王燕飛

(吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022)

可靠性抽樣檢驗是通過檢查產(chǎn)品的樣本質(zhì)量來評價整批產(chǎn)品質(zhì)量.隨著科技進步，產(chǎn)品的可靠性越來越高，應用經(jīng)典統(tǒng)計方法制定的可靠性抽樣檢驗方案的抽樣量較大.因此，人們越來越重視應用Bayes統(tǒng)計方法制定可靠性抽樣檢驗方案，以便充分利用產(chǎn)品的各類可靠性信息，從而有效地降低可靠性試驗的抽樣量.

在實際生產(chǎn)生活中，很多產(chǎn)品的性能指標都服從正態(tài)分布，非常普遍.但關于正態(tài)分布產(chǎn)品的可靠性抽樣檢驗的研究成果卻較少.馮文哲、劉琦基于0—1損失函數(shù)和兩類風險約束條件，研究了正態(tài)型指標的復雜假設的Bayes可靠性驗證試驗設計[1].張碩云等對于正態(tài)型指標的簡單假設，利用Bayes方法基于兩類風險確定了樣本量[2].很多產(chǎn)品的指標是要求在規(guī)格上限與規(guī)格下限范圍之間鑒定為合格，否則認為不合格.關于正態(tài)型產(chǎn)品的雙側規(guī)格限情形的可靠性抽樣檢驗問題，國家標準GB8053—87[3]沒有明確方案.國際標準ISO3951:1989(E)和國家標準GB6378—86只有圖方法，沒有數(shù)值方法.美軍標MIL-STD-414和美國標ANSI/ASqCZI 1.9也僅是得到近似的抽樣方案設計.呂建華、吳啟光利用經(jīng)典統(tǒng)計方法，探討了綜合雙側規(guī)格限下方差未知的正態(tài)分布產(chǎn)品的可靠性抽樣檢驗方案[3].

事實上，正態(tài)型產(chǎn)品的指標值多數(shù)都為正值.這一信息往往被忽視.針對正態(tài)分布指標的雙側規(guī)格限情形，研究了在總體方差已知，總體指標的均值為正的前提下，根據(jù)Bayes理論，確定最大熵先驗分布，并求得后驗分布.利用生產(chǎn)方和使用方的兩類風險約束條件，確定最小抽檢樣本量，從而制定更加合理有效的抽樣檢驗方案.最后通過實例說明其效果優(yōu)于經(jīng)典統(tǒng)計方法確定的抽樣檢驗方案.

1 基于最大熵先驗的正態(tài)指標的可靠性抽樣檢驗設計模型(MENBR)

假設產(chǎn)品的某性能指標X服從正態(tài)分布N(μ,σ2).其中σ2已知，指標均值μ>0.為了檢驗該指標均值是否達標，抽取樣本X1,X2,…,Xn，其觀察值為x1,x2,…,xn.

產(chǎn)品的生產(chǎn)方和使用方根據(jù)產(chǎn)品性能的可靠性要求，共同協(xié)商建立如下統(tǒng)計假設：

H0：L≤μ≤U，H1：μ>U或0<μ

其中L為指標值的規(guī)格下限，U為指標值的規(guī)格上限.即產(chǎn)品指標均值滿足L≤μ≤U時認為合格，否則認為不合格.

根據(jù)Bayes理論，為了對產(chǎn)品指標進行檢驗，需要利用指標值的后驗分布[4].首先依據(jù)一些先驗信息確定μ的先驗分布.根據(jù)以往歷史數(shù)據(jù)資料，容易得到μ的樣本均值，近似估計總體均值.若E(μ)=θ(μ>0)，則除此之外沒有其他信息可用.那么在這樣的前提條件下，確定最“無信息”的先驗分布是非常合理的，即最大熵先驗[5].

證明：根據(jù)文獻[4]，可知，若滿足條件

Eπ[gk(μ)]=θk(k=1,2,…,m)，

其中gk(·),μk(k=1,2,…,m)分別表示已知的函數(shù)和已知的常數(shù).則此時μ的最大熵先驗分布為

其中π0(μ)為μ的無信息先驗.

