朱 遙 劉 春② 劉 輝 黃靨歡 秦 巖 鄧 尚②

(①南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210046，中國(guó)) (②南京大學(xué)(蘇州)高新技術(shù)研究院，蘇州 215123，中國(guó))

0 引 言

砂土分布廣泛，是人類工程建設(shè)活動(dòng)的主要對(duì)象之一。抗剪強(qiáng)度是砂土的重要力學(xué)指標(biāo)之一，很多工程實(shí)踐活動(dòng)都與砂土的抗剪強(qiáng)度息息相關(guān)：如道路地基穩(wěn)定性問(wèn)題(王文，2017)、土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題、建筑物地基承載能力問(wèn)題等。因此，分析砂土抗剪強(qiáng)度的影響因素，研究砂土抗剪強(qiáng)度的變化規(guī)律，對(duì)于指導(dǎo)工程建設(shè)以及保障人民群眾的生命財(cái)產(chǎn)安全有著重大的意義。

黏聚力與內(nèi)摩擦系數(shù)是抗剪強(qiáng)度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，兩者對(duì)抗剪強(qiáng)度影響的作用機(jī)理有一定差別(蔣明鏡等，2009)。C.A.Coulomb提出的抗剪強(qiáng)度表達(dá)式認(rèn)為砂土的黏聚力為0，其抗剪強(qiáng)度主要受到內(nèi)摩擦力的影響，內(nèi)摩擦力則是由法向應(yīng)力以及顆粒間的內(nèi)摩擦系數(shù)所決定的。因此，探求砂土顆?？辜魪?qiáng)度的影響因素應(yīng)從砂土顆粒的粗糙程度、顆粒形態(tài)、粒徑及級(jí)配等方面進(jìn)行考慮(劉熙媛等，2017)。

目前對(duì)砂土的顆粒形態(tài)的主要研究方式有3種：定量化指標(biāo)法、試驗(yàn)方法以及計(jì)算機(jī)模擬法(高金翎，2013)。對(duì)于顆粒形態(tài)的定量化指標(biāo)法，Cho et al.(2006)基于球形度、棱角度以及粗糙度3個(gè)角度對(duì)顆粒形態(tài)進(jìn)行描述；而Bowman et al.(2001)則從數(shù)學(xué)的角度，采用傅里葉變換以及分析理論對(duì)砂土的顆粒形態(tài)進(jìn)行描述，但是砂土的顆粒形態(tài)描述理論從單個(gè)顆粒描述到群體顆粒描述以及群體顆粒形態(tài)的分布特征仍不成熟，顆粒形態(tài)的定量化描述目前仍存在著很多的困難。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及離散元法的出現(xiàn)，室內(nèi)試驗(yàn)與數(shù)值模擬逐步成為了分析砂土顆粒形態(tài)的重要手段。

