重慶市巴南區(qū)西南大學(xué)華南城中學(xué) (401346) 夏文濤

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景[1].鑒于此，在全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中，平面向量成為了必考內(nèi)容，其考查形式靈活多樣，時(shí)常出現(xiàn)內(nèi)容新穎別致的題目，它們?cè)诳疾榛A(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，注重對(duì)分析問題和解決問題能力的考查.

向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程是一個(gè)相對(duì)緩慢的過程，直達(dá)2003年我國頒布《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，平面向量才全面進(jìn)入高中數(shù)學(xué).此后初期高考中，平面向量的考查內(nèi)容主要是向量的基本運(yùn)算，突出向量代數(shù)運(yùn)算公式的運(yùn)用.隨著課程改革的推進(jìn)，平面向量的教學(xué)日益深入，平面向量廣泛運(yùn)用到代數(shù)、三角、幾何等領(lǐng)域，這不僅使我們加深了對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，也拓展了解決代數(shù)、三角、幾何問題的思路.與此同時(shí)，高考對(duì)平面向量的考查也逐漸發(fā)生變化,不僅重視對(duì)向量的基本運(yùn)算的考查，還注重對(duì)向量的幾何意義、向量應(yīng)用、向量與其他知識(shí)的綜合.對(duì)于這些問題的解決，我們運(yùn)用向量的代數(shù)形式居多，特別是向量的坐標(biāo)方法，因?yàn)橄蛄烤哂型昝赖倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，能夠使得問題的解決程序化，也正因如此，我們的向量教學(xué)和向量解題更多地圍繞著基本運(yùn)算公式、運(yùn)算律而進(jìn)行.其實(shí)，這樣既不利于我們準(zhǔn)確把握平面向量的知識(shí)內(nèi)涵，也使得在學(xué)習(xí)向量的過程中失去了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟.

1.平面向量的知識(shí)內(nèi)涵與數(shù)形結(jié)合的思想方法

從向量的知識(shí)內(nèi)涵上看，向量是一種具有方向的線段，集數(shù)與形為一體，既具有代數(shù)形式，又具有幾何特征，即向量是數(shù)形的“一體”，而代數(shù)形式和幾何特征是向量的“兩翼”.一方面，作為代數(shù)的對(duì)象，向量可以運(yùn)算，如向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，并且在直角坐標(biāo)系中存在坐標(biāo)運(yùn)算形式；另一方面，作為幾何的對(duì)象，向量具有方向、大小，可以刻畫角度、長度、面積、體積等幾何度量問題.

向量內(nèi)涵上的數(shù)與形的特點(diǎn)，也為數(shù)形結(jié)合思想提供了良好的載體.平面向量的代數(shù)運(yùn)算、幾何意義是向量作為數(shù)形結(jié)合良好載體的兩大形式，在認(rèn)識(shí)向量時(shí)，我們就有了數(shù)學(xué)思想方法的理論支撐，這也為解決向量問題提供了數(shù)學(xué)思想方法層面的理論依據(jù).

2.平面向量代數(shù)運(yùn)算和幾何本質(zhì)的融通性

2.1 向量加法、減法運(yùn)算的原理是平行四邊形定理

圖1

2.2 向量的數(shù)乘運(yùn)算的內(nèi)涵是線段的伸縮理論

2.3 向量的數(shù)量積運(yùn)算的內(nèi)涵是余弦定理[5]

圖2

3.平面向量的解題策略

向量的數(shù)形特點(diǎn)溝通了代數(shù)和幾何的聯(lián)系，打通了向量與代數(shù)、幾何、三角交匯的通道，也為高考向量的命題創(chuàng)新奠定了基礎(chǔ).數(shù)學(xué)解題策略是最高層次的數(shù)學(xué)解題方法，是對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題途徑的概括性認(rèn)識(shí).戴再平教授認(rèn)為就局部范圍內(nèi)的題目討論，若涉及的知識(shí)有限，這個(gè)范圍內(nèi)題目的解題策略的個(gè)數(shù)將是有限的，我們可能通過逐一考慮這些題目策略，探索一般規(guī)律，歸納出一個(gè)邏輯化、模式化的方案，從而形成解題策略.[2]羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題引論》中指出解題策略具有四個(gè)基本特征：①普遍的適應(yīng)性；②直接的可用性；③方法的二重性；④選擇的最優(yōu)性.[1]

基于以上向量知識(shí)內(nèi)涵和數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合最近幾年高考平面向量部分試題的特點(diǎn)，我們不難總結(jié)出滿足以上四個(gè)特征的兩大策略：

(1)從向量的代數(shù)形式出發(fā)，建立直角坐標(biāo)系或選擇恰當(dāng)?shù)墓?，回歸代數(shù)運(yùn)算；

(2)從向量的幾何意義出發(fā)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，轉(zhuǎn)化為幾何問題.

