趙玉秋 李龍強 張鐵豐

摘 ?要：在我校大力開展“學習科學 友善用腦”教學研究過程中，我對“兩個計數(shù)原理”的教學進行透徹的研究.首先讓學生明白教學內(nèi)容，教學目標，教學重點、難點.引導學生帶著這些疑問進行學習.其次教師要了解、掌握學生關(guān)于“兩個計數(shù)原理”的前擁知識.最后教師要對學生的學習效果進行教學診斷.最終讓學生學有所得，學有所獲.

關(guān)鍵詞：兩個計數(shù)原理;教學診斷

一、教學內(nèi)容分析

在普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）中，“兩個基本計數(shù)原理”是高中數(shù)學選修2-3第1章“計數(shù)原理”的起始課.是本章后續(xù)內(nèi)容排列、組合、二項式定理、隨機變量的概率等內(nèi)容的學習提供理論依據(jù)，對后續(xù)內(nèi)容的學習有著舉足輕重的作用.另外本節(jié)課涉及的分類、分步的思想是解決實際問題的有力工具，是人們思考問題的最根本方法.

（一）教學目標：

1.通過實例分析，讓學生自主建構(gòu)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，并弄清它們的區(qū)別.

2.能初步運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的計數(shù)問題.

3.經(jīng)歷由實際問題抽象出原理，再回到實際解決問題的過程，體會數(shù)學源于生活、用于生活的道理.

（二）教學重點、難點：

重點：本節(jié)課的重點是經(jīng)歷對實際問題進行方法建構(gòu)的過程，能應(yīng)用原理解決實際計數(shù)問題;

難點：在具體問題解決中，有區(qū)別地使用計數(shù)原理，正確區(qū)分“分類”和“分步”.

二、學生前擁知識調(diào)查

學生在小學三年級的時候，數(shù)學老師已經(jīng)向?qū)W生介紹了形如：某位同學有三件不同的上衣，4條不同的褲子可供選擇，問這位學生有多少種穿衣搭配方案？小學老師從學生思維特點出發(fā)，利用枚舉的方法例舉出穿衣搭配方案.學生讀初中時，掌握了列舉法以及畫樹狀圖的方法，有一定的觀察、歸納、推理的能力，在平時的學習中也會不自覺地使用“分類”與“分步”的方法來解決問題，學生能夠熟練的解出“從甲、乙、丙三人中任意抽取兩人一共有多少中方法？”這樣有關(guān)組合的問題.兩個計數(shù)原理的思想從學生讀小學、初中時已有所滲透，然而由于學生年齡、思維等因素的制約，當時沒有把兩個計數(shù)原理上升到理論的高度傳授給學生.因此，兩個原理的學習基礎(chǔ)已經(jīng)具備.但是簡單的計數(shù)能力是不夠的，要在教學過程中培養(yǎng)學生的“原理應(yīng)用意識”，經(jīng)歷從生活中的各種計數(shù)問題抽象出數(shù)學問題，再選擇應(yīng)用原理解決問題的過程.

三、教學診斷

（一）兩個計數(shù)原理的區(qū)別

學生在解題的過程中，會出現(xiàn)不知道何時用分類加法計數(shù)原理，何時用乘法計數(shù)原理.學生出現(xiàn)這種認知上的問題，歸根結(jié)底還是因為學生對這兩個計數(shù)原理的理解不到位.如果從中任取一種辦法都能完成指定的任務(wù)，就用分類加法計數(shù)原理，我把這個原理定義成“一步到位”.如果從中任取一種辦法都不能完成指定的任務(wù)，當每一步都完成之后才能完成指定的任務(wù)，就用分步乘法計數(shù)原理，我把這個原理定義成“步步為營”.學生從字面上可能理解這兩個原理，然而當他們真正遇到實際問題的時候，需要學生對事件進行抽象的概括，提煉出與之對應(yīng)的計數(shù)原理，這需要學生的理性思維分析

（二）學生對問題的理解，決定了學生解決問題的思維方式

兩個計數(shù)原理就是解決 “完成一件什么事，以及如何完成”的問題，學生思考問題的切入點，決定了學生解決問題的思維方式以及操作層面的繁簡、難易程度.

例1.從甲等6名同學中選出4名同學分別從事翻譯、導游、銷售、秘書這四個職務(wù)，其中甲同學不能從事翻譯，問有多少種分配方案？對于這道題，如果學生從每個職務(wù)配一名同學這個角度出發(fā)，大大簡化了這道題的難度.由于甲同學不能從事翻譯，根據(jù)特殊元素（位置）優(yōu)先考慮的原則，給翻譯配一名同學有5中方案，剩下3個職務(wù)從5名同學中（除去甲）任意取3名進行排序，即 ，所以完成這件事共有 種方法.如果學生從人選職務(wù)這個角度出發(fā)，先選人，再分配任務(wù)，相對來說繁瑣一點.由于甲同學不能從事翻譯，所以選出的4名同學中是否含有甲要確定，這樣便于分配任務(wù).方案一，如果選出的4名同學中不含有甲，有 種選法，選出的4名同學再進行分配職務(wù)有 種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理有 種方法;方案二，如果選出的4名同學中含有甲，有 種選法，選出的4名同學再進行分配職務(wù)有 種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理有 種方法，由分類加法計數(shù)原理，共有 種方法.

（三）學生審題上的失誤，造成解題上的障礙

關(guān)于兩個計數(shù)原理應(yīng)用的問題，歷年來對于學生來說都是難點.尤其是有兩個或者兩個以上限制條件的樣題，更是如此.應(yīng)用計數(shù)原理解決問題，讀懂題意是關(guān)鍵.當學生理解題干信息，清楚完成一件什么事，學生思維就轉(zhuǎn)向了如何完成這件事，這樣順理成章的沿著正確的思路去解決問題.例如：從甲、乙、丙等7名同學中選出5人分別擔任班級5個不同的職務(wù).（1）若甲、乙、丙3人中有2人擔任正、副班長，有多少種安排方案？（2）若甲、乙、丙3人中只有1人擔任正、副班長，有多少種安排方案？對于這道題第一問學生認為是 種方法，第二問學生認為是 種方法.通過預(yù)判以及與學生溝通了解到，學生只是關(guān)注了正、副班長，而忽略了其他三個職務(wù)，造成理解上的誤差.如果學生把這道題定位在每個職務(wù)配一名同學，第一問就是 種方法，第二問答案就是 種方法.所以學生研究有關(guān)計數(shù)原理這部分問題時，一定逐字逐句的審題，一道題多讀幾遍，邊讀題邊思考，切莫因理解題意出現(xiàn)偏差造成解題上的失誤.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終.要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系.

參考文獻

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