張 新 羅 嬋 DARRACQ Bruno 劉 科 唐明君 李 玲 謝林華 周曉林

(1四川師范大學物理與電子工程學院, 四川 成都 610066；2巴黎第十一大學奧賽科技學院，法國 巴黎)

2018年11月在法國的凡爾賽召開了國際計量大會，大會對國際單位制中的千克、開爾文、摩爾和安培進行了重新定義[1]。千克的重新定義對科學發(fā)展具有重要意義，在此之前，千克是唯一以特定人工實物——國際千克原器定義的基本單位，然而千克原器的質量受各種因素的影響已經(jīng)出現(xiàn)了細微的變化，難以滿足現(xiàn)代測量要求對精密程度的需要。因此，本次國際計量大會決定修改千克的定義，由物理常數(shù)——普朗克常量重新定義千克?；诖吮尘?，同年10月，小組成員在法國巴黎第十一大學(University of Paris-Sud)交換實習期間，在實習導師的指導下，我們完成了以“千克”為主題的項目式課題，通過方案設計實現(xiàn)了較為準確地用彈簧測量砝碼的質量。

1 方案的確定及改進

我們對如何“用彈簧測量砝碼質量”進行頭腦風暴，根據(jù)已學知識并結合生活實踐提出了以下兩種想法：(1)模擬電子秤的工作原理：將彈簧放置在裝載砝碼的托盤之上，通過讀取力傳感器傳輸彈簧所承受的力，再計算得出測量砝碼的質量。(2)彈簧振子原理：將砝碼和彈簧相連做成彈簧振子，測量其做簡諧運動的振動周期，可由周期公式求解出砝碼的質量。

兩種方案各有優(yōu)點，小組成員討論決定選取簡單、方便、最具可行性且符合實際條件的方案(2)：以理想彈簧振子做簡諧振動，通過周期公式(1)計算砝碼質量：

(1)

式中，k為彈簧的勁度系數(shù)；M為懸掛物體的質量。顯然，要得到懸掛物體的質量就需要先得到彈簧的勁度系數(shù)k和物體與輕質彈簧組成的彈簧振子的振動周期。方案的優(yōu)化過程如下：

將輕質彈簧上端固定在鐵架臺上，下端掛上已知質量為Ma的砝碼。測出彈簧拉伸的長度Δx，利用胡克定律

Mag=ΔF=kΔx

(2)

即可得到勁度系數(shù)k；然后懸掛上一個質量待測的砝碼，將砝碼下拉至適當位置(彈簧彈性限度范圍內)后松手，讓其做自由振動，待振動穩(wěn)定后，測出彈簧振子的振動周期T，代入式(1)中即可求出待測砝碼的質量。

然而實驗過程中我們注意到，彈簧并不是理想的輕質彈簧，在測量較小質量的物體時彈簧質量顯然不能完全忽略。為了保證實驗結果的準確，我們繼續(xù)進行方案的改進，在查閱簡諧振動相關文獻后[2,3]，我們將彈簧振子的周期公式修正為式(3)：

(3)

式中ms為彈簧的質量。此外，在前面所述方案中，在測量彈簧拉伸長度Δx時操作不便，且Δx的讀數(shù)結果存在較大誤差，由它所算得的彈簧勁度系數(shù)k不準確。于是，我們決定采用類比方法解決這一問題，即選擇一個已知質量為M0(M0=50g)的砝碼懸掛于彈簧下端，將砝碼豎直下拉至適當位置后松手，讓其振動，待振動穩(wěn)定后，測出彈簧振子的振動周期T，為了減小實驗結果的隨機性，我們多次測量，求出該彈簧振子的平均周期T0，則

(4)

M0和T0作為一個標準，把一個質量未知的任意物體(其質量用Mx表示)懸掛在同一個彈簧上，重復之前的操作，多次測量彈簧振子的周期，并求出振動周期平均值Tx，可以得到

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，可以得到

(6)

上式M0、T0、ms可以看作已知量，并引入系數(shù)a、b替換，式(6)可化簡為

(7)

根據(jù)上式，只需測出待測物體懸掛于彈簧時的振動周期Tx就能求出其質量Mx。此方案中使用的是同一彈簧，不再需要求解k，減小了實驗誤差。在彈簧的彈性限度內更換不同的物體，我們就能快捷方便準確地測量不同物體的質量。

2 實驗的架構與實現(xiàn)

2.1 實驗平臺搭建

方案完善后，根據(jù)實驗的需要，采用彈簧、鐵架臺、砝碼盒、激光器、電路板、光電二極管、數(shù)據(jù)采集器[4](NI myDAQ)等主要器材搭建了實驗平臺，在采集和處理數(shù)據(jù)過程中，用到的器材和軟件及其對應的功能和用途如表1所示。

表1 實驗所需器材、軟件及其對應功能

實驗平臺主要由3大模塊構成，模型圖和實物圖分別如圖1和圖2所示。圖1中a為數(shù)據(jù)處

圖1 實驗平臺模型圖

圖2 實驗平臺實物圖

理模塊，主要包含電腦、LabVIEW軟件、Fortran程序等數(shù)據(jù)處理硬件和軟件；b為數(shù)據(jù)采集模塊，主要包括數(shù)據(jù)采集器(NI myDAQ)以及包含光電二極管的電路板等；c為測試模塊，包括彈簧、砝碼和激光發(fā)射器等器材。

