【摘要】《微積分》是高職院校理工科學(xué)生的一門很重要的基礎(chǔ)課，它的內(nèi)容源于生產(chǎn)、生活中，而且蘊(yùn)含著豐富的人生哲理。其中，極限思想通過(guò)有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，以不變應(yīng)萬(wàn)變，轉(zhuǎn)化思想可以培養(yǎng)人的靈活思維，實(shí)現(xiàn)難以轉(zhuǎn)換，復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換等。在課堂教學(xué)中，引入相關(guān)的趣味性哲理，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，對(duì)學(xué)生心理的成長(zhǎng)、未來(lái)的發(fā)展，都起到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的效果。

【關(guān)鍵詞】微積分 ?哲理 ?啟發(fā)

【中圖分類號(hào)】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）17-0238-02

《高等數(shù)學(xué)》是高職院校所開(kāi)設(shè)的一門公共基礎(chǔ)必修課程，而微積分是該課程的核心內(nèi)容。微積分中蘊(yùn)含很多耐人尋味的哲理，課堂教學(xué)中給學(xué)生引入這些內(nèi)容，對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，有良好的效果。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)努力揭示潛藏在微積分內(nèi)容背后的道理，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容趣味化，不但給學(xué)生留下深刻的印象，而且達(dá)到育人的效果。筆者在教學(xué)中經(jīng)常思考微積分內(nèi)容后面隱藏的哲理，每次應(yīng)用到教學(xué)中都取得不錯(cuò)的反響，在本文拋磚引玉，介紹以下八個(gè)哲理思想：

1.復(fù)合函數(shù)中的“嵌套”思想

如果函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域與y=f（u）的定義域有交集，則y=f[g（x）]就稱為由y=f（u）與u=g（x）合成的一個(gè)復(fù)合函數(shù)?？梢?jiàn)，復(fù)合函數(shù)蘊(yùn)含著嵌套思想，如果問(wèn)題中嵌套著問(wèn)題，則運(yùn)用此思想可以達(dá)到令人驚奇的效果。有這樣一個(gè)有趣的事情：一次，美國(guó)滑稽大師馬丁·戈登納根據(jù)哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授貝克先生告訴他的辦法，成功地邀請(qǐng)了一位年輕姑娘一起吃晚飯。戈登納對(duì)這姑娘說(shuō)：“我有3個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你對(duì)每個(gè)問(wèn)題之用Yes或No回答，不必多做解釋。第一個(gè)問(wèn)題是：你愿意如實(shí)地回答我的下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？”姑娘答：“Yes！”“很好，”戈登納繼續(xù)說(shuō)：“我的第二個(gè)問(wèn)題是，如果我的第三個(gè)問(wèn)題是‘你愿意和我一道吃晚飯嗎，那么，你對(duì)這后兩個(gè)問(wèn)題的答案是不是一致呢？”姑娘不知如何回答是好。因?yàn)?，如果她回答“Yes”，這自然表明她同意與他一起共進(jìn)晚餐;但是，如果她回答“No”，說(shuō)明她對(duì)第三個(gè)問(wèn)題的答案與此不同，那就是“Yes”，同樣表明她同意這次約會(huì)。戈登納問(wèn)題的巧妙之處在于，他把第二和第三個(gè)問(wèn)題嵌套在一起，猶如數(shù)學(xué)中的復(fù)合函數(shù)。

2.極限中的有限與無(wú)限的辯證關(guān)系

著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬(wàn)世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國(guó)早期極限思想的認(rèn)識(shí)水平。該句話中由剩余木棒長(zhǎng)度形成一個(gè)數(shù)列“1/2，1/22，1/23，……”，該數(shù)列的變化趨勢(shì)是無(wú)限的趨近于0，從數(shù)列中有限的項(xiàng)來(lái)發(fā)現(xiàn)無(wú)限項(xiàng)的一般規(guī)律和變化方向，體現(xiàn)從有限發(fā)展到無(wú)限的思維，再例如《九章算術(shù)》中的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣！”以此方法最終求得圓的面積和圓周率的近似數(shù)值。極限的這種思想在微積分的產(chǎn)生中起到基礎(chǔ)作用，另外在經(jīng)濟(jì)中也具有廣泛的應(yīng)用。比如銀行復(fù)利，復(fù)利計(jì)算次數(shù)頻繁、計(jì)息周期越短，計(jì)算所得的本息和數(shù)額就越大，當(dāng)計(jì)算次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，利息會(huì)不會(huì)無(wú)限增大呢，利用極限的知識(shí)能知道這是不可能的，考慮到通貨膨脹，通過(guò)在銀行存款不能致富，甚至不能保值。

3.無(wú)窮小與無(wú)窮大中的無(wú)窮觀

“無(wú)窮”又叫“無(wú)限”，無(wú)窮概念本屬于哲學(xué)范疇，哲學(xué)把無(wú)窮歸因于空間和時(shí)間，同時(shí)，無(wú)窮又是數(shù)學(xué)不可忽視的重要概念，微積分中的內(nèi)容多與無(wú)窮為伍，如果沒(méi)有無(wú)窮的概念，就沒(méi)有微積分方法。無(wú)窮概念在微積分中伴隨著連續(xù)、分割、極限、運(yùn)動(dòng)、時(shí)間、變化等問(wèn)題而存在，無(wú)窮觀念也伴隨著人的一生而發(fā)展。其中，無(wú)窮小是極限為零的變量，無(wú)窮大是變化趨勢(shì)為無(wú)限大的變量。無(wú)窮小與無(wú)窮大也蘊(yùn)含著哲學(xué)道理。無(wú)知可以描述為：追趕無(wú)窮大;智慧概括為：關(guān)注無(wú)窮小;中庸解釋為：無(wú)窮小與無(wú)窮大的曲直平衡過(guò)程。正所謂：細(xì)節(jié)決定成敗，狂妄走向滅亡。我們?nèi)说纳m然短暫，但是在有限的時(shí)間里可以做出來(lái)有無(wú)限意義的事情，名垂千秋;我們也不能狂妄自大，一個(gè)人在歷史的長(zhǎng)河中，在浩瀚無(wú)際的宇宙中，又是一個(gè)無(wú)窮小的形象，無(wú)論取得多大的成就，也要懂得謙虛，謙虛使人進(jìn)步，能促使人取得更大的成就。