在直剪試驗(yàn)的數(shù)值模擬中，最早采用的是彈塑性有限元法(FEM)(Cividini et al.，1992; Tejchman，2005)，但是由于砂土為非連續(xù)介質(zhì)，基于連續(xù)介質(zhì)理論的FEM并不能反映出粒徑、顆粒形態(tài)等材料參數(shù)對(duì)模擬結(jié)果的影響。因此，基于非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的離散元法DEM在顆粒介質(zhì)的數(shù)值模擬中得到了廣泛的應(yīng)用(Mora et al.，1993)。該方法成本低、易操作，非常適用于砂土等離散介質(zhì)體的數(shù)值模擬。與定量化描述法不同，砂土顆粒形態(tài)的數(shù)值模擬法更加方便快捷，建立合適的離散元模型，結(jié)合室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值模型來(lái)進(jìn)行研究。同時(shí)，在宏微觀尺度上，利用離散元法模擬巖石力學(xué)與土力學(xué)試驗(yàn)，可以定量的分析巖土體宏觀變形和破壞的微觀機(jī)制，為探究巖土體宏觀力學(xué)性質(zhì)的微觀機(jī)制提供了一個(gè)很好的手段(李世海等，2003，2004；蔣明鏡等，2012，2014)。離散元法可以通過(guò)重疊和拼合基本的球形單元來(lái)擬合不規(guī)則的砂粒，來(lái)模擬砂土顆粒的不規(guī)則形態(tài)，可以定量化分析研究顆粒形態(tài)對(duì)砂土抗剪強(qiáng)度的影響。目前研究砂土抗剪強(qiáng)度的影響因素最常用的手段就是將數(shù)值模擬法與室內(nèi)試驗(yàn)相結(jié)合，通過(guò)數(shù)值模擬法可以探究其微觀特性，并采用室內(nèi)試驗(yàn)來(lái)確定模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。嚴(yán)穎等(2009)對(duì)非規(guī)則顆粒材料的力學(xué)行為進(jìn)行了離散元數(shù)值模擬，并通過(guò)碎石料的直剪試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；鄧雄等(2014)通過(guò)離散元法模擬自然條件下斷層物質(zhì)的直剪過(guò)程得到斷層物質(zhì)的受壓剪切特性；金博等(2015)通過(guò)PFC3D軟件從剛度、密度、粒徑等方面對(duì)混合型顆粒材料進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)值模擬分析，獲得了詳細(xì)的力學(xué)表征; 樂(lè)天呈等(2018)通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)以及離散元軟件MatDEM研究了不同級(jí)配下砂土的壓縮性。

目前，針對(duì)顆粒形態(tài)對(duì)砂土抗剪強(qiáng)度影響的研究已取得了一定的成果，但是數(shù)值模擬多局限于二維，且顆粒數(shù)量相對(duì)較少。基于課題組自主研發(fā)的高性能三維離散元數(shù)值模擬軟件MatDEM(劉春等，2014；Liu et al.，2017)，該軟件具備強(qiáng)大的二次開發(fā)功能，可以通過(guò)二次開發(fā)完成復(fù)雜的巖土試驗(yàn)數(shù)值建模。本文擬對(duì)多組球形石英砂以及實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂進(jìn)行室內(nèi)直剪試驗(yàn)，就顆粒形態(tài)如何影響砂土抗剪強(qiáng)度進(jìn)行研究，并基于MatDEM數(shù)值模擬得出的結(jié)果加以驗(yàn)證。

1 直剪試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)材料、方法和過(guò)程

試驗(yàn)材料為球形石英砂和實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂，均為干燥顆粒，球形石英砂和實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂按粒徑可分為0.6～0.8m、0.8～1.0m、1.0～1.2m、1.4～2.0m以及2.0～2.5m 5個(gè)粒組，每一組球形石英砂均對(duì)應(yīng)著一組相同粒組的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂。共計(jì)10個(gè)砂土試樣。球形石英砂顆粒表面光滑規(guī)整，實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂為自然采集篩分后的自然石英砂，表面粗糙無(wú)規(guī)則，且每一組的級(jí)配服從正態(tài)分布。

本文采用砂雨法制作石英砂試樣，試樣為圓柱形試樣，直徑61.8imm，高20imm。制樣時(shí)石英砂顆粒從漏斗豎直落入下方的直剪盒內(nèi)，砂樣落距均為6icm以保證不同粒徑砂樣的密度均相同，各粒徑試樣的自然休止角如表 1、表 2所示，自然休止角不受落距、漏斗直徑影響(仇亮等，2019)。

表 1 標(biāo)準(zhǔn)砂自然休止角Table1 Angle of repose of standard sand

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8自然休止角/(°)31.0828.6526.6325.5923.99

表 2 球形石英砂自然休止角Table2 Angle of repose of spherical quartz sand

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8自然休止角/(°)19.8316.9213.6212.0810.84