2.2 實驗過程調試與效果分析

2.2.1 定標裝置的標準砝碼質量M0、振動周期T0、彈簧的質量ms的測量

在進行待測物體質量測量之前，根據(jù)式(6)，需要先測出我們定義的標準裝置的特征參數(shù)。首先，利用質量比較儀對標準質量為M0(M0=50.000g)的砝碼進行了校準，采用電子秤測量彈簧的質量ms(ms=3.566g)。其次，為了測量作為標準的彈簧振子的平均振動周期T0，我們設計了一個能測出彈簧振子振動周期的傳感裝置(如圖2所示)，設計原理在于利用IN myDAQ器件探測光電二極管感受光強變化時兩端電壓的變化，并通過LabVIEW軟件在電腦上顯示出電壓變化圖，電壓的變化周期正是該彈簧振子的振動周期。具體操作過程及改進措施如下：光電二極管電路的電源電壓設置為3V；打開激光，照射光電二極管，選取砝碼靜止時的位置為平衡位置，調節(jié)彈簧與砝碼的整體高度，使砝碼的上平面剛好擋住激光；用手將砝碼豎直下拉一定的距離，然后釋放，砝碼與彈簧組成的彈簧振子振動，電腦屏幕上顯示出光電二極管兩端電壓隨時間變化的圖像，如圖3(a)所示，待圖像穩(wěn)定后手動截取振動周期并讀數(shù)。

圖3 (a) 光電二極管兩端電壓隨時間變化的圖像； (b) 電壓隨時間變化的失真圖像

實驗過程中發(fā)現(xiàn)如下兩個問題會導致圖像失真(圖3(b))：①砝碼和彈簧整體橫向擺動；②砝碼上平面的掛鉤和彈簧會遮擋激光。此外,手動截取一個周期時產(chǎn)生的誤差也較大。為了解決以上問題，盡量減小誤差，我們提出了如下解決方案：①在包裝盒外選擇參照點并做標記，保證砝碼每次在豎直下方離平衡位置1cm處釋放，且盡量避免砝碼橫向擺動；②為防止砝碼掛鉤及彈簧對激光的遮擋，選取砝碼靜止時其下平面位置為平衡位置參考點，使砝碼下平面剛好擋住激光；③由原先的每次截取一個振動周期改為截取兩個振動周期。實驗改進以后，項目組在每次測量時讀取兩個周期，重復測量10次，舍棄數(shù)據(jù)中的最大值及最小值，然后求得標準砝碼的振動周期平均值T0。方程(7)中的常數(shù)a、b就已確定。

2.2.2 測量待測物體的振動周期Tx

為了方便懸掛，同時為了驗證方案的精確度，選取一組質量已知的砝碼作為待測物體，并對所有砝碼都提前進行了校準。方案如下：取下標準砝碼，更換待測砝碼，考慮到彈簧的彈性限度，我們選取了校準質量分別為9.997g、19.994g、29.993g、39.988g、49.984g、59.981g的6種砝碼，依次測量并記錄不同砝碼的振動周期數(shù)據(jù)。

2.2.3 數(shù)據(jù)計算及分析

根據(jù)已測的振動周期Tx，采用Fortran軟件編寫的計算程序計算出待測物體的質量Mx，結果如表2所示。同時，進行誤差分析和不確定度的計算。

從測試結果可看出，所有待測砝碼的測量質量均處于展伸不確定度范圍內，表明測量結果的置信概率較高。實驗中引入的系統(tǒng)誤差和隨機誤差[5,6]分析如下，其一，理論公式推導中的近似處理，比如方案中依據(jù)的式(3)和推導式(6)所做的近似；其二，儀器精度和環(huán)境影響所引入的系統(tǒng)誤差，如在測量定標砝碼的質量M0以及彈簧的質量ms時，儀器精度、空氣阻力等因素的影響；其三，在操作過程中，尤其在測量T0和Tx時，手動釋放彈簧以及人工截取振動周期等帶來的隨機誤差。

3 結論與展望

本文以“用彈簧測量物體質量”為例進行了項目式學習探索，項目組設計了以振動周期為唯一測量值進行質量計算的簡便可靠方案，并較好地測量出了待測物體的質量。在知識與技能方面，這種基于設計與實踐的綜合性學習模式體現(xiàn)了STEM的教學理念[7]，使參與者置于真實問題情境中，通過思維碰撞、動手實操，真正實現(xiàn)了科學、技術、工程和數(shù)學的融合，提升了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力和實踐動手能力。在情感與價值觀方面，參與者在解決問題的過程中對知識進行自主建構，在“做中學”的實驗過程中初步意識到用工程的概念去解決實際問題，形成了一種工程意識，踐行了“從物理走向生活”的理念，體會到了科學和技術是推進社會發(fā)展的重要力量。本文對未來教學過程中更多的項目式學習提供了啟迪和借鑒的素材。

表2 待測砝碼的周期和質量