劉圣賓, 丁自豪, 張永兵, 余 波*,2,3

(1.廣西大學 土木建筑工程學院,南寧 530004；2.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,南寧 530004；3.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室,南寧 530004；4.南京市市政設(shè)計研究院有限責任公司,南京 210008)

1 引 言

鋼筋混凝土(RC)柱是建筑和橋梁等工程結(jié)構(gòu)重要的承載構(gòu)件。當RC柱的抗彎承載力不足時,往往會導致RC柱的破壞模式由延性的彎曲破壞向脆性的彎剪破壞或剪切破壞轉(zhuǎn)化,進而造成工程結(jié)構(gòu)發(fā)生局部破壞或整體倒塌[1],影響工程結(jié)構(gòu)的正常使用功能和安全性。因此,準確分析RC柱的抗彎承載力,對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的承載安全性分析與設(shè)計具有重要意義。

目前,國內(nèi)外設(shè)計規(guī)范[2-4]分析RC柱抗彎承載力的思路基本一致,均是基于RC柱正截面承載力計算的基本假定,通過等效簡化RC柱受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力圖,確定相對界限受壓區(qū)高度和鋼筋的應(yīng)力,進而根據(jù)RC柱的截面內(nèi)力平衡方程,提出RC柱的抗彎承載力計算模型[5]。然而,現(xiàn)有的RC柱抗彎承載力模型屬于確定性模型,無法合理考慮RC柱的材料特性、幾何尺寸和施工偏差等因素存在的固有不確定性的影響[6-10],以及在模型建立過程中引入由于各種模型假定、試驗數(shù)據(jù)有限和考慮因素不全面等引起的認知不確定性的影響[6-10]。此外,雖然不同設(shè)計規(guī)范所采用的基本假定類似,但是由于在建模過程中所考慮的影響因素以及所采用的試驗數(shù)據(jù)存在不同,導致各抗彎承載力模型的計算精度和適用性具有顯著差異,所以有必要對各計算模型開展校準分析。傳統(tǒng)的校準方法[11]主要基于模型誤差開展校準分析,無法合理考慮上述固有不確定性和認知不確定性的影響[8,9]。因此,有必要綜合考慮上述不確定性的影響,研究建立RC柱的概率抗彎承載力模型,并提出傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的概率校準方法。

鑒于此,本文首先基于RC柱正截面受彎承載力的基本假定,結(jié)合偏心受壓RC柱的截面內(nèi)力平衡條件,分別建立了大(小)偏心受壓RC柱的確定性抗彎承載力模型；然后,綜合考慮固有不確定性和認知不確定性的影響,并結(jié)合貝葉斯理論和MCMC法,建立了大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力模型；進而基于概率抗彎承載力模型所確定的概率密度函數(shù)、置信區(qū)間和置信水平,提出了傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的概率校準方法；最后,結(jié)合200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱的試驗數(shù)據(jù),驗證分析了概率抗彎承載力模型和概率校準方法的有效性。

2 RC柱的確定性抗彎承載力模型

基于RC柱正截面承載力計算的基本假定(包括平截面假定、不考慮混凝土的抗拉強度、混凝土和鋼筋均采用理想化本構(gòu)關(guān)系模型等)[4],可以確定在偏心受壓作用下矩形截面RC柱的應(yīng)力分布,如圖1所示?？梢钥闯?在壓彎荷載作用下RC柱的抗彎承載力主要由受拉區(qū)鋼筋的拉應(yīng)力,以及受壓區(qū)混凝土和受壓區(qū)鋼筋的壓應(yīng)力承擔?；?圖1(c)所示的RC柱計算等效應(yīng)力分布,可以確定RC柱的截面內(nèi)力平衡條件為

(1)

(2)

σs=fy(β1-ξ)/(β1-ξb)

(3)

式中β1為受壓區(qū)高度等效系數(shù)[4]，ξb為相對界限受壓區(qū)高度,計算公式為

ξb=β1/[1+fy/(Esεc u)]

(4)

式中Es為鋼筋的彈性模量，εc u為混凝土的極限壓應(yīng)變[4]。

對于大偏心受壓RC柱,當達到抗彎承載力時,受拉鋼筋屈服(即σs=fy),根據(jù)式(1)可知：

(5)

式中ξ1為大偏心受壓RC柱的相對受壓區(qū)高度。將x=ξ1h0代入式(2)可以建立大偏心受壓RC柱的確定性抗彎承載力模型，

(6)