當(dāng)顆粒從直剪盒的邊緣溢出則立刻停止落砂，并用刀片刮去多余的部分，在上方依次放上濾紙、透水石和傳壓板。然后在直剪盒上方施加荷載進(jìn)行直剪試驗(yàn)，參照土工試驗(yàn)規(guī)范，以對(duì)應(yīng)快剪的0.8imm·min-1的剪切速度進(jìn)行剪切，使試樣在4imin內(nèi)剪損，并通過(guò)電子千分表測(cè)量剛環(huán)變形量，從而間接測(cè)得剪切過(guò)程中的剪應(yīng)力。為測(cè)得砂土的內(nèi)摩擦系數(shù)，每一組試樣分別在4級(jí)荷載下進(jìn)行剪切試驗(yàn)，荷載分別為：100kPa、200kPa、300kPa、400kPa。

1.2 剪切特性曲線

以在100ikPa荷載下的剪切特性曲線為例(圖 1、圖2)，剪切試驗(yàn)過(guò)程中，球形石英砂和標(biāo)準(zhǔn)砂的剪切特性曲線變化趨勢(shì)一致，前期剪應(yīng)力迅速增加然后逐漸趨于一個(gè)定值。試樣的抗剪強(qiáng)度為剪切過(guò)程中的峰值強(qiáng)度，顆粒形態(tài)規(guī)則的球形石英砂峰值強(qiáng)度較低，表面形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂峰值強(qiáng)度較高。在相同的正向壓力下，顆粒形態(tài)為影響抗剪強(qiáng)度的主要因素，顆粒形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂試樣抗剪強(qiáng)度明顯大于球形石英砂試樣；同時(shí)粒徑也影響著抗剪強(qiáng)度，在相同的表面形態(tài)條件下，砂土顆粒粒徑越大，抗剪強(qiáng)度就越大。

圖 1 100ikPa荷載下標(biāo)準(zhǔn)砂剪切特性曲線Fig. 1 Shear characteristic curve of standard sand under 100ikPa load

圖 2 100ikPa荷載下球形砂剪切特性曲線Fig. 2 Shear characteristic curve of spherical sand under 100ikPa load

從圖 1、圖 2可以看到，球形石英砂要比實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂要更快到達(dá)峰值強(qiáng)度。其主要原因是顆粒形態(tài)為球形的石英砂只需要克服顆粒間的滑動(dòng)摩擦力，在外部荷載作用下顆粒的旋轉(zhuǎn)和重新排列可以快速完成；而顆粒表面形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂，表面多棱角，顆粒與顆粒之間會(huì)出現(xiàn)相互咬合嵌鎖的作用，在外部荷載作用下要完成顆粒的重新排布需要克服顆粒之間的咬合嵌鎖作用，故較慢到達(dá)剪切峰值強(qiáng)度。試樣在200ikPa、300ikPa以及400ikPa的荷載下剪切特性曲線趨勢(shì)特征與100ikPa荷載下的基本一致。

1.3 抗剪強(qiáng)度和法向應(yīng)力關(guān)系曲線

抗剪強(qiáng)度與法向應(yīng)力的關(guān)系圖像是反映顆粒材料性質(zhì)的一個(gè)重要方法，根據(jù)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，單一試樣的剪切峰值強(qiáng)度與正應(yīng)力成正比，其比例是內(nèi)摩擦角的正切值。采用最小二乘法(談云志等，2005)，將試驗(yàn)得到的各試樣的抗剪強(qiáng)度與荷載強(qiáng)度擬合，結(jié)果如圖 3、圖 4所示：標(biāo)準(zhǔn)砂擬合直線不過(guò)原點(diǎn)，球形石英砂擬合函數(shù)基本都為過(guò)原點(diǎn)的直線。

直剪試驗(yàn)中，內(nèi)摩擦角θ=arctank，其中，k為剪切特性曲線的斜率，如表 3、表 4所示，球形石英砂與實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂的內(nèi)摩擦系數(shù)都隨著粒徑的變大而變大，并且在相同粒徑的條件下，顆粒形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂的內(nèi)摩擦系數(shù)明顯大于球形石英砂的內(nèi)摩擦系數(shù)。