當λ1≥0時，π(θ)=0.無意義；當λ1<0時，π(θ)=-λ1eλ1θ.

下面利用μ的先驗分布及總體分布確定μ的后驗分布，得到如下定理2.

(1)

故T的邊緣分布為

則μ的后驗分布為

對產(chǎn)品指標進行可靠性抽樣檢驗，對于生產(chǎn)方最關心的是：由抽樣得到批產(chǎn)品沒有通過檢驗，而產(chǎn)品的性能指標值卻是合格時的風險.換言之，在抽樣檢驗統(tǒng)計量T∈W(W為檢驗的拒絕域)時μ∈[L,U]的概率.則生產(chǎn)方所承擔的最大風險即為后驗概率

對于使用方而言，最關心的是通過抽樣批產(chǎn)品通過檢驗，但產(chǎn)品指標卻是不合格時的風險.或者說，在抽樣檢驗統(tǒng)計量T?W(W為檢驗的拒絕域)時μ∈(-∞,L)∪(U,+∞)的概率.則使用方所承擔的最大風險即為后驗概率

通常，生產(chǎn)方和使用方的最大風險分別限定在給定數(shù)值α和β值以內(nèi).由此可知，可靠性抽樣檢驗方案的制定，就是求解方程組

(2)

從而確定最小抽檢樣本量.將方程組(2)稱為基于最大熵先驗的正態(tài)指標的可靠性抽樣檢驗設計模型(MENBR).

2 模型的求解

對于模型MENBR，拒絕域W的確定尤為關鍵.根據(jù)Bayes假設檢驗理論，當后驗概率

P(μ∈Θ1|T=t)≥P(μ∈Θ0|T=t)

(3)

時拒絕原假設H0.

將后驗分布(1)代入(3)中，化簡得:

(4)

即當T滿足(4)式時，拒絕原假設H0，則此時的T的范圍即為拒絕域W.

為了求解拒絕域W，可以利用Matlab編程.具體編程步驟如下：

建立函數(shù)

2．編制兩個子程序：

子程序1：

子程序2：

3.運行子程序1和子程序2，可以分別得到臨界點C1和C2.

通過Matlab程序搜尋結果可得到，T的拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞).

下面將拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞)代入方程組(2)，即可得到最小檢驗樣本量n，

從而確定模型的Bayes抽樣檢驗方案(n,C1,C2).

3 算 例

假設某種產(chǎn)品的指標值為X，且X～N(μ,σ2).根據(jù)歷史數(shù)據(jù)得到，該產(chǎn)品指標的總體方差為σ2=16，利用平均指標的數(shù)據(jù)求得的期望為E(μ)=350=θ.若生產(chǎn)方和使用方協(xié)商確定產(chǎn)品的規(guī)格下限和規(guī)格上限分別為L=346,U=355.通常，生產(chǎn)方承受最大風險限定值為α=0.05，使用方承受最大風險限定值為β=0.10.則利用Matlab搜尋得到拒絕域W的臨界值為346.7和354.8.故T的拒絕域為W=(0,346.7)∪(354.8,+∞)，將其代入方程組(2)，得：

從而確定最小檢驗樣本量為44.

即得到模型的Bayes抽樣檢驗方案(44,346.7,354.8).這比經(jīng)典統(tǒng)計方法確定的最小抽檢驗本量68要小得多.并且較之經(jīng)典統(tǒng)計方法，該方法更加簡便易行.

4 結 論

本文針對正態(tài)分布型產(chǎn)品的指標值為正，且總體方差已知，平均指標值為已知常數(shù)的情況，利用最大熵原理確定指標值的先驗分布，根據(jù)Bayes理論確定可靠性抽樣檢驗方案.在求解過程中，運用Matlab軟件編程搜索拒絕域的臨界值，并由生產(chǎn)方和使用方的最大承擔風險確定最小抽樣樣本量.這種確定可靠性鑒定試驗方案的方法，對于正態(tài)型分布產(chǎn)品的雙側規(guī)格限情況，有較大突破，避免了傳統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計方法的繁瑣計算.最終得到的最小抽樣檢驗量也更加節(jié)約經(jīng)濟，效果很好.