廣東省汕頭市實驗學(xué)校 許銘婷

一、背景

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組給出了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，教師應(yīng)該注重提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機結(jié)合，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、“概率與密碼”的教學(xué)案例

（一）教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課設(shè)計思路圍繞概率章節(jié)的核心內(nèi)容展開。第一部分是介紹凱撒密碼，破譯者可通過列舉法破譯密碼；第二部分是凱撒密碼的進化Ⅰ，用隨機順序的字母表替換正常順序的字母表，破譯者需用頻率分析法破譯；第三部分是學(xué)習(xí)凱撒密碼的進化Ⅱ：用隨機數(shù)加成密碼，這種情況下的凱撒密碼難以被破譯。

（二）教學(xué)目標(biāo)解析

1.三維目標(biāo)

知識與技能：掌握概率與密碼的關(guān)系，了解頻率分析法在密碼破譯過程中的應(yīng)用。

過程與方法：了解凱撒密碼的發(fā)展歷程，在破譯密碼的過程中感受合作探究的學(xué)習(xí)方法以及古典概型在密碼中的運用。

情感、態(tài)度與價值觀：以凱撒密碼的完善過程為主線，體驗發(fā)現(xiàn)問題并用數(shù)學(xué)問題解決的樂趣，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

2.核心素養(yǎng)

邏輯推理：在凱撒密碼及其完善歷程的情境中，通過對其條件與結(jié)論的分析，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出并解決數(shù)學(xué)問題的能力。

數(shù)學(xué)建模：在概率的其他應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。

數(shù)學(xué)分析：引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的概率模型，解決問題。

3.教學(xué)過程

【環(huán)節(jié)1】 情景引入

播放諜戰(zhàn)片的片段，學(xué)生角色代入，開始了一段以概率知識為主線的密碼破譯與完善的對決。

1132 慢病毒介導(dǎo)的 shRNA 干擾大鼠施萬細胞 RSC96 MYH14 基因的表達 胡 皓，孟 威，劉安堂，汪 匯，朱曉海，江 華，錢玉鑫

【設(shè)計意圖：以學(xué)生喜歡的諜戰(zhàn)片片段引入數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)，能有效抓住學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生愛國情懷】

【環(huán)節(jié)2】 探究新知

（1）凱撒密碼

問題1：凱撒密碼是偏移后得到的，你有什么辦法破譯呢？凱撒密碼加密的過程中一共有多少種情況？

學(xué)生活動：你截獲了一個信息為“zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r’forfn rq zhgqhvgdb”的密文，已知偏移量是3，請問這個密碼所代表的信息是什么？

【設(shè)計意圖：凱撒密碼的加密過程可以看作是一個古典概型，它所包含的基本事件的總數(shù)即是密碼與密文對應(yīng)的種數(shù)。體會密碼破譯過程，體會一次破譯密碼的概率】

（2）凱撒密碼的進化Ⅰ

凱撒密碼的擁護者對凱撒密碼進行了一個簡單的改進：用一個隨機順序排列的字母表來代替正常順序的字母表。

問題2 ：請問通過這種簡單的代換方法，共產(chǎn)生了多少種字母表？有什么意義？結(jié)合我們所學(xué)的概率知識，有什么辦法能破譯密碼的升級版呢？根據(jù)平常對英語字母的直觀感受，估計哪個字母出現(xiàn)得最多？

【設(shè)計意圖：改進后的凱撒密碼所包含的基本事件的總數(shù)大大增加，一次破譯密碼的概率大大減小，因此無法用列舉法解決問題，從而引入頻率分析法。同時，通過實驗讓學(xué)生感受如何將知識學(xué)以致用】

（3）凱撒密碼的進化Ⅱ

凱撒密碼的擁護者們使用了概率武器（隨機數(shù)表法設(shè)計凱撒密碼）來反擊，它是這樣進行的：要發(fā)送的密碼為：We will start the fight at eleven o’clock on Wednesday。我 們 獲 得 了 一 次密碼本，組成這個密碼本的偽隨機數(shù)為12，16，5，7，21，19，15，13，4，14，11，……。加 密 過 程 為：W+12=I，E+16=U，W+5=B，I+7=P，L+21=G， ……。 全 句 的 密 文 為：“Iu bpge hgefe dxc……”這種加密使得每個字母出現(xiàn)的頻率幾乎相等。

問題3：請你思考，用分析頻率來破譯密碼可能嗎？為什么？

學(xué)生活動：組成密碼本的隨機序列為：（隨機數(shù)表第19行第1列）：16，08，15，04，14，09，12，07，14，16，19，20，15，11，13，……，已知截取的密文是“Y TDZS VMAV”，請你來破譯。

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考凱撒密碼的進化版Ⅱ中所含的基本事件的總數(shù)，體會隨機數(shù)表法設(shè)計后基本事件總數(shù)爆炸式增長的過程】

4.歸納小結(jié)

凱撒密碼的發(fā)展歷程：（1）凱撒密碼；（2）凱撒密碼的進化Ⅰ；（3）凱撒密碼的進化Ⅱ。

5.拓展探究

請以小組為單位討論已查找到的資料，說出概率在其他方面的應(yīng)用，分析其所用到的概率的相關(guān)知識。

三、新型課堂設(shè)計給我們的啟發(fā)

本節(jié)課是不用于日常教學(xué)的一節(jié)課，在新型課堂下，始終以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的的一節(jié)課，它呈現(xiàn)出以下特點：

1.創(chuàng)新教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變師生角色

課堂上既有師生互動，也有小組合作，更為可貴的是，這種活動一直延伸到課外，學(xué)生要自行查找資料并總結(jié)概率在其他方面的應(yīng)用，讓學(xué)生通過自主探索與合作交流來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，極大地增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維。

2.數(shù)學(xué)融于生活，關(guān)注人文內(nèi)涵

其一，教學(xué)內(nèi)容極具感染力，如凱撒密碼，在破譯過程中能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其二，關(guān)注數(shù)學(xué)文化，凱撒密碼向?qū)W生展示的并不是簡單的史料材料，而是讓學(xué)生親身體驗與探索，同時也體現(xiàn)了一種人文關(guān)懷，設(shè)計的作業(yè)與實際緊密聯(lián)系，在數(shù)學(xué)課堂中教會學(xué)生感恩。