ABAQUS中建立有限元模型。其中在賦予±60°纖維束的材料特性時，需要通過局部坐標(biāo)系來指定纖維束的材料取向[12]。

對單胞采用四面體單元進(jìn)行離散，單胞網(wǎng)格采用自由劃分，如圖12所示。

圖12 單胞有限元模型Fig.12 Unit cell finite element model

3 TWF復(fù)合材料力學(xué)性能有限元分析

周期性邊界條件(方程(8)～(10))，用Python語言編寫代碼，在ABAQUS中運(yùn)行。后處理也使用Python代碼實(shí)現(xiàn)。周期性邊界條件施加程序的具體步驟如下：

2)提取裝配體3個坐標(biāo)方向上的最大值和最小值，計算周期性邊界條件中心點(diǎn)的坐標(biāo)值。

3)計算3個方向上邊界條件中的位移初值(式(8))。

4)定義立方體上點(diǎn)、線、面上的節(jié)點(diǎn)空集合名稱，共6個面，12條邊，8個頂點(diǎn)。

5)提取X方向兩個對應(yīng)面上的節(jié)點(diǎn)集合，不包含線上的節(jié)點(diǎn)，并施加面位移邊界條件。依次對第2、3對面施加約束條件。

6)對所有邊上的點(diǎn)施加約束方程。首先收集各條邊上的點(diǎn)列表，然后開始對邊上的節(jié)點(diǎn)實(shí)際約束方程條件(除頂點(diǎn)以外的點(diǎn))(式(9))。

7)最后對頂點(diǎn)施加約束方程(式(10))，完成了對8個頂點(diǎn)的約束方程施加，整個周期性邊界條件程序運(yùn)行完畢。

載荷的施加是通過在單胞表面上施加單位應(yīng)變(方程(11))的形式，確定相應(yīng)的應(yīng)力，并由此確定表面平均應(yīng)力(方程(13))，獲得均勻應(yīng)變和應(yīng)力(方程(12))。周期性邊界條件，即方程(8)～(10)，在ABAQUS中使用多點(diǎn)約束(MPC)來實(shí)現(xiàn)。對于每個單位應(yīng)變，可以獲得等效剛度矩陣的一列，最終得到剛度矩陣(式(14))；剛度矩陣的逆得到柔度矩陣，最終可以確定材料的工程常數(shù)(式(15))。

得到T300碳纖維增強(qiáng)硅橡膠復(fù)合材料(纖維體積分?jǐn)?shù)為42%)的剛度矩陣C：

最終得到工程常數(shù)如表3所示。

表3 TWF復(fù)合材料(Vf=42%)力學(xué)特性

4 參數(shù)討論與分析

由于本文研究的材料未來是用于高精度可展開天線反射器反射表面，為滿足天線反射器各項高性能指標(biāo)要求，對材料的力學(xué)性能有比較高的要求。本文將碳纖維的模量和纖維體積分?jǐn)?shù)作為兩個關(guān)鍵參數(shù)，分析其對硅橡膠基TWF復(fù)合材料等效性能的影響，可以進(jìn)行材料的優(yōu)化設(shè)計。

4.1 碳纖維種類對單胞等效性能的影響

本文研究了5種不同碳纖維對于單胞等效性能的影響規(guī)律。圖13給出了單胞等效性能隨碳纖維種類變化的變化規(guī)律，其中單胞等效性能包括拉伸模量E11,E22,E33，剪切模量G12,G23,G31，泊松比v12,v23,v31。

從圖13可以看出隨著碳纖維模量的增大，等效材料性能面內(nèi)拉伸模量E11,E22均增大；而且E11與E22之間的差距越來越明顯，即材料的面內(nèi)各向異性更加明顯；從圖14可以看出隨著碳纖維模量的增大，等效的橫向拉伸模量E33也增大。由于T300的橫向模量小于其他幾種碳纖維的橫向模量，因此等效的橫向拉伸模量E33也比較小，導(dǎo)致曲線有一個跳躍。

從圖15可以看出隨著碳纖維模量的增大，等效材料性能面內(nèi)剪切模量G12增大；而且增大的越來越多；從圖16可以看出隨著碳纖維模量的增大，橫向剪切模量G23基本保持不變；橫向剪切模量G31呈緩慢增加的趨勢。

