王艷萍①

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州234000）

0 引言

1994 年Hammons 等人研究二元線性碼［1]. 近些年，很多學(xué)者將重點轉(zhuǎn)移到有限環(huán)上，研究各類有限環(huán)如有限鏈環(huán)、非鏈環(huán)等各類環(huán)上的循環(huán)碼、常循環(huán)碼等［2-6]；漸漸地，斜循環(huán)碼、斜常循環(huán)碼也被廣泛研究. 比如文獻［7-12]，通過研究斜多項式環(huán)、進而構(gòu)造自同構(gòu)，以用來討論對應(yīng)環(huán)上的斜循環(huán)碼的若干性質(zhì)；在文獻［13-15]中，分別探討各類不同環(huán)上的斜常循環(huán)碼，從而得到相關(guān)的性質(zhì). 本文首先介紹環(huán)R+vR+v2R(v3=v)上的一個Gray 映射，研究環(huán)上碼的一些性質(zhì)；然后，給出環(huán)上的斜常循環(huán)碼，并證明環(huán)上碼的充要條件；最后，在給出一些特定的條件下，探究環(huán)上對偶碼的若干性質(zhì). 本文的研究為代數(shù)編碼理論提供一些理論依據(jù).

1 預(yù)備知識

令?=R+vR+v2R={x+vy+v2z|x,y,z∈R}，其中v3=v，且環(huán)R是以＜λ ＞為極大理想；p為奇數(shù)，它是剩余域的特征. 若無特殊說明，下文出現(xiàn)的環(huán)? 即為環(huán)R+vR+v2R. 設(shè)環(huán)R是有限鏈環(huán)，易得環(huán)? 并不是有限鏈環(huán).

設(shè)e1=2-1v+2-1v2,e2=-2-1v+2-1v2,e3=1-v2，可知e1,e2,e3是環(huán)? 上兩兩相互正交，且它們?yōu)閮绲仍?，而＜e1＞={e1a|a∈?} ，＜e2＞={e2a|a∈?} ，＜e3＞={e3a|a∈?} 是 環(huán)? 上 的3 個 相 互 互 素 的 理 想，則? ?⊕⊕

對?X,Y∈?n，X=(x1,x2,…,xn) ，Y=(y1,y2,…,yn) ，定 義 內(nèi) 積：X?Y=x1y1+x2y2+…+xnyn，如 果X?Y=0，稱X,Y正交. 對于環(huán)?n上的線性碼C，則它的對偶碼：C⊥={x|x?y=0,?y∈C}，如果C=C⊥，稱C為自對偶碼. 并定義：

則由文獻［16]可知：（1）C1,C2,C3為R上的長為n的線性碼；（2）C=e1C1+e2C2+e3C3，且這種表示是唯一的.

2 Gray映射

定義φ：? →R3，對?c=e1x+e2y+e3z∈?,x,y,z∈R，有φ(c)=(x,y,z)，且wL(c)=wH(x,y,z). 將φ擴展成Φ：?n→R3n，對?c=(c0,c1,…,cn-1)∈?n，有

定理1C為? 上長是n的線性碼，則有：

（1）C⊥也是環(huán)? 上的線性碼；

（2）Φ(C)=

（3）Φ(C⊥)=

3 斜常循環(huán)碼

定義1如果對?c=(c0,c1,…,cn-1)∈C有：

此時定義中的為環(huán)? 上的一個自同構(gòu)，定義中的λ是環(huán)? 的單位，而為?n上的自同態(tài)，則可稱C為斜常循環(huán)碼常循環(huán)碼）.

注1上述中，若λ=1，可稱碼C是斜循環(huán)碼；λ=-1，可稱碼C是斜負循環(huán)碼.

定義2環(huán)? 斜多項式環(huán)：其加法運算：一般的加法；其乘法運算則可知是非交換環(huán).

注2如果則可得的左理想，未必是理想. 通過的中心來闡述，也就是對有h(x)?g(x)=g(x)?h(x).

引理1設(shè)n是N+為上述定義中的自同構(gòu)，1+v-v2為? 上的一個單位則以下條件是相互等價的：（1）為的理想；（2）xn-(1+v-v2)為的中心.

證明（1）?（2） 因＜xn-(1+v-v2)＞為的理想，則對于?ax∈?，有

有

即得xn-(1+v-v2)為的中心.

（3）?（1） 由理想的定義，顯然結(jié)論成立.

注3（1）下述研究的內(nèi)容：限制條件為＜xn-(1+v-v2)＞是的理想；（2）設(shè)上述的滿足則

其中θ也是環(huán)R上的一個自同構(gòu).

定理2設(shè)C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3，則可得：C是θˉ-(1+v-v2)-常循環(huán)碼?(1)C1,C3為環(huán)? 上的斜循環(huán)碼；（2）C2為環(huán)? 上的斜負循環(huán)碼.

證明假設(shè)

則

又因

定理3假設(shè)有C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3，它是環(huán)? 上的常循環(huán)碼，而C1=＜g1(x)＞，C2=＜g2(x)＞，C3=＜g3(x)＞，其中右整除右整除xn+1，g3(x)也右整除xn-1，則可得：存在唯一有C=＜g(x)＞成立，并且有g(shù)(x) 右整除xn-(1+v-v2) ，

證明（1）首先證C=＜g(x)＞.

假設(shè)g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)+e3g3(x)，則C?

（2）下面證g(x)右整除xn-(1+v-v2).

因g1(x)右整除xn-1，g2(x)右整除xn+1，g3(x)右整除xn-1，則必存在f1(x)，f2(x)，f3(x)有

又因

則有

即證結(jié)論成立.

即得結(jié)論.

4 對偶碼

假設(shè)上述定義的自同構(gòu)θˉ是2階的，即并定義下面研究的內(nèi)容限制條件：（1）是偶數(shù).

定理4碼C是環(huán)? 上的線性碼，則有：C為常循環(huán)碼?C⊥為常循環(huán)碼.

證明“?” 若C為常循環(huán)碼，則知對?u=(u0,u1,…,un-1)∈C有

即

得

也就是C⊥為常循環(huán)碼.“?”類似可證.

下述引理2可參照文獻［18]類似方法，得出下列性質(zhì).

引理2設(shè)則下述所給出的結(jié)論相互等價：

定理5設(shè)C的長度為偶數(shù)并且C為常循環(huán)碼，C=＜g(x)＞，其中g(shù)(x)是首一的多項式，此時則可得

（2）C⊥=且C⊥是常循環(huán)碼.

證明（1）因所以

5 小結(jié)

本文首先通過構(gòu)造映射，給出環(huán)R+vR+v2R(v3=v)的Gray 映射，研究環(huán)上碼的一些性質(zhì). 然后構(gòu)造環(huán)上的自同構(gòu)，討論環(huán)上的斜常循環(huán)碼的性質(zhì). 最后給出在特定條件下：（1）長度是偶長度的，（2）所給自同構(gòu)階數(shù)為2，在這2個條件下的對偶碼的部分性質(zhì). 為代數(shù)編碼理論中尋找好碼提供很好的幫助.