Liu et al.(2017)提出的離散元宏微觀系數(shù)計(jì)算公式：

式中:Fs0為剪應(yīng)力；μp為顆粒微觀的內(nèi)摩擦系數(shù)；Cu為單軸抗壓強(qiáng)度;d為顆粒粒徑。

該公式指出，粒徑越大，剪應(yīng)力越大，剪應(yīng)力由初始抗剪強(qiáng)度以及摩擦角決定，砂土初始抗剪強(qiáng)度可以忽略不計(jì)，故粒徑越大，內(nèi)摩擦角越大，即內(nèi)摩擦系數(shù)越大，該公式的結(jié)論與本次試驗(yàn)得到的結(jié)論相同。

圖 3 標(biāo)準(zhǔn)砂剪應(yīng)力與法向應(yīng)力擬合曲線Fig. 3 Curve of shear stress and normal stress of standard sand

圖 4 球形砂剪應(yīng)力與法向應(yīng)力擬合曲線Fig. 4 Curve of shear stress and normal stress of spherical sand

表 3 球形石英砂各粒組摩擦角Table3 Friction angle of spherical quartz sand of each group

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8內(nèi)摩擦系數(shù)0.11940.11620.10930.10610.0965摩擦角/(°)6.86.66.26.15.5

表 4 實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂各粒組摩擦角Table 4 Friction angle of each group of laboratory standard sand

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8內(nèi)摩擦系數(shù)0.19530.18710.18030.16790.1606摩擦角/(°)11.110.610.19.59.1

散體堆積體內(nèi)部顆粒接觸法向量、法向接觸力和切向接觸力的各向異性強(qiáng)度指標(biāo)與自然休止角有著明顯的正相關(guān)性，顆粒形態(tài)愈不規(guī)則、粒徑愈小，顆粒間強(qiáng)度指標(biāo)與自然休止角愈小(戴北冰等，2019)。結(jié)合各試樣的自然休止角，可知表面形態(tài)不規(guī)則的石英砂內(nèi)部顆粒間作用力明顯大于球形石英砂；同時(shí)，在擬合各試樣剪應(yīng)力與法向應(yīng)力擬合曲線發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)砂試樣的擬合曲線基本上都不過(guò)原點(diǎn)，存在著一定的黏聚力，表明顆粒形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂顆粒之間存在著相互嵌鎖作用，從宏觀上表現(xiàn)出試樣有著一定的黏聚力。

砂土是無(wú)黏性的散體材料，影響其抗剪強(qiáng)度的因素主要是顆粒間的滑動(dòng)摩擦力與咬合摩擦力兩部分。當(dāng)試樣為球形石英砂時(shí)，其表面顆粒形態(tài)為規(guī)則的圓球狀，顆粒間的摩擦強(qiáng)度較小，其抗剪強(qiáng)度主要體現(xiàn)在其滑動(dòng)摩擦力；而當(dāng)試樣為實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂時(shí)，其表面顆粒形態(tài)不規(guī)則且粗糙，顆粒與顆粒之間有著較強(qiáng)的咬合嵌鎖作用，滑動(dòng)摩擦力與咬合摩擦力共同影響著抗剪強(qiáng)度。所以在相同剪切條件下，球形石英砂在外部荷載作用下能更快地完成顆粒的重新排列，且抗剪強(qiáng)度較低，而實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂則需要克服顆粒間的咬合嵌鎖，峰值強(qiáng)度較高。

2 離散元法與MatDEM軟件

2.1 離散元基本原理和赫茲模型

離散元法通過(guò)堆積和膠結(jié)一系列具有特定力學(xué)性質(zhì)的顆粒來(lái)構(gòu)建巖土體模型，并在此基礎(chǔ)之上通過(guò)時(shí)間步的迭代算法來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬。通常情況下采用最基本的線彈性模型進(jìn)行數(shù)值模擬，該模型假定顆粒與顆粒直接依靠著彈簧相互接觸并產(chǎn)生力的作用。但當(dāng)顆粒表面光滑無(wú)粘連，接觸面與總表面積相比極小，接觸力垂直于接觸面，且僅有彈性形變發(fā)生時(shí)，單元之間的法向接觸力可采用赫茲模型計(jì)算。由于球形石英砂為無(wú)黏性顆粒。為此，在本文中采用赫茲模型作為石英砂顆粒的基本力學(xué)模型(孫其誠(chéng)等，2009)。

