閔光云 劉小會(huì),2 鄭佳艷 蔡萌琦 孫測(cè)世

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,重慶 400074；2.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400074；3.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院,成都 610106)

懸索的計(jì)算理論最早形成于16世紀(jì)末,而針對(duì)懸索非線性動(dòng)力學(xué)、分叉以及混沌運(yùn)動(dòng)的研究最早始于18世紀(jì)[1].19世紀(jì)初,Poisson建立了懸索的運(yùn)動(dòng)方程,Routh在Poisson的研究基礎(chǔ)上求解了松弛懸索的固有頻率[2].20世紀(jì)中期,Pugsley等人首先研究了松弛懸索的動(dòng)力學(xué)特性,接著研究了張緊懸索的動(dòng)力學(xué)特性,通過(guò)比較兩者的計(jì)算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)當(dāng)懸索垂度接近零時(shí),兩者的計(jì)算結(jié)果存在明顯差異[3].1974年,Irvine建立了懸垂纜線自由振動(dòng)的線性理論,并研究了其模態(tài)、頻率,提出了重要的Irvine參數(shù)[4].1992 年,Perkins研究了彈性懸索模態(tài)之間的相互作用,應(yīng)用攝動(dòng)法證明了2∶1共振情況的存在,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證[5].1997年,Rega通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)受多種外部激勵(lì)懸索結(jié)構(gòu)的共振進(jìn)行了系統(tǒng)地分析,其研究成果已經(jīng)運(yùn)用于實(shí)際工程中[6].2003年,趙躍宇,王連華,陳得良,等研究了周期荷載下斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)特征,利用哈密頓變分準(zhǔn)則與離散法得到斜拉索的振動(dòng)方程,接著利用多尺度法分析了斜拉索面內(nèi)外的耦合振動(dòng)[7].2016 年,呂建根,康厚軍在趙躍宇等建立的斜拉索振動(dòng)模型上進(jìn)一步考慮了彎曲剛度對(duì)拉索面內(nèi)外耦合振動(dòng)的影響[8].

懸索的馳振受覆冰、外部激勵(lì)以及懸索物理參數(shù)等的影響,其持續(xù)時(shí)間可長(zhǎng)達(dá)數(shù)日或數(shù)十日,長(zhǎng)時(shí)間的馳振會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件疲勞,進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能損壞.20世紀(jì)中期,學(xué)者們根據(jù)風(fēng)洞試驗(yàn)、現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)以及仿真模擬的結(jié)果,提出了Den Hartog垂直舞動(dòng)機(jī)理[9]、Nigol扭轉(zhuǎn)舞動(dòng)機(jī)理[10]以及偏心慣性耦合失穩(wěn)機(jī)理[11].2013年,學(xué)者李壽英通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)得到了6種覆冰拉索模型的氣動(dòng)參數(shù),接著采用數(shù)值法求解了覆冰拉索振動(dòng)方程,并研究了拉索的馳振響應(yīng)規(guī)律[12].2018年,譚冬梅用FLUENT 研究索距、攻角以及有無(wú)覆冰等因素對(duì)雙索尾流馳振穩(wěn)定性的影響,得到一些重要的結(jié)論[13].

通過(guò)以上分析得知,大部分學(xué)者針對(duì)覆冰懸索的動(dòng)力學(xué)分析通常采用建立單檔懸索數(shù)學(xué)模型,而實(shí)際工況中多檔懸索結(jié)構(gòu)的存在很普遍,例如高壓輸電線即為多檔懸索模型,且多檔懸索與懸掛絕緣子串之間存在相互作用.為更加符合實(shí)際工況,本文建立了多檔覆冰懸索的動(dòng)力學(xué)模型,考慮了多檔懸索之間的相互作用,并研究了相等檔距懸索結(jié)構(gòu)中每一檔懸索的位移響應(yīng),研究成果能給實(shí)際工程一些參考.

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 多檔懸索動(dòng)力學(xué)建模

實(shí)際工程中,絕緣子串的偏轉(zhuǎn)方向存在隨機(jī)性,由于隨機(jī)性的存在使得絕緣子串的偏擺組合形式多樣,雖然其偏擺組合形式多樣,但不同偏擺組合下的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)類似,下面列出4種典型的絕緣子串偏擺組合形式,組合形式見(jiàn)圖1.

圖1 多檔懸索結(jié)構(gòu)示意簡(jiǎn)圖

由于4種偏擺組合下多檔覆冰懸索的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)類似,為節(jié)約篇幅只給出組合1的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程,組合2、3、4可類似推導(dǎo).首先取任意一檔懸索為研究對(duì)象,根據(jù)哈密頓變分原理可得

根據(jù)式(1)可得任意一檔懸索的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：i的取值為1、2、3、4.Ti表示初始張力；τi表示動(dòng)張力；yi表示靜態(tài)位移曲線；ui表示動(dòng)態(tài)位移曲線；m為懸索的單位長(zhǎng)度質(zhì)量；pi表示懸索所受氣動(dòng)力荷載.