對于小偏心受壓RC柱,當達到抗彎承載力時,受拉鋼筋未屈服,結(jié)合式(1，3)可知

(7)

式中ξ2為小偏心受壓RC柱的相對受壓區(qū)高度。將x=ξ2h0代入式(2),可以建立小偏心受壓RC柱的確定性抗彎承載力計算模型：

(8)

圖1 偏心受壓作用下矩形截面鋼筋混凝土柱的應(yīng)力分布

Fig.1 Stress distribution of rectangular reinforced concrete columns under eccentric compression

表1 RC柱基本參數(shù)的取值范圍

基于所收集的250組試驗數(shù)據(jù),可以驗證式(6,8)的計算精度,如圖2所示?？梢钥闯?模型計算值和試驗測試值的散點大多分布在等值線附近,但是式(6，8)的模型計算值與試驗測試值比值的變異系數(shù)分別為0.14和0.18,說明計算結(jié)果具有一定的離散性,主要原因在于RC柱的材料特性、幾何參數(shù)和施工偏差等存在固有不確定性,以及在 式(6，8)的模型推導過程中引入各種模型假定和考慮因素不全面等存在認知不確定性。因此,有必要基于式(6，8)所定義的確定性抗彎承載力模型,考慮上述兩類不確定性的影響,分別建立大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力模型。

圖2 RC柱抗彎承載力的計算值與試驗值的對比

Fig.2 Comparison between calculated and tested flexure strength of RC columns

3 RC柱的概率抗彎承載力模型

3.1 概率抗彎承載力模型的解析表達式與后驗信息

(9)

(10)

根據(jù)式(9,10)可知,要確定大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力,首先需要確定概率模型參數(shù)γi(i=1,2)的統(tǒng)計信息。本文利用貝葉斯理論[16]來確定概率模型參數(shù)γi的后驗分布：

(i=1,2)

(11)

根據(jù)式(11)可知,基于γi的先驗分布信息,結(jié)合試驗數(shù)據(jù),可以不斷更新γi的后驗分布信息。為了避免求解正則化因子所涉及的積分運算,本文基于200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱試驗數(shù)據(jù),采用基于延遲拒絕(DRAM)算法的 MCMC 法[17]來確定γi的后驗分布信息。根據(jù)確定性模型參數(shù)α1的物理意義,假定概率參數(shù)γi的先驗分布為區(qū)間[0.00,1.00]的均勻分布(均值為0.50)。同時,通過研究發(fā)現(xiàn),概率模型參數(shù)先驗分布的變異系數(shù)不宜過小,所以本文假定γi的變異系數(shù)為0.60,進而可以確定γi的先驗分布信息(包括均值、標準差和經(jīng)驗分布類型等),列入表2。

基于所收集的200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱的抗彎承載力試驗數(shù)據(jù),結(jié)合表2中概率模型參數(shù)γi的先驗分布信息,利用基于DRAM算法的MCMC法,可以分別確定概率模型參數(shù)γi的后驗分布信息(如均值、標準差、變異系數(shù)和經(jīng)驗分布類型),列入表3。需要說明的是,為了消除確定先驗分布時存在的主觀性對更新結(jié)果的影響,表3中γi的后驗分布信息是通過循環(huán)更新后得到的結(jié)果,即將第一次更新得到的后驗分布信息作為第二次更新的先驗分布信息進行循環(huán)更新,直到更新前后概率模型參數(shù)γi的均值和標準差滿足預(yù)定的誤差限(如相對誤差小于0.001)時停止更新,此時認為γi的后驗分布信息收斂,否則將持續(xù)更新。

同時,表3中γi的經(jīng)驗分布類型是基于 MCMC 法產(chǎn)生的隨機樣本點利用K-S檢驗確定的,其中K-S檢驗統(tǒng)計量列入表4。需要說明的是,當樣本容量為1000，顯著水平為0.05時,K-S檢驗的臨界值為0.043。由表4可知,γ1和γ2均不拒絕服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和伽馬分布。考慮到正態(tài)分布更加方便使用,所以本文將概率模型參數(shù)γ1和γ2后驗信息的經(jīng)驗分布類型選取為正態(tài)分布。