如圖 5所示，半徑分別為R1、R2的兩個(gè)單元發(fā)生彈性接觸，法向重疊量A滿足：

A=R1+R2-|r1-r2|≥0

式中：r1、r2分別為兩單元的位置矢量。接觸面為圓形，其半徑a滿足：

在離散元法中單元泊松比μ為0，且單元彈性模量E與法向剛度Kn之間存在如下關(guān)系：

故法向力Fn為：

圖 5 赫茲接觸模型Fig. 5 Hertz contact model

2.2 彈性clump的原理

在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，對(duì)于不規(guī)則非球形的石英砂顆粒，可以將多個(gè)離散單元相互重疊構(gòu)成團(tuán)簇。團(tuán)簇(clump)是由離散元的基本單元相互交疊而成的不規(guī)則顆粒形態(tài)的顆粒。故可以在生成模型顆粒時(shí)隨機(jī)構(gòu)成不規(guī)則顆粒，從而實(shí)現(xiàn)顆粒形態(tài)不規(guī)則的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂的建模。

如圖 6所示：在團(tuán)簇模型中，單元相互重疊量為l0，單元直徑為d，設(shè)定顆粒之間的平衡位移為d-l0，兩個(gè)單元中心之間的距離為s，則相對(duì)位移Xn為：

Xn=s-(d-l0)

當(dāng)兩顆粒相對(duì)位移Xn為0時(shí)，兩顆粒處于平衡狀態(tài)，當(dāng)Xn增加時(shí)，顆粒間產(chǎn)生拉力；當(dāng)Xn減小時(shí)，顆粒間相互擠壓，產(chǎn)生斥力，為使得模型在計(jì)算過(guò)程中體積守恒，clump單元不可被破壞。該模型其本質(zhì)是將顆粒間的平衡距離減少并在計(jì)算位移時(shí)減去其初始重疊量(索文斌等，2017)，通過(guò)這種方法可以完成復(fù)雜模型的建模，建立由多個(gè)顆粒單元構(gòu)成的形態(tài)不規(guī)則的團(tuán)簇模型。

圖 6 團(tuán)簇clump示意圖Fig. 6 Schematic diagram of the clump

MatDEM所采用的彈性clump單元模型，與傳統(tǒng)的剛性clump模型不同，能較好的模擬顆粒形態(tài)復(fù)雜的單元的變形與破壞。

圖 7 直剪試驗(yàn)?zāi)M幾何模型Fig. 7 Geometric model of direct shear test simulation

2.3 iMatDEM數(shù)值建模

矩陣離散元MatDEM(劉春等，2014)是南京大學(xué)自主研發(fā)的一種巖土體高性能離散元軟件，該軟件基于矩陣計(jì)算以及三維接觸模型，創(chuàng)新性的采用了能量守恒原理，極大地提高了運(yùn)算速度和計(jì)算單元數(shù)，并提供二次開發(fā)平臺(tái)供使用者完成復(fù)雜的數(shù)值模擬(朱晨光等，2019)。本文基于MatDEM二次開發(fā)功能研發(fā)了直剪試驗(yàn)三維離散元模擬器，具體過(guò)程如下：

(1)建立幾何模型。數(shù)值模型由直剪盒和試樣組成，其按照真實(shí)試驗(yàn)中的試樣1︰1還原配比。圖 7為粒徑0.8～1.0imm球形石英砂的直剪試驗(yàn)?zāi)Ｐ停摿缴皹宇w粒數(shù)為172396。直剪盒由上、下剪切盒構(gòu)成，其中上直剪盒由上環(huán)和上壓力板組成，上壓力板可移動(dòng)并能施加荷載。在構(gòu)建數(shù)值模擬砂樣時(shí)，先設(shè)置其平均粒徑為0.9imm，調(diào)整粒徑的分散系數(shù)使得砂粒粒徑隨機(jī)分布在0.8～1.0imm，然后使顆粒在重力作用下自然沉積以模擬砂雨法制樣，最后將試樣放入剪切盒中。

