張雅瓊， 于豐寧， 塔 娜， 饒柱石

(上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

越來越多的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)ξ⑿吐暥ㄎ谎b置提出了高精度的要求[1-3].盡管微機械加工技術(shù)逐漸成熟，微型裝置卻很難實現(xiàn)高精度定位，這是由于其定位線索導(dǎo)致的.信號到達不同傳感器間的強度差和時間差，與傳感器陣列的孔徑成正比，普通的傳感器陣列可以通過擴大孔徑的方式提高其定位性能；然而對于微型定位裝置，由于受到空間尺寸的限制，陣列孔徑難以擴大.一個可能有效的方法是放大傳感器陣列接收信號間的強度差和時間差，這種方法等效于擴大陣列孔徑，而這一研究思路源自于一種小型寄生蠅——奧米亞棕蠅.

奧米亞棕蠅是一種具有超強定位能力的寄生蠅，雖然其耳間距僅為0.5 mm左右，卻能憑借寄主發(fā)出的叫聲準(zhǔn)確地對其進行定位[4].研究表明，這種能力得益于其耳間一種特殊的耦合結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)可有效放大兩耳間接收信號的強度差和時間差，其效果等于將耳間距擴大了數(shù)十倍，從而獲得了超強的定位能力[5].受奧米亞棕蠅耳間耦合結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，許多學(xué)者進行了微機電系統(tǒng)(MEMS)的設(shè)計及開發(fā).Miles等[6-7]開發(fā)了一款具有低背景噪聲、高靈敏度的MEMS指向性傳聲器.Kuntzman等[8]與Hall等[9]開發(fā)了MEMS指向性傳聲器，并利用多個壓電傳感端口實現(xiàn)了聲壓及壓力梯度的同步測量.Liu等[10]模擬生物耦合結(jié)構(gòu)，進行了微型聲定位裝置的開發(fā)，并在實驗室條件下對裝置的定位效果進行了驗證.Wilmott等[11-12]采用兩個互成一定角度的MEMS傳聲器實現(xiàn)了空間聲源定位.Masoumi等[13]通過力-電類比進行了耦合電路的設(shè)計，并將其應(yīng)用于天線陣列，構(gòu)成了具有信號差異放大功能的耦合天線陣列.Xu等[3， 14]將耦合電路應(yīng)用于傳聲器陣列，并利用耦合傳聲器陣列輸出信號間的幅值差異實現(xiàn)了聲源定位.王慶生等[15]和Yang等[16]將耦合模型擴展到了三維及更高維，并通過機械結(jié)構(gòu)[15]及模擬電路[17]的形式實現(xiàn)了多個輸入信號間的強度差及時間差的放大.

本文通過求解高維耦合模型的輸出響應(yīng)，深入研究了耦合模型時延放大特性與參數(shù)之間的關(guān)系，為高維耦合模型的設(shè)計提供了一套參數(shù)選擇原則.考慮到機械結(jié)構(gòu)及模擬電路的參數(shù)難以根據(jù)測試環(huán)境進行調(diào)節(jié)、測試聲源受到限制等情況，基于高維耦合模型，通過算法實現(xiàn)了一個多輸入多輸出的線性時延放大系統(tǒng).系統(tǒng)參數(shù)可根據(jù)聲源頻率靈活調(diào)節(jié)，實現(xiàn)對時延放大倍數(shù)的精準(zhǔn)控制.實驗結(jié)果表明，該系統(tǒng)可用于實現(xiàn)小孔徑陣列接收信號間時延的放大，能夠有效地提高其定位精度.

1 力學(xué)模型

奧米亞棕蠅耦合耳朵力學(xué)模型能夠?qū)崿F(xiàn)兩個輸入信號間的時延放大，為了將這一時延放大機制應(yīng)用于多個輸入信號，建立了一個n維耦合模型，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.其中，m為質(zhì)量；k與kc(下標(biāo)c表示耦合)為剛度；c與cc為阻尼；fi(i=1,2,…,n)表示施加在第i個質(zhì)量單元上的力激勵；xi為該質(zhì)量單元的位移響應(yīng).該耦合模型由n個相同的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)組成，每兩個系統(tǒng)之間通過扭簧與阻尼連接，即第i個系統(tǒng)分別與其余n-1個系統(tǒng)耦合.該耦合模型是一個自由度為n的振動系統(tǒng)，當(dāng)n=2時，該耦合模型退化為自由度為2的振動系統(tǒng)，即文獻[5]中的奧米亞棕蠅耦合耳朵力學(xué)模型.

