王嘉寧，司偉建，喬玉龍

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達(dá)方向估計(jì)技術(shù)始終是信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代通信與電子對(duì)抗等諸多領(lǐng)域。在電子對(duì)抗領(lǐng)域，現(xiàn)有的傳感器陣列主要可分為標(biāo)量傳感器陣列與矢量傳感器陣列兩種。矢量傳感器陣列具有易于與載體表面共形、抗干擾能力強(qiáng)、能夠估計(jì)輻射信號(hào)的極化信息等諸多優(yōu)勢(shì)，從而得到了廣泛的研究并產(chǎn)生了諸多的研究成果[1-4]。一些基于標(biāo)量傳感器的算法，例如傳播算子(propagator method, PM)算法[5]、多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[6]與旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[7]也都在極化敏感陣列上得到了直接的推廣應(yīng)用。然而需要指出的是，這些算法正確推廣的前提是入射信號(hào)中僅僅包含不相關(guān)信號(hào)。當(dāng)入射信號(hào)為相干信號(hào)，或者是由不相關(guān)信號(hào)與相干信號(hào)混合而成的混合信號(hào)時(shí)，陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣會(huì)產(chǎn)生秩虧損，從而導(dǎo)致導(dǎo)向矢量與噪聲子空間不再正交，此時(shí)傳統(tǒng)的PM算法、MUSIC算法與ESPRIT算法皆會(huì)失效。為了解決這一問(wèn)題，相關(guān)研究人員提出了空間平滑算法與矩陣重構(gòu)算法[8]，用于消除信號(hào)間的相關(guān)性?？臻g平滑算法利用子陣列接收數(shù)據(jù)的平滑性去消除信號(hào)間的相關(guān)性。矩陣重構(gòu)算法將協(xié)方差矩陣元素或協(xié)方差矩陣大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量的元素進(jìn)行重新排列，直接構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣。這兩類方法以損失陣列孔徑為代價(jià)實(shí)現(xiàn)了解相干。采用空間平滑算法與矩陣重構(gòu)算法，子空間類算法可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)量傳感器陣列下的相干信號(hào)的角度估計(jì)，然而這兩類解相干算法不能直接在矢量傳感器陣列下進(jìn)行推廣。

為了解決極化敏感陣列下相干信號(hào)的估計(jì)問(wèn)題，XU首先提出了極化角平滑算法(polarimetric angular smoothing algorithm, PAS)[9]，利用全電磁矢量傳感器的6個(gè)通道之間接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣的平均來(lái)恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩。隨后HE基于極化角平滑算法提出了極化差分平滑算法[10]，這類極化平滑算法要求所選用的矢量傳感器必須為全電磁矢量傳感器，并且能夠分辨的相干信號(hào)的個(gè)數(shù)至多為6個(gè)。TAN將極化平滑與廣義MUSIC算法相結(jié)合,用于實(shí)現(xiàn)對(duì)低空目標(biāo)的角度估計(jì)[11]。真實(shí)環(huán)境中，由不相關(guān)信號(hào)與相干信號(hào)混合而成的混合信號(hào)普遍存在，對(duì)于標(biāo)量傳感器陣列下的混合信號(hào)的角度估計(jì)已經(jīng)有了一定的研究成果[12-14]，然而在矢量傳感器陣列下的混合信號(hào)角度與極化聯(lián)合估計(jì)算法的研究成果較少，因此研究極化敏感陣列下混合信號(hào)的角度估計(jì)問(wèn)題具有一定的理論價(jià)值?，F(xiàn)有的極化敏感陣列下混合信號(hào)的估計(jì)算法[15]中的角度估計(jì)方法實(shí)質(zhì)上為ESPRIT算法，沒(méi)有充分利用陣列接收的數(shù)據(jù)，采用子空間類的角度估計(jì)算法能夠進(jìn)一步提高角度估計(jì)的精度。此外，現(xiàn)有的一些極化敏感陣列下相干信號(hào)的角度估計(jì)算法，例如極化角平滑算法與極化差分算法，沒(méi)有充分利用全電磁矢量傳感器各個(gè)分量接收數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的極化參數(shù)估計(jì)。

為了解決上述的問(wèn)題，本文基于正交偶極子陣列提出了一種新穎的極化敏感陣列混合信號(hào)角度與極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法，本文算法的貢獻(xiàn)主要包含以下幾個(gè)方面：

1) 利用正交偶極子陣列代替原來(lái)的全電磁矢量傳感器，降低了天線的硬件消耗，消除了全電磁矢量傳感器各個(gè)陣元間的互耦引入的誤差；

2) 所提算法不僅可以實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的入射角度估計(jì)，還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)混合信號(hào)極化參數(shù)的估計(jì)；