(2)賦予材料性質(zhì)并加壓。MatDEM采用自帶的材料訓(xùn)練功能賦予單元顆粒性質(zhì)從而模擬現(xiàn)實(shí)對(duì)象。根據(jù)Liu et al. (2017)給出的緊密堆積離散元模型單元力學(xué)參數(shù)與模型整體力學(xué)性質(zhì)之間的解析解，可以將試樣的宏觀力學(xué)參數(shù)轉(zhuǎn)化為微觀單元力學(xué)參數(shù)，但隨機(jī)堆積模型可能將各力學(xué)性質(zhì)降低10%～40%。為此MatDEM開發(fā)了材料訓(xùn)練功能：宏觀材料性質(zhì)代入轉(zhuǎn)換公式獲得其初始微觀參數(shù)再乘以一個(gè)比值；通過(guò)自動(dòng)的單軸壓縮、抗拉強(qiáng)度、抗壓強(qiáng)度測(cè)試，獲得塊體的彈性模量和強(qiáng)度；利用實(shí)測(cè)值和設(shè)定值的比率重新調(diào)整rate，直至各力學(xué)參數(shù)收斂于設(shè)定值，由此得到的才是最符合實(shí)際的微觀單元參數(shù)。

由于采用的為赫茲模型，材料訓(xùn)練后獲得的微觀單元參數(shù)如表 5所示。

表 5 離散元顆粒微觀參數(shù)Table5 Microscopic parameters of discrete element particles

微觀參數(shù)法向剛度Kn/kN·m-1粒間內(nèi)摩擦系數(shù)μp阻尼值2052900.007 13

將材料參數(shù)賦予顆粒單元之后施加上覆荷載，通過(guò)迭代計(jì)算，使試樣逐漸被壓實(shí)，并在荷載作用下達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)剪切過(guò)程設(shè)置。通過(guò)移動(dòng)下剪切盒進(jìn)行直剪試驗(yàn)，每移動(dòng)2×10-4mm則進(jìn)行一次標(biāo)準(zhǔn)平衡迭代計(jì)算，當(dāng)應(yīng)力充分消散之后再繼續(xù)進(jìn)行下一步加載。下剪切盒移動(dòng)4imm后停止試驗(yàn)，模擬結(jié)果符合預(yù)期，顆粒數(shù)目最多的一組模擬運(yùn)行完畢需約10ih。

3 分析與討論

3.1 試驗(yàn)、模擬結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證直剪試驗(yàn)數(shù)值模擬的正確性，以粒徑為0.8～1.0imm的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂與球形石英砂的剪切特性曲線為例(圖 8、圖 9)，數(shù)值模擬的剪切特性曲線變化趨勢(shì)及抗剪強(qiáng)度與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。

圖 8 標(biāo)準(zhǔn)砂試驗(yàn)、模擬對(duì)比Fig. 8 Standard sand test and simulation comparison

圖 9 球形石英砂試驗(yàn)、模擬對(duì)比Fig. 9 Spherical quartz sand test and simulation comparison

但仍存在一定差異，主要原因?yàn)椋?1)模擬采用的赫茲模型，假定每個(gè)離散元單元的泊松比都為0，即當(dāng)單元受壓時(shí)只會(huì)沿著受力方向產(chǎn)生彈性形變，不產(chǎn)生側(cè)向變形；但真實(shí)試驗(yàn)中的顆粒受壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的側(cè)向變形，導(dǎo)致了模擬結(jié)果存在誤差; (2)直剪試驗(yàn)結(jié)束后發(fā)現(xiàn)有少量石英砂被破壞，而模擬中的球形石英砂與標(biāo)準(zhǔn)砂均為不可破壞的顆粒單元，故模擬與真實(shí)試驗(yàn)存在一定的誤差。該差異在其他幾組的球形石英砂以及實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂對(duì)比中也顯著存在。