圖1 n維耦合模型

圖1所示的n維耦合模型的動力學(xué)方程可以表示為

(1)

式中：

(2)

(3)

cii=c+(n-1)cc

(4)

kii=k+(n-1)kc

(5)

(6)

系統(tǒng)的響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及瞬態(tài)響應(yīng)組成的.由于阻尼的存在，隨著時間的延續(xù)，瞬態(tài)響應(yīng)將逐漸減小直至消失，系統(tǒng)最終只剩下穩(wěn)態(tài)響應(yīng).因此，這里只討論系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，通過模態(tài)分析法[18]獲得系統(tǒng)響應(yīng)

(7)

式中：

ξ1=[c+(n-2)cc]/(2ω1m)

ξ2=[c+(2n-2)cc]/(2ω2m)

ω為聲源頻率.該系統(tǒng)有n階無阻尼固有頻率，前n-1階數(shù)值相等，均為ω1；第n階為ω2.因此，當(dāng)系統(tǒng)在頻率ω1處振動時，有n-1階振動模態(tài)，這些振動模態(tài)的阻尼比為ξ1；而當(dāng)系統(tǒng)在頻率ω2處振動時，有唯一的振動模態(tài)，對應(yīng)的模態(tài)阻尼比為ξ2.

2 時延放大特性

對于聲激勵，作用于質(zhì)量單元上的力與該處的聲壓成正比.考慮遠場單頻聲源，由于質(zhì)量單元間的距離很小，激勵力將具有相同的幅值及微小的時延差異，可以表示為

fi=A0ejω(t-τi)

(8)

式中：A0為幅值；τi為時延，表示聲波到達質(zhì)量單元i與耦合模型幾何中心的時間差.因此，各激勵力的時延滿足以下關(guān)系

(9)

定義fi與fp間的時延為聲波達到兩個質(zhì)量單元的時間差，記為輸入時延，表示為

τin_ip=τi-τp

(10)

兩個質(zhì)量單元位移響應(yīng)間的時延，記為輸出時延，可以表示為

τout_ip=

(11)

式中：Im(·)和Re(·)分別表示取虛部以及取實部運算.

假設(shè)質(zhì)量單元間的距離遠小于聲波波長，那么可以進行以下小角度假設(shè)

(12)

根據(jù)式(12)，式(11)可以表示為

(13)

由式(13)可知，輸出時延只與相對應(yīng)的激勵力的時延有關(guān)，而與其余激勵力的時延無關(guān).在二維耦合模型中，由于τ1+τ2≡0，輸出時延只與輸入時延有關(guān)，而與各激勵力的時延無關(guān)；然而對于高維耦合模型，只有當(dāng)式(13)分母中的第3項等于0時，即系統(tǒng)參數(shù)滿足條件：

(14)

輸出時延才只與輸入時延有關(guān)，而與各激勵力的時延無關(guān).為了便于計算，令上式等于η，并將其代入式(13)，則輸出時延可以表示為

τout_ip=ητin_ip

(15)

式(15)意味著通過選擇合適的耦合參數(shù)，耦合模型可以看作一個多輸入多輸出的時延線性放大系統(tǒng).系統(tǒng)的時延放大倍數(shù)為η，不受聲波入射角度的影響，而只與聲源頻率及耦合參數(shù)有關(guān).將滿足式(14)的頻率定義為系統(tǒng)的設(shè)計頻率，并記為ω0.

為了保證系統(tǒng)的線性放大特性，需要合理設(shè)計耦合參數(shù).為了使η>1，同時考慮多自由度振動系統(tǒng)的實際物理意義，根據(jù)式(14)可得到

ω0<ω1<ω2

(16)

將式(14)改寫為如下形式

(17)

將式(17)代入式(16)可以得到

ξ2/ξ1<η<(ξ2/ξ1)2

(18)

根據(jù)式(18)，為了使η>1，阻尼比需滿足關(guān)系

ξ2/ξ1>1

(19)

同時，考慮振動系統(tǒng)的實際物理意義，阻尼比需滿足條件ξ1,ξ2∈(0,1).由于振動系統(tǒng)的阻尼比決定了瞬態(tài)響應(yīng)的衰減時間，為了盡快進入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)階段，兩個阻尼比應(yīng)盡可能選得比較大，可將ξ1的范圍設(shè)置為0.1<ξ1<0.4，然后根據(jù)η并結(jié)合式(18)設(shè)計ξ2.繼而根據(jù)ω0、η、ξ1和ξ2，利用式(14)獲得ω1和ω2.最后利用式(7)計算系統(tǒng)的耦合參數(shù)(m、k、c、kc、cc).需要指出的是，5個未知變量間只存在4個約束條件，將有無窮多組滿足條件的耦合參數(shù)，為了方便計算，我們令m=1 kg，其余4個變量可通過式(7)唯一確定.