表2 概率模型參數(shù)的先驗信息

Tab.2 Prior distribution of probabilistic model parameters

模型參數(shù)均值標準差變異系數(shù)分布類型γ10.500.300.60均勻分布γ20.500.300.60均勻分布

表4 概率模型參數(shù)后驗分布的K-S統(tǒng)計量

Tab.4 Statistics of K-S test of posterior distri-bution of probabilistic model parameters

模型參數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布威布爾分布伽馬分布γ10.0380.0390.0450.039γ20.0210.0230.0710.022

3.2 概率抗彎承載力的數(shù)字特征和經(jīng)驗分布類型

假定概率模型參數(shù)γi與模型誤差εiσi(i=1,2)之間相互獨立,根據(jù)式(9,10)定義的大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力模型,利用一般函數(shù)的近似矩方法[18],可以分別確定大(小)偏心受壓RC柱概率抗彎承載力的均值和標準差的解析表達式為

(12)

(13)

(14)

(15)

基于所收集的200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱的抗彎承載力試驗數(shù)據(jù),可以驗證由式(12,14)定義的RC柱概率抗彎承載力均值模型的計算精度,如圖3所示。圖3中等值線Equality line表示式(12,14)的計算值與試驗測試值相等,+30% line和-30% line分別表示式(12,14)的計算值與試驗測試值之間的比值分別為1.3和 0.7?？梢钥闯?式(12，14)的計算值與試驗測試值的散點絕大部分落在±30%線范圍內(nèi),且大部分分布在等值線附近,說明式(12，14)定義的大(小)偏心受壓RC柱抗彎承載力的均值模型具有良好的計算精度。

(18)

圖3 概率抗彎承載力均值模型的計算值與試驗值的對比

Fig.3 Comparison between tested values and calculated values of the mean models of probabilistic flexure strength

根據(jù)式(17,18)所確定的RC柱概率抗彎承載力的累積分布函數(shù),不僅可以計算具有預(yù)定保證率的抗彎承載力概率特征值,而且可以計算傳統(tǒng)確定性RC柱抗彎承載力模型MC的置信水平Cv為

(MC>0)

(19)

(20)

3.3 概率抗彎承載力模型的對比驗證分析

根據(jù)式(20)可以確定在任意置信水平條件下RC柱概率抗彎承載力的雙側(cè)置信區(qū)間。以置信水平1-α分別為0.50和0.95為例,可以分別計算200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力的50%和95%雙側(cè)置信區(qū)間,如 圖5 所示。

從圖5(a)可以看出,對于大偏心受壓RC柱,絕大部分試驗數(shù)據(jù)落在50%雙側(cè)置信區(qū)間內(nèi),而幾乎全部試驗數(shù)據(jù)落在95%雙側(cè)置信區(qū)間內(nèi),且大部分散點分布在概率模型均值線的附近；類似地,從圖5(b)可以看出,對于小偏心受壓RC柱,幾乎全部試驗數(shù)據(jù)均落在95%雙側(cè)置信區(qū)間內(nèi),且大部分散點分布在概率模型均值線附近。由此可見,建立的大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力模型具有良好的計算精度。

4 確定性抗彎承載力模型的校準分析

4.1 基于概率密度函數(shù)的校準分析

根據(jù)式(16，18)確定的RC柱抗彎承載力概率密度函數(shù),可以校準分析傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的計算精度。以3.3節(jié)討論的大(小)偏心受壓RC柱為例,校準分析了中國規(guī)范GB 50010-2010、美國規(guī)范ACI 318和歐洲規(guī)范EN 1992-1-1的RC柱抗彎承載力模型(分別簡記為GB 50010-2010模型、ACI 318模型和EN 1992-1-1模型)的計算精度,各確定性模型的計算公式列入表5,各模型計算值在概率密度函數(shù)上的分布情況如圖6所示。

圖4 抗彎承載力測試值在概率密度函數(shù)上的分布情況

Fig.4 Distribution of tested flexure strength values on PDF

由圖6可以看出,對于所選定的大(小)偏心受壓RC柱,ACI 318模型的計算值均低于試驗測試值和概率模型的均值,說明該模型低估了上述RC柱的抗彎承載力；EN 1992-1-1模型的計算值大于試驗測試值和概率模型的均值,說明該模型高估了上述RC柱的抗彎承載力；GB 50010-2010模型的計算值與試驗測試值和概率模型的均值比較接近,表明該模型的計算精度較好。

圖5 試驗測試值在50%和95%雙側(cè)置信區(qū)間的分布情況

Fig.5 Distribution of tested values in the two-sided confidence intervals of 50% and 95%