3) 所提算法消除了噪聲的干擾，通過(guò)擴(kuò)展傳播算子得到正交子空間，采用子空間類的算法提高了角度估計(jì)精度。

1 信號(hào)模型

正交偶極子均勻線陣陣列如圖1所示。

圖1 正交偶極子均勻線陣陣列Fig.1 Uniform line array of orthogonal dipoles

假設(shè)存在K個(gè)入射角度為{θk}、極化信息為{γk,ηk}、波長(zhǎng)為λ的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)混合信號(hào){sk(t)}(k=1,2,…,K)入射到由M個(gè)正交偶極子所組成的陣元間距為l的均勻線陣陣列上。這K個(gè)混合信號(hào)由Ku個(gè)不相關(guān)信號(hào)與Kc個(gè)相干信號(hào)組成，這Kc個(gè)相干信號(hào)可以分為D個(gè)相干組，且每個(gè)相干組包含{Pd}(d=1,2,…,D)個(gè)相干信號(hào)。此時(shí)整個(gè)陣列輸出的2M×1維矢量可以表示為

(1)

式中：{sd(t)}(d=1,2,…,D)為第d個(gè)相干組的相干源信號(hào)；第d個(gè)相干組中的第p個(gè)入射角度為θd,p的信號(hào)與相干源信號(hào)sd(t)之間的相關(guān)系數(shù)為ζd,p；N(t)為疊加在陣元上的高斯白噪聲數(shù)據(jù)矩陣；陣列的導(dǎo)向矢量a(θk,γk,ηk)為空域?qū)蚴噶縬(θk)與極化導(dǎo)向矢量c(θk,γk,ηk)的克羅內(nèi)特積，如式(2)所示。

a(θk,γk,ηk)=q(θk)?c(θk,γk,ηk)

(2)

式中:

q(θk)=[1,e-j2πl(wèi)sinθk/λ,…,e-j2π(M-1)lsinθk/λ]T

(3)

c(θk,γk,ηk)=[-cosγk,cosθksinγkejηk]T

(4)

將式(1)改寫為矩陣的形式,為

X(t)=Au(θ,γ,η)Su(t)+Ac(θ,γ,η)ΓSc(t)+N(t)=A(θ,γ,η)ES(t)+N(t)

(5)

陣列總的輸出協(xié)方差矩陣可以表示為

(6)

2 混合信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

2.1 不相關(guān)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

圖2給出了正交偶極子均勻線陣陣列分割示意圖。

圖2 正交偶極子均勻線陣陣列分割示意圖Fig.2 Schematic diagram of array segmentation of orthogonal dipole uniform line array

將圖1所示的正交偶極子均勻線陣陣列分割為兩個(gè)相互重疊的分別包含M-1個(gè)正交偶極子陣元的子陣1與子陣2，則這兩個(gè)線性子陣列的輸出分別可以表示為

(7)

式中：下標(biāo)1和2分別代表兩個(gè)子陣；矩陣A1為陣列總的導(dǎo)向矢量矩陣A的前2(M-1)行；B=blkdiag{Bu,Bc,1,…,Bc,D}，Bu=diag{e-j2πl(wèi)sinθ1/λ，…，e-j2πl(wèi)sinθKu/λ}，Bc,d=diag{e-j2πl(wèi)sinθd,1/λ，…，e-j2πl(wèi)sinθd,Pd/λ}；X1(t)與N1(t)為X(t)與N(t)的前2(M-1)行；X2(t)與N2(t)為X(t)與N(t)的后2(M-1)行。

根據(jù)以上的定義，子陣1的自協(xié)方差矩陣可以表示為

(8)

子陣2與子陣1之間的互協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

式中，矩陣RN形式為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(11)可得

(16)

化簡(jiǎn)可得

RAA1Γ=A1BΓ

(17)

式(17)可以被寫為

RA[A1u,A1c，1ζ1,…,A1c,DζD]=[A1uBu,A1c，1Bc,1ζ1,…,A1c,DBc,DζD]

(18)

式(15)中包含了目標(biāo)矩陣與不相關(guān)信號(hào)導(dǎo)向矢量A1u以及每個(gè)相干組的導(dǎo)向矢量A1c,d之間的聯(lián)系，本文算法的核心便是利用式(18)實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的角度以及極化參數(shù)估計(jì)。

接下來(lái)定義矩陣RAo與RAe分別為矩陣RA的奇數(shù)行和偶數(shù)行

(19)

式中：A1o為矩陣A1的奇數(shù)行；A1e為矩陣A1的偶數(shù)行。取RAo1為RAo的前Km行，其中Km=Ku+D，RAo2為RAo的后M-1-Km行，則(M-1-Km)×Km維線性算子Pu定義為

(20)

Pu可由式(21)獲得。

(21)

(22)

從式(22)可以看出矩陣Qu的列矢量張成的空間與導(dǎo)向矢量A1o的列矢量張成的空間相互正交，正交傳播算子Gu可以寫為

(23)

Gu的行組成的矢量與導(dǎo)向矢量A1o的列組成的矢量之間仍滿足正交關(guān)系

GuA1o=O(M-1)×Km

(24)

依據(jù)陣列總的導(dǎo)向矢量矩陣A，可以將A1o寫為A1o=[Au1o,Ac1o]，其中Au1o與Ac1o分別為矩陣Au與Ac的前2(M-1)行中的奇數(shù)行。由此可得

(25)