上述研究建立在式(12)小角度假設(shè)成立的基礎(chǔ)上，不失一般性，對影響式(12)成立的聲源頻率、輸入時延及放大倍數(shù)進行討論，研究這些因素對系統(tǒng)時延放大特性的影響.以n=3為例，假設(shè)耦合模型各質(zhì)量單元布置如圖2所示，質(zhì)量單元1與2、3的間距d=0.03 m.τin_12與τin_13和聲源方位角α與俯仰角θ的關(guān)系可以表示為

(20)

式中：c0為聲速.

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖3 輸出時延的計算結(jié)果與理論值比較

首先，在相同放大倍數(shù)下，研究聲源頻率對系統(tǒng)輸出時延的影響. 假設(shè)ω分別為100π、1 000π 以及2 000π rad/s，選擇η=5，根據(jù)上述方法設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示.當(dāng)θ=20°，α=0°～90°時， 由式(11)計算獲得的輸出時延如圖3所示.其中，理論值(TV)曲線由式(15)獲得.由圖3可知，τout_12與τout_13的計算結(jié)果呈現(xiàn)相同規(guī)律：當(dāng)ω=100π rad/s時，計算結(jié)果與理論值重合；而隨著ω增大，計算結(jié)果逐漸偏離理論值曲線.這說明對于有放大倍數(shù)要求的時延放大系統(tǒng)，其測試頻率不能無限增大.

圖2 耦合模型與聲源的幾何位置關(guān)系

Eip=ητin_ip-τout_ip

(21)

圖4 不同放大倍數(shù)下的平均近似誤差對比

上述分析說明，聲源頻率、輸入時延及放大倍數(shù)均會影響系統(tǒng)的時延放大特性，在實際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合聲源頻率、測試條件及需求，合理選擇放大倍數(shù)，保證近似誤差在可接受的范圍內(nèi).

3 時延放大系統(tǒng)的實現(xiàn)

上述時延放大系統(tǒng)有多種實現(xiàn)方式，如利用MEMS技術(shù)開發(fā)新型傳感器，或通過力-電類比技術(shù)設(shè)計模擬電路.考慮到機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的參數(shù)難以根據(jù)聲源頻率進行調(diào)節(jié)，通過一套算法來實現(xiàn)上述時延放大系統(tǒng)的功能.該算法是通過程序控制的方式實現(xiàn)的，系統(tǒng)的設(shè)計頻率可以根據(jù)輸入信號的頻率靈活地調(diào)節(jié)，從而適應(yīng)不同頻率的聲源.該算法需要與聲信號接收裝置配合使用，其輸入信號為接收裝置的輸出信號.默認(rèn)算法輸入是單頻信號或可近似為單頻信號處理的窄帶信號，對于寬頻聲源，默認(rèn)信號已經(jīng)過窄帶濾波器處理.

圖5 算法流程圖

算法流程如圖5所示.首先，對輸入信號進行快速Fourier變換分析獲得信號的頻譜信息，用于設(shè)置ω0；同時，根據(jù)測試條件及需求設(shè)定η；接著，根據(jù)ω0和η，參照系統(tǒng)參數(shù)選取方法，確定ω1、ω2、ξ1及ξ2；然后，通過式(7)得到k、kc、c、cc及m(m=1 kg)；最后，將這組參數(shù)和輸入信號一起輸入到系統(tǒng)響應(yīng)求解模塊，根據(jù)式(1)，借助數(shù)值計算方法，獲得時延放大系統(tǒng)的輸出.數(shù)值計算方法有很多，采用計算速度較快，同時求解精度較高的Newmark-β法.

4 實驗結(jié)果與分析

以n=3為例，對上述時延放大系統(tǒng)進行了實驗驗證.該實驗是在消聲室和控制室共同完成的，實驗裝置如圖6所示.消聲室測試系統(tǒng)如圖7所示，由一個陣列架和一個置于遠場的揚聲器構(gòu)成.揚聲器由控制室內(nèi)的信號發(fā)生器控制，產(chǎn)生一個頻率為500 Hz的聲音信號.陣列架上固定著3個傳聲器(BSWA MPA416)M1、M2與M3，用于接收該聲信號，并將其轉(zhuǎn)換為電信號輸入到數(shù)據(jù)采集器中.傳聲器的布置見圖2，不同聲源方位通過調(diào)整位于陣列架下方和后方的旋轉(zhuǎn)臺得到，兩個旋轉(zhuǎn)臺均由一臺控制器控制.數(shù)據(jù)采集器將采集到的信號輸入電腦，通過上述算法獲得時延放大系統(tǒng)的輸出信號.信號采樣頻率為102.4 kHz，采樣點數(shù)為 32 768.