從圖17可以看出隨著碳纖維模量的增大，泊松比v12,v23,v31均基本保持不變，說明泊松比對于碳纖維種類的變化并不敏感。

圖13 碳纖維種類對面內(nèi)拉伸模量的影響Fig.13 Effect of fiber types on in-plane tensile modulus

圖14 碳纖維種類對橫向拉伸模量E33的影響Fig.14 Effect of fiber types on E33

圖15 碳纖維種類對面內(nèi)剪切模量的影響Fig.15 Effect of fiber types on in-plane shear modulus

圖16 碳纖維種類對橫向剪切模量的影響Fig.16 Effect of fiber types on transverse shear modulus

圖17 碳纖維種類對泊松比的影響Fig.17 Effect of fiber types on Poisson′s ratio

4.2 纖維體積分?jǐn)?shù)對單胞等效性能的影響

選擇纖維體積分?jǐn)?shù)Vf為40%、42%、45%和60%來討論纖維體積分?jǐn)?shù)變化對材料性能的影響。

圖18～圖20為拉伸模量E11，E22，E33隨纖維體積分?jǐn)?shù)Vf的變化規(guī)律，可以看到在相同的碳纖維下隨著Vf增大，E11和E22均增大，而且隨著碳纖維模量的增大，相同的ΔVf給E11和E22帶來的增量越大；在Vf為40%～45%之間時，E33隨著Vf的增大而減小，而當(dāng)Vf為60%時，E33有一個躍增。

圖18 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)拉伸模量E11的影響Fig.18 Effect of fiber volume content on E11

圖19 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)拉伸模量E22的影響Fig.19 Effect of fiber volume content on E22

圖20 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)拉伸模量E33的影響Fig.20 Effect of fiber volume content on E33

圖21～圖23為剪切模量G12，G23，G31隨纖維體積分?jǐn)?shù)Vf的變化規(guī)律，可以看到在相同的碳纖維下隨著Vf增大，G12增大，而且隨著碳纖維模量的增大，相同的ΔVf給G12帶來的增量越大；在相同的碳纖維下隨著Vf增大，G23和G31均增大。

圖24～圖26為泊松比v12，v23，v31隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律，可以看到在相同的碳纖維下，隨著Vf增大，v12是基本不變的，v23，v31略有減小。說明泊松比對纖維體積分?jǐn)?shù)變化并不敏感。

圖21 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量G12的影響Fig.21 Effect of fiber volume content on G12

圖22 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量G23的影響Fig.22 Effect of fiber volume content on G23

圖23 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量G31的影響Fig.23 Effect of fiber volume content on G31

圖24 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量v12的影響Fig.24 Effect of fiber volume content on v12

圖25 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量v23的影響Fig.25 Effect of fiber volume content on v23

圖26 纖維體積分?jǐn)?shù)對面內(nèi)剪切模量v31的影響Fig.26 Effect of fiber volume content on v31

5 結(jié)束語

采用復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的方法對硅橡膠基TWF復(fù)合材料進(jìn)行了力學(xué)性能的分析。首先通過混合規(guī)則得到纖維束的材料特性(假設(shè)其為橫觀各向同性材料)；接下來選取合適的體積重復(fù)單元——單胞，考慮纖維束交疊情況，對纖維束波動情況進(jìn)行了合理假設(shè)，建立了單胞實(shí)體有限元模型；在ABAQUS中對單胞有限元模型進(jìn)行均勻化有限元分析，最終得到了TWF復(fù)合材料的等效力學(xué)特性。最后重點(diǎn)分析了碳纖維種類和纖維體積分?jǐn)?shù)對于單胞等效性能的影響規(guī)律。隨著碳纖維模量的增大，等效拉伸模量E11，E22，E33均增大，材料的面內(nèi)各向異性更加明顯；隨著碳纖維模量的增大，等效面內(nèi)剪切模量G12增大，橫向剪切模量G23基本保持不變，G31呈緩慢增加的趨勢。隨著Vf增大，E11和E22均增大，隨著碳纖維模量的增大，相同的ΔVf給E11和E22帶來的增量越大；隨著Vf增大，G12、G23和G31均增大，隨著碳纖維模量的增大，相同的ΔVf給G12帶來的增量越大；泊松比對于碳纖維種類以及纖維體積分?jǐn)?shù)的變化并不敏感。該材料作為高精度天線反射器的反射面，需滿足各項性能指標(biāo)要求，主要包括剛度和可重復(fù)折疊性。本文研究的這兩個參數(shù)對材料性能均有顯著的影響，無論是碳纖維模量還是纖維體積分?jǐn)?shù)的增大均可以使材料的剛度增大；但同樣的材料的韌性會降低，對反射器折疊展開會帶來不利的影響，因此在進(jìn)行材料設(shè)計時需要綜合考慮。