表5 不同抗彎承載力模型的計算公式

Tab.5 Formulas of different flexure strength models

模型簡稱計算公式GB50010-2010模型[4]P=α1f′cbx+f′yA′s-σsAsM=α1f′cbx(h0-x/2)+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)ACI318模型[3]P=?(0.85f′cbx+f′yA′s-σsAs)M=?[0.85f′cbx(h0-x/2)+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)]?=0.23+0.25/ξbEN1992-1-1模型[2]P=ηf′c(λx)b+f′yA′s-σ′sAsM=ηf′c(λx)bh0-λx2()+f′yA′s(h0-a′s)-P(h/2-a′s)注:η和λ分別為混凝土抗壓強度折減系數(shù)和受壓區(qū)高度等效系數(shù)[2];σ′s為受拉區(qū)縱向鋼筋的應(yīng)力[2]。

4.2 基于置信區(qū)間的校準分析

基于本文建立的RC柱概率抗彎承載力模型,可以確定RC柱概率抗彎承載力具有預(yù)定置信水平的雙側(cè)置信區(qū)間,進而可以校準分析傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的計算精度。針對所收集的200組大偏心受壓和50組小偏心受壓RC柱,以概率抗彎承載力的50%和95%雙側(cè)置信區(qū)間為例,GB 50010-2010模型、ACI 318模型和EN 1992-1-1模型的計算值在50%和95%雙側(cè)置信區(qū)間的分布情況如圖7和圖8所示。可以看出,對于大(小)偏心受壓RC柱,ACI 318模型的計算值幾乎全部位于95%置信下限和概率模型均值線之間,表明該模型普遍低估了RC柱抗彎承載力；EN 1992-1-1模型的計算值大部分位于概率模型均值線和95%置信上限之間,表明該模型普遍高估了RC柱抗彎承載力；GB50010-2010模型的計算值幾乎全部位于50%雙側(cè)置信區(qū)間內(nèi),且大部分散點分布在模型均值線附近,說明該模型的計算精度相對較好。由此可見,利用概率抗彎承載力模型確定的雙側(cè)置信區(qū)間,可以有效校準分析傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的計算精度。

4.3 基于置信水平校準分析

圖6 RC柱抗彎承載力計算值在概率密度函數(shù)的分布情況

Fig.6 Distribution of predicted flexure strength values on PDF

圖7 確定性抗彎承載力模型的計算值在50%和95%置信區(qū)間內(nèi)的分布(大偏心受壓RC柱)

Fig.7 Distribution of the predicted values of deterministic flexure strength models in 50% and 95% confidence intervals for large eccentric compression RC columns

圖8 確定性抗彎承載力模型的計算值在50%和95%置信區(qū)間內(nèi)的分布(小偏心受壓RC柱)

Fig.8 Distribution of the predicted values of deterministic flexure strength models in 50% and 95% confidence intervals for small eccentric compression RC columns

圖9 在不同影響因素下GB 50010-2010模型計算值的置信水平

Fig.9 Confidence level of the predicted values of GB 50010-2010 model under different influence factors

圖10 在不同影響因素下ACI 318模型計算值的置信水平

Fig.10 Confidence level of the predicted values of ACI 318 model under different influence factors

圖11 在不同影響因素下EN 1992-1-1模型計算值的置信水平

Fig.11 Confidence level of the predicted values of EN 1992-1-1 model under different influence factors

5 結(jié) 論

綜合考慮固有不確定性和認知不確定性的影響,結(jié)合貝葉斯理論和MCMC法,分別建立了大(小)偏心受壓RC柱的概率抗彎承載力模型,進而提出了傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的概率校準方法。研究表明，

(1)與傳統(tǒng)的確定性抗彎承載力模型相比,所建立的概率抗彎承載力模型不僅可以綜合考慮固有和認知不確定性的影響,而且能夠合理描述RC柱抗彎承載力的概率分布特性。

(2)基于概率抗彎承載力模型,可以校準傳統(tǒng)確定性抗彎承載力模型的計算精度?？傮w而言,美國規(guī)范ACI 318模型低估了RC柱的抗彎承載力,歐洲規(guī)范EN 1992-1-1模型高估了RC柱的抗彎承載力,而中國規(guī)范GB 50010-2010模型對RC柱抗彎承載力的計算精度相對較好。