參考文獻(xiàn)[14]將動(dòng)張力表示為

式中：EA為懸索抗拉剛度；li為懸索的長(zhǎng)度；X1、X2、X3分別為絕緣子串1、2、3擺動(dòng)的位移；X0、X4為兩端A、E的擺動(dòng)位移.

將式(3)代入式(2)可得

根據(jù)模態(tài)綜合法可得

式中：qin(t)為時(shí)間函數(shù)；φin(x)為模態(tài)函數(shù)；n表示模態(tài)函數(shù)的階數(shù).

根據(jù)參考文獻(xiàn)[15]得知懸索的馳振特征主要由基本模態(tài)決定,為了方便計(jì)算,本文應(yīng)用一階模態(tài)截?cái)喾?因此,式(5)轉(zhuǎn)化為

為了方便記號(hào),將式(6)改寫為

將式(7)代入式(4)并進(jìn)行Galerkin積分,可得

式(8)中涉及的系數(shù)皆為Galerkin離散法所得.

1.2 絕緣子串動(dòng)力學(xué)建模

下面對(duì)絕緣子串進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模分析,本文假設(shè)絕緣子串的長(zhǎng)度都為R,絕緣子串從左到右編號(hào)依次為1、2、3,且絕緣子串1、2、3與y軸正方向的夾角分別為θ1、θ2、θ2,見(jiàn)圖2.

圖2 絕緣子串受力分析圖

分別以絕緣子串1、2、3為研究對(duì)象,依次列出關(guān)于其懸掛點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程,即

其中：

因此可得

其中η取值為1～6.

將式(3)代入式(9)可得

式(12)中涉及的系數(shù)皆為Galerkin離散法所得,由于篇幅所限,此處不再贅述.

聯(lián)立式(8)與式(12)可得多檔懸索的耦合馳振控制方程組：

1.3 氣動(dòng)力模型動(dòng)力學(xué)建模

建立氣動(dòng)載荷分析數(shù)學(xué)模型如圖3所示,覆冰模型為新月形.假設(shè)真實(shí)風(fēng)速沿著水平方向,由于在豎直方向此時(shí)有初始擾動(dòng)使得懸索在y方向有初始速度,相對(duì)風(fēng)速將發(fā)生了改變.

圖3 基于擬靜態(tài)假設(shè)的相對(duì)流場(chǎng)

同理,取多檔懸索結(jié)構(gòu)中任意一檔分析其氣動(dòng)特性,只考慮懸索受面內(nèi)豎向氣動(dòng)荷載,忽略扭轉(zhuǎn)方向以及面外的氣動(dòng)荷載.根據(jù)氣動(dòng)力的表達(dá)式可得

式中：Cyi(α)表示任意一檔懸索的氣動(dòng)力系數(shù)；d為懸索的直徑；α為瞬時(shí)攻角；ρ為當(dāng)?shù)乜諝饷芏?；U為平均風(fēng)速.

空氣動(dòng)力系數(shù)可以用三次曲線擬合,即

式中：α1i、α2i、α3i可通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)得.

因?yàn)棣僚c初始攻角α0、扭轉(zhuǎn)θ及相對(duì)風(fēng)速有關(guān),即有

忽略初始攻角與扭轉(zhuǎn)角的影響,然后將式(15)與式(16)代入式(14)可得

因此可得

將式(18)代入式(13)可得到新的懸索馳振控制方程為

2 風(fēng)洞試驗(yàn)

為了獲取覆冰懸索的空氣動(dòng)力系數(shù),在中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心進(jìn)行了測(cè)試.采用擬靜態(tài)方法,選取一段懸索模型,進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)測(cè)試.1.4 m×1.4 m低速風(fēng)洞如圖4(a),測(cè)試模型如圖4(b)所示,懸索覆冰模型為新月形,模型如圖4(c)所示.

圖4 風(fēng)洞測(cè)試空氣動(dòng)力系數(shù)

每測(cè)量一次氣動(dòng)載荷后,將該覆冰模型轉(zhuǎn)動(dòng)5°,然后再測(cè)量一次氣動(dòng)載荷,轉(zhuǎn)角范圍為0°～180°.懸索靜態(tài)空氣動(dòng)力特性試驗(yàn)測(cè)得的空氣動(dòng)力系數(shù)包括阻力系數(shù)、升力系數(shù)和扭矩系數(shù),且無(wú)量綱的空氣動(dòng)力參數(shù)定義如下：

式中：FD、FL、MZ分別為懸索所受的阻力、升力以及扭 矩 ；ρ為 空 氣 密 度 ；U為 平 均 風(fēng) 速 ；L為 懸 索 有 效 長(zhǎng)度；d為懸索直徑.通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)得12 mm 冰厚的新月形覆冰懸索在10 m/s風(fēng)速作用下空氣動(dòng)力系數(shù)隨風(fēng)攻角的變化曲線如圖5所示.