數(shù)值模擬結(jié)果如表 6，表 7所示。在顆粒形態(tài)相同的情況下粒徑越大，試樣的內(nèi)摩擦角就越大，并且，顆粒形態(tài)不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂的內(nèi)摩擦角明顯大于球形石英砂。這與試驗(yàn)得到的結(jié)果相同，進(jìn)一步驗(yàn)證了離散元數(shù)值模擬的可行性。

3.2 位移場(chǎng)分析

位移場(chǎng)的不規(guī)律分布意味著顆粒之間重新排列，故可以從位移場(chǎng)的分布來(lái)探究球形石英砂與實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂在直剪過(guò)程中剪切帶的形成。

表 6 模擬標(biāo)準(zhǔn)砂各粒組摩擦角Table6 Friction angle of simulate standard sand

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8內(nèi)摩擦系數(shù)0.2150.1960.2000.1830.173摩擦角/(°)12.111.111.310.49.8誤差/%8.34.511.08.77.4

表 7 模擬球形砂各粒組摩擦角Table7 Friction angle of simulate spherical sand

粒徑/mm2.0～2.51.4～2.01.0～1.20.8～1.00.6～0.8內(nèi)摩擦系數(shù)0.1130.1090.1040.0990.094摩擦角/(°)6.46.25.95.75.4誤差/%5.75.64.17.02.2

圖 10 100ikPa荷載下球形石英砂位移場(chǎng)Fig. 10 Displacement field of spherical quartz sand under 100ikPa load

圖 11 100ikPa荷載下標(biāo)準(zhǔn)砂位移場(chǎng)Fig. 11 Displacement field of standard sand under 100ikPa load

圖 10,圖 11為剪切試驗(yàn)?zāi)M結(jié)束后球形石英砂顆粒與標(biāo)準(zhǔn)砂顆粒的位移情況。X方向?yàn)橹奔艉屑羟蟹较?，Z方向垂直于上壓力板。如圖所示，上下直剪盒內(nèi)的石英砂位移情況形成了非常良好的對(duì)稱性，中部顆粒的位移距離明顯大于周圍顆粒的位移距離，故可以認(rèn)為該處形成剪切帶(Frost et al.，2012)，剪切帶的形成與模擬預(yù)期相符，很好地驗(yàn)證了試驗(yàn)的正確性。可以看到，標(biāo)準(zhǔn)砂的剪切盒中部顆粒位移多為3imm左右，球形石英砂的剪切盒中部顆粒位移多為2imm左右，表明標(biāo)準(zhǔn)砂在直剪盒內(nèi)的中部顆粒受到下方直剪盒的強(qiáng)制位移的影響比球形石英砂要大，驗(yàn)證了不規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)砂顆粒直剪的嵌鎖作用這個(gè)機(jī)制。

表 8 1.0～1.2 mm粒組石英砂配位數(shù)Table8 Coordination number of 1.0～1.2 mm grain group quartz sand

外部荷載/kPa100200300400球形石英砂初始配位數(shù)4.1754.2904.3944.489標(biāo)準(zhǔn)砂初始配位數(shù)4.1214.2784.3874.480球形石英砂最終配位數(shù)4.7454.9745.1025.224標(biāo)準(zhǔn)砂最終配位數(shù)4.7264.9465.1005.222

3.3 配位數(shù)分析

平均配位數(shù)(Ac)是指所有單元接觸總數(shù)與單元總數(shù)的比值，代表著土顆粒的密實(shí)程度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：Nc為所有單元接觸總數(shù)；Np為單元總數(shù)。

顆粒物質(zhì)通過(guò)顆粒間的接觸力來(lái)抵抗外部剪切作用，而顆粒間的接觸力則與配位數(shù)有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，試樣的配位數(shù)越高，試樣顆粒堆積越緊密，顆粒間的作用越強(qiáng)(周偉等，2012)，從而導(dǎo)致抗剪強(qiáng)度的提高。所以，在剪切試驗(yàn)中，配位數(shù)的變化與剪應(yīng)力的變化存在著一定的正相關(guān)性。