4.函數(shù)連續(xù)與間斷的啟發(fā)

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的圖像如果是連續(xù)不斷開(kāi)的，我們就說(shuō)y=f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，否則是間斷的。函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處如果是斷開(kāi)的，則不能滿足該點(diǎn)處的極限值等于在該點(diǎn)處的函數(shù)值。正如我們?cè)谏罨驅(qū)W習(xí)、工作中確定一目標(biāo)，努力了很久，才發(fā)現(xiàn)由于自己考慮不足，最終不得不放棄。人生的痛苦在于追求錯(cuò)誤的東西，所謂追求錯(cuò)誤的東西，就是你在無(wú)限趨近于它的時(shí)候，才猛然發(fā)現(xiàn)，你和它是不連續(xù)的。

5.函數(shù)f（x）=ex的導(dǎo)數(shù)的啟示

函數(shù)f（x）=ex，該函數(shù)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)仍為ex，所以不論對(duì)其求幾次導(dǎo)數(shù)，都保持不變，仍為ex。我們?cè)卸嗌俚睦硐牒统兄Z，在經(jīng)歷幾次求導(dǎo)的考驗(yàn)之后就面目全非甚至蕩然無(wú)存？有沒(méi)有那么一個(gè)誓言，叫作f（x）=ex？在上課時(shí)，每次講到這個(gè)內(nèi)容，學(xué)生們都對(duì)ex產(chǎn)生一種敬佩之情，數(shù)學(xué)中的函數(shù)也變得可愛(ài)起來(lái)。

6.函數(shù)的單調(diào)性與極值的人生啟迪

函數(shù)y=f（x）若在點(diǎn)x的附近取得最大值則稱在該點(diǎn)處取得極大值，函數(shù)y=f（x）若在點(diǎn)x的附近取得最小值則稱在該點(diǎn)處取得極小值。在極大值點(diǎn)處的左邊，函數(shù)圖像都是單調(diào)增加，極小值點(diǎn)的左邊，函數(shù)圖像都是單調(diào)減少的。所以，在學(xué)習(xí)或工作中我們要保持積極向上的態(tài)度，勇于進(jìn)取，取得進(jìn)步，才有可能取得人生的一個(gè)個(gè)小高峰。當(dāng)然，如果處在人生的低谷時(shí)，也不要灰心喪氣，只要努力爭(zhēng)上游，人生也會(huì)有起色。當(dāng)一個(gè)人取得成功時(shí)，也不要得意忘形，否則很容易下滑至較低的狀態(tài)。正所謂“勝不驕，敗不餒”，就是單調(diào)性和極值的啟發(fā)。

7.函數(shù)凹凸性中的邊際效用遞減法則

微積分中常見(jiàn)到凸增的函數(shù)圖像，函數(shù)雖然是遞增的，但曲線在向上延伸時(shí)逐漸變得平緩。以大學(xué)學(xué)習(xí)生活為例：當(dāng)一個(gè)人下定決心去做某事，他起初總是信心滿滿，勁頭十足，會(huì)為每天的進(jìn)步而欣喜，然而一段時(shí)間之后，緩慢的、微小的進(jìn)步已不能使他感到振奮，以至于行動(dòng)上也有所懈怠，甚至最終不了了之。許多人始終在這樣的怪圈里打轉(zhuǎn)，這是怎么回事呢？在經(jīng)濟(jì)學(xué)中為著名的邊際效用遞減法則。所以在遇到這種情況，只需堅(jiān)持，雖然進(jìn)步感降低，但是仍在前進(jìn)。

8.微分、積分概念的“化整為零、積零為整”、“近似代替”的思想

微積分包括微分和積分，微是“細(xì)微”，微分就是無(wú)限細(xì)分，積是累積即求和，而不是乘積，積分就是無(wú)限求和。大的復(fù)雜的不規(guī)則的圖形不好研究，就利用微分思想將其分割成若干個(gè)小的簡(jiǎn)單的近似規(guī)則的圖形，分開(kāi)研究，逐個(gè)擊破，再利用積分思想將其整合成原始圖形，以此達(dá)到研究大的不規(guī)則圖形的目的。聯(lián)系到生活中比較大的困難，可以分解成小步驟，逐個(gè)解決。這種近似代替的思想，在微分中的以直代曲中也有應(yīng)用。

微積分不僅是一門知識(shí)體系，它還是一種思想文化。在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行哲理性的思考，會(huì)使數(shù)學(xué)的價(jià)值從技術(shù)工具系統(tǒng)走向人文精神層面，進(jìn)而能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理性的崇敬與追求。微積分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的哲理性不僅有趣味性，而且還有數(shù)學(xué)所特有的思維方式，在課堂教學(xué)中融入哲理的思想，有助于培養(yǎng)其辯證思維的能力，將數(shù)學(xué)的精神內(nèi)涵應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。

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作者簡(jiǎn)介：

王俊華（1984.5-），女，漢族，河南省項(xiàng)城市人，碩士研究生，高校講師，研究方向：數(shù)學(xué)。