陳娟

[摘要]關于兩位數(shù)乘法計算，學生大多數(shù)只掌握了算法，卻對算理知之甚少，這在很大程度影響了學生對乘法的運用和掌握。為此，在教學中可運用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀的圖形演示，促進學生思考，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，進而掌握算理并將其逐步內(nèi)化成算法。

[關鍵詞]數(shù)形結(jié)合;乘法計算;算理;算法

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）14-0069-02

《課程標準解讀》中指出：義務教育階段，許多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征，即數(shù)形結(jié)合是認識數(shù)學的基本角度，與其說是方法，不如說是基本要求。

最近筆者聽了“有趣的乘法計算”一課，該課是蘇教版教材三年級下冊第18、19頁的內(nèi)容，包括兩位數(shù)乘11的算法、“首同尾合十”的算法、（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法，從課堂反饋來看學生對每一種算法的理解都不是很透徹。而筆者在六年級的數(shù)學課堂上也出示過這三類問題，發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學生對兩位數(shù)乘11的算法還有一點印象，而對其他兩種算法則完全不記得了，更別提運用了。結(jié)合六年級學生的現(xiàn)狀，反思所聽的課，筆者以為對于算理的透徹理解要擺在首位，只有在理解算理的基礎上，學生對算法的印象才會深刻，才能從記憶走向運用。下面，筆者從理解算理的角度談一談對于“有趣的乘法計算”教學的調(diào)整與反思。

【案例描述】

教學片段一：兩位數(shù)乘11的算法

（1）列豎式計算下面一組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

16×11 43×11 78×11 96×11 24×11

讓學生用豎式計算并核對答案后思考：積的每一位上的數(shù)和原來的兩位數(shù)相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？先自己想想，再和同桌說說。

（2）匯報交流：積的個位是__;積的十位是__;積的百位是__。

引導學生總結(jié)：積的個位是原來兩位數(shù)個位上的數(shù);積的百位是原來兩位數(shù)十位上的數(shù);積的十位是原來兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)的和。

（3）猜一猜53×11的積，你是怎樣想的？

根據(jù)上面總結(jié)的規(guī)律，猜想53×11=583，并用豎式驗證，發(fā)現(xiàn)猜想正確，進一步總結(jié)規(guī)律，簡化為“兩頭一拉，中間相加”。

（4）猜一猜64×11的積，說說想法。

師：你覺得64x11=6104的算法對嗎？

生1：不對，因為兩位數(shù)乘兩位數(shù)，不可能得到四位數(shù)。（此錯誤教師和學生均沒有發(fā)現(xiàn)）

生2：我是估算的，64接近60，11接近10，它們的積會比600大一些.但6104太大了。

師：這里的計算過程和前面有什么不同？

生3：十位上滿十要進一。

（學生列豎式計算，得到結(jié)果為704）

師：這里百位上的6為什么變成了7，多出的1從哪里來的？

（完善算法：兩頭一拉，中間相加，十位滿十，百位加一）

教學片段二：探索“首同尾合十”的算法

出示：22×28 47×43 41×49 56×54 62×18

師：觀察每個算式中的兩個乘數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：兩個乘數(shù)十位上的數(shù)相同。

生2：個位上的數(shù)相加等于10。

師：像這樣的算式，叫首同尾合十算式。

師（出示上面算式的得數(shù)）：積和原來的兩位數(shù)相比，你有什么發(fā)現(xiàn)？其中究竟藏著怎樣的秘密呢？積的末兩位是怎么算出來的？積的末兩位前面的數(shù)呢？

師：當兩個兩位數(shù)相乘，十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)之和為10時，積的末兩位等于兩個乘數(shù)個位上的數(shù)相乘的積，積的末兩位前面的數(shù)等于原來乘數(shù)十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)的乘積。

猜答案：35×35 45×45 25×25 15x15 55×55

教學片段三：探索（a+1）×（a-1）=a×a-1的算法

出示：64×66 74×76 84×86

師：運用“首同尾合十”的算法迅速填寫結(jié)果，然后再說說是如何快速而準確地完成的。

師：當兩個兩位數(shù)相乘，十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)相差2時，乘積為兩個乘數(shù)的平均數(shù)的平方與1的差。