圖5 氣動(dòng)力系數(shù)

通過(guò)觀察圖5可知：懸索的氣動(dòng)系數(shù)從左往右呈半波狀變化,當(dāng)升力系數(shù)CL處于45°～120°以及155°～180°之內(nèi)時(shí),CL具有負(fù)斜率,參考文獻(xiàn)[9]可知此時(shí)懸索易發(fā)生橫向馳振.

3 數(shù)值算例

懸索的物理參數(shù)參考文獻(xiàn)[16],見(jiàn)表1.

表1 懸索的物理參數(shù)

將表1中所涉及的物理參數(shù)代入各項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式中,模態(tài)函數(shù)選取φi(x)=sin(πx/li),檔距選取li=300 m.基于四階Runge-Kutta法可得出多檔懸索中任意一檔的位移響應(yīng)曲線,如圖6～9所示.

圖6 絕緣子串偏擺組合1

圖7 絕緣子串偏擺組合2

圖8 絕緣子串偏擺組合3

圖9 絕緣子串偏擺組合4

通過(guò)分析圖6～圖9可得：4種絕緣子串偏擺組合下懸索的位移響應(yīng)具有相同的特征,即懸索在接近800 s時(shí)趨于穩(wěn)態(tài)狀態(tài)；在馳振的開(kāi)始階段,懸索受到外部激勵(lì)的作用不停地振動(dòng),隨著時(shí)間的增加,幅值越來(lái)越大；在200～800 s之間由于多檔懸索之間存在相互作用使得懸索的位移響應(yīng)極其復(fù)雜,其為懸索從不穩(wěn)定狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)的一個(gè)必經(jīng)過(guò)程,800 s之后懸索穩(wěn)定,穩(wěn)定后的幅值接近0.35 m,但不同的絕緣子串偏擺組合,懸索穩(wěn)定后的幅值有一定的差異.

由于絕緣子串偏擺方向的隨機(jī)性,使得4種絕緣子偏擺組合下的位移響應(yīng)存在些許差異,為了更加清楚地對(duì)比這些差異,下面將給出某一時(shí)刻下多檔懸索整體的位移時(shí)程曲線,如圖10所示.

通過(guò)圖10可知：在不同的絕緣子串偏擺組合下,相等檔距懸索的位移卻存在著明顯的差異,且絕緣子串偏擺組合形式的不同其差異也不同,為了更加清楚地對(duì)比不同偏擺組合下的差異,將時(shí)刻1、2、3下懸索的位移數(shù)據(jù)導(dǎo)入表2～5中,并求得最大的位移變化量,具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2～表5.

表2 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合1多檔懸索在某時(shí)刻的位移

表3 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合2多檔懸索在某時(shí)刻的位移

表4 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合3多檔懸索在某時(shí)刻的位移

表5 絕緣子偏轉(zhuǎn)組合4多檔懸索在某時(shí)刻的位移

觀察表2～表5可知：絕緣子串偏擺組合3,在時(shí)刻3的最大位移比最小位移增加21.39%,時(shí)刻1的最大位移比最小位移增加14.12%,這種偏擺組合下懸索的大幅度位移所產(chǎn)生的交變張力易使得構(gòu)件疲勞,嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能失效；表2～表5最小增量也達(dá)到5.12%,位移增加明顯,因此多檔懸索之間的相互作用并不能忽略,通過(guò)建立多檔懸索振動(dòng)模型比建立單檔懸索振動(dòng)模型更符合實(shí)際工況,更適用于工程的研究.

4 結(jié) 論

本文建立了多檔懸索振動(dòng)模型,通過(guò)對(duì)相同檔距的懸索動(dòng)力響應(yīng)分析得知：在某一時(shí)刻下多檔懸索之間的位移響應(yīng)存在明顯的差異,且該差異隨著絕緣子串偏擺組合形式的不同而變化,在絕緣子串偏擺組合形式3下懸索的位移差異最為明顯,由于大幅振動(dòng)產(chǎn)生的交變張力會(huì)使得構(gòu)件疲勞,進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能失效,因此建立多檔懸索振動(dòng)模型比建立傳統(tǒng)的單檔懸索振動(dòng)模型更為合理.本文的研究能給予實(shí)際工程一定的參考價(jià)值.