表 8為粒徑1.0～1.2imm的球形石英砂與實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂的初始以及直剪完成之后的配位數(shù)。模擬數(shù)據(jù)表明，顆粒配位數(shù)隨著上壓力板荷載的增加而增加，宏觀上表現(xiàn)出外部荷載的增加提高了試樣的密實(shí)程度；粒徑相等的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂與球形石英砂的初始和最終配位數(shù)基本一致，但是在剪切過(guò)程中的配位數(shù)變化趨勢(shì)與各自的模擬剪切特性曲線相似(圖 12)，球形石英砂配位數(shù)變化曲線較快達(dá)到峰值配位數(shù)并趨于穩(wěn)定，而石英砂配位數(shù)則較晚達(dá)到配位數(shù)峰值，該曲線與模擬得到的剪切特性曲線有著良好的對(duì)應(yīng)性，兩者拐點(diǎn)所處的剪切位移基本相同。

圖 12 100ikPa荷載下1.0～1.2imm粒組試樣配位數(shù)變化曲線Fig. 12 Coordination curve of 1.0～1.2imm particle group sample under 100ikPa load

在外部剪切作用下試樣內(nèi)顆粒進(jìn)行重新堆積，球形石英砂能更快地到達(dá)穩(wěn)定配位數(shù)，這表明了球形石英砂能夠在外部剪切作用下更快地重新排列堆積以到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。這主要是因?yàn)榍蛐问⑸霸嚇宇w粒間摩擦強(qiáng)度較小，其抗剪強(qiáng)度主要體現(xiàn)在滑動(dòng)摩擦力，在外部荷載作用下能較快完成顆粒的重新排列，從而達(dá)到峰值強(qiáng)度。而標(biāo)準(zhǔn)砂的顆粒粗糙不規(guī)則，顆粒間多咬合嵌套，故在外部荷載作用下較晚完成顆粒的重新排列到達(dá)峰值強(qiáng)度。

4 結(jié) 論

通過(guò)球形石英砂與實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂展開的直剪試驗(yàn)與相應(yīng)的離散元數(shù)值模擬，結(jié)合剪切特性曲線、位移場(chǎng)以及配位數(shù)變化對(duì)不同顆粒形態(tài)的石英砂抗剪強(qiáng)度進(jìn)行了分析，得到以下結(jié)論：

(1)基于MatDEM二次開發(fā)的三維直剪試驗(yàn)?zāi)M器能夠有效地進(jìn)行砂土直剪試驗(yàn)的離散元數(shù)值模擬，計(jì)算效率高，計(jì)算單元數(shù)可達(dá)上百萬(wàn)，同時(shí)能夠記錄模擬過(guò)程中的所有顆粒的受力、位移等單元參數(shù)。

(2)試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果相符：自然休止角與抗剪強(qiáng)度有著正相關(guān)性，標(biāo)準(zhǔn)砂存在著一定的黏聚力；砂土顆粒粒徑越大，抗剪強(qiáng)度越大；相同粒徑情況下顆粒形態(tài)規(guī)則的球形石英砂抗剪強(qiáng)度明顯小于顆粒形態(tài)不規(guī)則的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂；球形石英砂較實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂能更快地到達(dá)峰值強(qiáng)度隨后趨于穩(wěn)定。

(3)直剪試驗(yàn)中剪切盒內(nèi)中部位移較四周顆粒更大，形成了明顯的剪切帶。標(biāo)準(zhǔn)砂剪切帶內(nèi)顆粒的位移較大，驗(yàn)證了標(biāo)準(zhǔn)砂顆粒嵌鎖的機(jī)制。

(4)配位數(shù)的變化與剪應(yīng)力有著正相關(guān)性，在相同粒徑以及剪切條件下，不同顆粒形態(tài)的石英砂初始和最終配位數(shù)基本一致，但規(guī)則形態(tài)的球形石英砂能較快達(dá)到峰值配位數(shù)并隨后穩(wěn)定，而顆粒形態(tài)不規(guī)則的實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)砂則較晚達(dá)到峰值強(qiáng)度。