兩大解題策略，各有優(yōu)勢，面對(duì)一個(gè)具體問題，可能要發(fā)揮向量的運(yùn)算優(yōu)勢解題，而優(yōu)勢需要透過表象，揭示出問題的幾何本質(zhì)，以簡化運(yùn)算.這里，我們根據(jù)兩大解題策略，通過對(duì)高考平面向量部分試題的分析和研究，總結(jié)出平面向量問題解決的基本思路和過程：

4.典型例題分析

根據(jù)以上平面向量解題策略，我們從全國各地的高考數(shù)學(xué)試題中選擇出部分典型試題，從向量代數(shù)形式和幾何意義兩個(gè)方面出發(fā)，分別探討問題的解決過程，從中體會(huì)兩大解題策略的一些特點(diǎn)和規(guī)律.

圖3

評(píng)注:解法1和解法2殊途同歸，特別是①式和②式的相同性，很好地呈現(xiàn)了向量數(shù)與形的融通性.

圖4

圖5

圖6

評(píng)注:本題幾何特征色彩重、代數(shù)運(yùn)算難度大，是體現(xiàn)向量幾何意義解題的經(jīng)典試題.

5.思考與感悟

5.1 向量教學(xué)應(yīng)該保持?jǐn)?shù)形的統(tǒng)一性

數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).在向量的教學(xué)中，我們一直重視向量工具性的價(jià)值，側(cè)重向量的運(yùn)算，突出公式的識(shí)記，而忽視向量內(nèi)涵的提煉和升華.例如，從實(shí)用的角度出發(fā)，利用向量方法去解決幾何、三角函數(shù)問題，如此固然可以體現(xiàn)向量的實(shí)用功能，但是一味地重復(fù)單一的方法，可能會(huì)影響學(xué)生創(chuàng)新思維的形成、創(chuàng)造能力的發(fā)展.

高中數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)自主探索的學(xué)習(xí)方式，力求使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”的過程.向量“一體兩翼”的數(shù)形特點(diǎn)，為學(xué)生提供了良好的學(xué)習(xí)探究平臺(tái).對(duì)課堂教學(xué)來說，以數(shù)形的統(tǒng)一性去引導(dǎo)向量教學(xué)，不僅有利于學(xué)生形成完整性的向量知識(shí)，也為向量在解決三角函數(shù)、平面幾何等問題提供了知識(shí)基礎(chǔ).另外，數(shù)形的統(tǒng)一性也為向量的知識(shí)內(nèi)涵上升到思想方法的高度提供了可能性，這樣通過對(duì)向量數(shù)形的探索學(xué)習(xí)，學(xué)生通過數(shù)學(xué)教學(xué)獲得的不僅僅是向量的知識(shí)內(nèi)容，也經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合思想方法的體驗(yàn).

5.2 向量的解題應(yīng)該堅(jiān)持策略的選擇性

長期以來，高中數(shù)學(xué)的解題一直存在著“對(duì)題型，套方法”，通過“題海戰(zhàn)術(shù)”，猜題押題的現(xiàn)象.對(duì)于平面向量，一些教師和學(xué)生認(rèn)為記住公式就行，遇到向量問題就套用公式，或者見到幾何問題，建立直角坐標(biāo)系，或者解完題后缺乏反思，滿足單一方法，誤以為是“通法”.其實(shí)，平面向量具有數(shù)形融通性的特征，這既是向量內(nèi)涵的題中之義，也是數(shù)學(xué)思想的必然結(jié)果.

跳出平面向量解題的單一、僵化的定勢思維，從向量內(nèi)涵、數(shù)形結(jié)合的角度審視平面向量，回歸知識(shí)本源，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，這樣不僅豐富了數(shù)學(xué)知識(shí)，提煉了數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，也不斷提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng).解題策略的選擇取決于實(shí)際解題實(shí)踐的需要，解題實(shí)踐豐富和發(fā)展解題策略，二者的結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在要求.向量兩大解題策略，各有其優(yōu)勢，兼具有不足，具體的選擇應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)而取舍，這樣就超越了解題策略本身，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)散性、靈活性、創(chuàng)新性.