圖6 實驗裝置示意圖

圖7 消聲室測試系統(tǒng)

當(dāng)聲源位于(θ,α)=(20°,135°)時，數(shù)據(jù)采集器的輸出信號，即時延放大系統(tǒng)的輸入信號如圖8(a)所示.其中，A′0為歸一化后的幅值.為了較清晰地展示信號波形，設(shè)定時間顯示長度為7 ms.根據(jù)輸入信號的頻譜分析，設(shè)置ω0=1 000π rad/s，選擇η=5，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.時延放大系統(tǒng)的輸出信號如圖8(b)所示，其中t為采樣時間.從圖8(a)中可以發(fā)現(xiàn)，由于傳聲器之間的距離十分微小，3個輸入信號幾乎重合在了一起；而圖8(b)中輸出信號間的時延清晰可見，這說明時延放大系統(tǒng)能夠有效地放大信號間的時延.觀察圖8(b)可以發(fā)現(xiàn)，輸出信號的初始部分并不穩(wěn)定，這是由瞬態(tài)響應(yīng)引起的，但由于阻尼的作用，輸出信號迅速趨于穩(wěn)定，且穩(wěn)定后的信號具有與輸入信號相同的頻率.

圖8 輸入信號與輸出信號的時域圖對比

圖9 輸入時延與輸出時延的估計結(jié)果

為了進一步驗證系統(tǒng)的時延放大特性，探究時延放大對聲源定位的影響，對聲源位于不同方位的情況進行了研究.保持θ=20°不變，α=0°～45°，間隔角度為5°.利用基本互相關(guān)方法對時延放大系統(tǒng)的輸入時延及輸出時延進行估計，估計結(jié)果如圖9所示.圖9中，輸入時延理論值τin_12與τin_13由式(20)計算得到，輸出時延理論值τout_12與τout_13由式(15)計算得到.從圖9(b)可以看出，對于所有的聲源方位，輸出時延都明顯大于輸入時延，且估計結(jié)果與理論值曲線吻合良好，驗證了時延放大系統(tǒng)的有效性.在圖9(a)中，隨著α減小，τout_12的估計結(jié)果逐漸偏離理論值曲線.這主要是由兩方面因素導(dǎo)致的：① 輸出時延與理論值間存在一定的近似誤差(見圖3(a))，該誤差影響相對較??；② 測試系統(tǒng)存在一定的加工、安裝及測試誤差，使得聲源方位與設(shè)置值間存在偏差，該誤差稱為系統(tǒng)誤差.在實際應(yīng)用中，由于系統(tǒng)誤差往往可以通過誤差補償?shù)姆绞竭M行消除，這里不做討論.觀察圖9(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，對于不同的聲源方位，時延估計結(jié)果可能相同，這意味著時延分辨率將限制聲源的方位分辨能力.此外，由于時延放大系統(tǒng)的作用，輸出時延對聲源方位變化的靈敏度提高，時延分辨率的影響被削弱，這意味著時延放大系統(tǒng)將有利于提高聲源的定位精度.

(22)

圖10 有無時延放大系統(tǒng)時的定位誤差對比圖

有無放大系統(tǒng)的定位誤差對比如圖10所示.從圖10中可以看出，無放大系統(tǒng)時，誤差波動較大；而引入放大系統(tǒng)后，誤差波動明顯減小，但隨著α減小，誤差有增大的趨勢，這主要是由系統(tǒng)誤差引起的.除去系統(tǒng)誤差較大的方位(θ,α)=(20°,0°)，經(jīng)過時延放大系統(tǒng)處理，定位誤差都得到了明顯的降低，說明時延放大系統(tǒng)有效地提高了聲源的定位精度.

5 結(jié)語

高維耦合模型可將輸入信號間的時延進行線性放大，但是放大倍數(shù)受到耦合參數(shù)及聲信號頻率的影響.本文提出的耦合模型參數(shù)設(shè)計原則，可確保在不同聲信號頻率下均能取得理想的時延放大效果.通過算法實現(xiàn)了該耦合模型的時延放大功能，使得耦合參數(shù)可以根據(jù)聲源頻率進行靈活調(diào)節(jié)，從而精確地控制時延放大倍數(shù)，克服了機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)中參數(shù)不便于調(diào)節(jié)的缺點.對時延放大系統(tǒng)進行了實驗驗證，表明該系統(tǒng)能夠按預(yù)期放大接收信號間的時延，并有效地提高小孔徑陣列的定位精度.