【案例反思】

同一節(jié)課的三個教學片段，都是以“計算多個同類型題，觀察結(jié)果，發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律”為主線貫穿全課教學。學生并不能經(jīng)過自主交流進而發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，片段一中雖然有一小部分學生在教師的引導下能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但卻出現(xiàn)一個錯誤的想法：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，不可能等于四位數(shù);存在一個疑問：對于64×11=6104，為什么學生在豎式中會把十位進的1和百位的6相加，而在口算中卻會出現(xiàn)錯誤？而片段二和片段三的學習內(nèi)容難度較大，學生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，全部由教師來總結(jié)。究其原因，主要還是學生只掌握了兩位數(shù)乘法計算的算法，卻對算理知之甚少。

那么，如何幫助學生理解算理呢？一方面可根據(jù)學生的年齡特征將本課分解成兩個課時，另一方面，運用數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀的圖形演示，促進學生思考，同時抓住知識的生長點，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，用清晰、具體的實物操作來演繹算理，再逐步將算理內(nèi)化成算法。

1.數(shù)形結(jié)合，遵循兒童認知規(guī)律

皮亞杰的認知發(fā)展理論指出：具體運算階段是指七到十一歲的兒童的認知發(fā)展階段。這一階段，兒童能根據(jù)邏輯法則進行推理，但這種思維能力僅局限于具體情境或熟悉的經(jīng)驗。舉個例子：如果問一個三年級的學生“A>B，C

2.數(shù)形結(jié)合，具象表征演示算理

以13×11為例，從乘法的意義上理解，它就是11個13相加的和，以小正方體來演示（如圖1），單個單個的小正方體有11個3塊，其中有10個3塊可以拼成3個十，再把這3個十和原有的11個十相加（如圖2），其中10個十滿100可以拼成1板，也就一個百，即向百位進一，此時十位上還有剩下的1個十和個位進上來的3個十，所以十位上是4個十（如圖3）。以此過程來演繹“兩頭一拉，中間相加”的算法，既直觀又形象。

以具體的圖形擺一擺、圈一圈的形式，使學生能夠自主總結(jié)抽象出“兩頭一拉，中間相加”的算理。此時再結(jié)合豎式來觀察結(jié)果，則算理和算法的關系自然打通。

3.數(shù)形結(jié)合，演繹推理深度思考

波利亞很早就注意到“數(shù)學有兩個側(cè)面……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學;但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學卻是實驗性的歸納科學?！币虼耍c之對應的應該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;用演繹推理驗證猜想，證明結(jié)論。上述三個教學片段中，教師都試圖引導學生計算，比較不同的算式，總結(jié)計算規(guī)律，讓學生經(jīng)歷了一個合情推理的過程。但學生難免疑惑：這一類型的計算都有這樣的規(guī)律嗎？有沒有不一樣的？此時，需要一個由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程。小學階段，學生只是初步接觸演繹推理，只能借助圖形讓其感知計算規(guī)律的一般性。

例如，探索“首同尾合十”算法和（a+1）×（a-1）=a×a-1的計算規(guī)律時（以26×24為例），可進行如下處理：大長方形面積為26×24（如圖4），可以看作是20～20的一個正方形和三個小長方形的面積的和，通過把圖5中面積為6×20的小長方形移動到圖6中對應的位置，可得大長方形面積為20×（20+4+6）+4×6，即20×30+4×6。通過圖形可知“首同”即為正方形邊長的整十數(shù)，無論幾十都可以;“尾合十”，可以把圖上的4+6換成3+7、2+8、1+9、5+5，驗證可得總結(jié)出來的規(guī)律都是適用的。

美國數(shù)學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！币孕未偎迹堇[算理，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化過程，可有效夯實其對算理、算法的掌握，提高數(shù)學教學效率。

（責編：羅艷）