不相關(guān)信號(hào)導(dǎo)向矢量Au的列張成的空間與相關(guān)信號(hào)導(dǎo)向矢量AcΓ的列張成的空間的交空間為零空間，因此我們可以通過(guò)求取式(26)的最小值來(lái)得到不相關(guān)信號(hào)的θ角的估計(jì)值

(26)

式中，qu(θ)=[1,e-j2πl(wèi)sinθk/λ,…,e-j2π(M-2)lsinθk/λ]T。至此，我們得到了不相關(guān)信號(hào)的角度估計(jì)結(jié)果。由式(19)可知矩陣RAe同樣可以用于不相關(guān)信號(hào)的角度估計(jì)。依據(jù)前面的流程可以再次對(duì)不相關(guān)信號(hào)的入射角度進(jìn)行估計(jì)，我們?nèi)纱喂烙?jì)結(jié)果的均值為最后的不相關(guān)信號(hào)的角度估計(jì)結(jié)果。接下來(lái)我們給出不相關(guān)信號(hào)的極化信息的估計(jì)方法。

對(duì)矩陣RA執(zhí)行奇異值分解，即可得到矩陣A1、B的估計(jì)值，依據(jù)已經(jīng)估計(jì)出的角度結(jié)果，即可獲得與第k個(gè)不相關(guān)信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量a1(θk,γk,ηk)，a1(θk,γk,ηk)為矢量a的前2(M-1)行，且滿足

a1(θk,γk,ηk)=q1(θk)?c(θk,γk,ηk)

(27)

(28)

(29)

式中，a1k(2i)為矢量a1k的第2i個(gè)元素。

2.2 相關(guān)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

在完成不相關(guān)信號(hào)的角度估計(jì)后，我們可以得到矩陣A1，從而可以得到Ac1o的估計(jì)值。矩陣Ac1o的第d(d=1,2,…,D)列可以寫為

(30)

式中，Cco,d為Cc,d的第1行，Cc,d=[cd,1,cd,2,…,cd,Pd]。為了消除每個(gè)相干組中相干信號(hào)之間的相干性，將對(duì)應(yīng)于第d個(gè)相干組的陣列流形矢量Ac1o,d中的元素進(jìn)行重新排列，構(gòu)建一個(gè)(M-Pd-1)×(Pd+1)維的矩陣Ho,d，如式(31)所示。

(31)

當(dāng)M-Pd-1≥Pd+1時(shí)，Ho,d為滿秩矩陣，并且可以改寫為如式(32)的形式。

ΦoΞ

(32)

式中，Ac,d為Ac中第d個(gè)相干組的導(dǎo)向矢量的前M-1-Pd行。

取Ho,d的前Pd行得到矩陣Ho,d1，取Ho,d其余的M-2Pd-1行得到矩陣Ho,d2，將第d個(gè)相干組的重構(gòu)矩陣Ho,d對(duì)應(yīng)的傳播算子Pco,d定義為

(33)

Pco,d可由式(34)獲得,即

(34)

(35)

Gco,d的行與Ac,d的列之間滿足正交關(guān)系

Gco,dAc,d=O(M-Pd-1)×Pd

(36)

依據(jù)子空間正交性原理，我們可以通過(guò)求取式(37) 的最小值來(lái)得到第d組相干信號(hào)的估計(jì)值

(37)

ΦeΞ

(38)

式中，Cce,d為Cc,d的第2行。對(duì)矩陣He,d采用上面相同的方法再次得到第d個(gè)相干組的角度估計(jì)結(jié)果。將兩次角度估計(jì)結(jié)果取均值，作為第d個(gè)相干組的相干信號(hào)的最終角度估計(jì)結(jié)果。接下來(lái)我們討論每個(gè)相干組中相干信號(hào)的極化參數(shù)的估計(jì)。由于Cco,d與Cce,d分別為Cc,d的第1行與第2行，因此必存在一個(gè)包含極化信息的矩陣Jd，且滿足Ho,dJd=He,d。根據(jù)最小二乘理論，有

(39)

在式(39)兩側(cè)對(duì)矩陣Jd求偏導(dǎo)，可得

(40)

當(dāng)上式的值為0時(shí)，可得Jd的解為

Jd=((Ho,d)THo,d)-1(Ho,d)THe,d=(Ho,d)?He,d

(41)

將式(29)、(35)代入式(41)中，可得

(42)

(43)

式中，μd,p=-cosθd,ptanγd,pejηd,p,p=1,2,…,Pd。由式(43)可以看出第d個(gè)相干組中相干信號(hào)的極化信息隱藏在矩陣Jd的特征值中。對(duì)矩陣Jd執(zhí)行特征分解，通過(guò)特征值匹配操作使得每一個(gè)μd,p與入射角θd,p一一配對(duì)，則第d個(gè)相干組中的極化信息可以表示為

(44)

(45)

對(duì)每個(gè)相干組皆可以采用以上的方法估計(jì)出其所對(duì)應(yīng)的入射角度與極化信息，最終得到完整的混合信號(hào)角度與極化信息估計(jì)結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

本章通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文所提出的算法有效性。仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)條件如下：

1) 圖1中所示的正交偶極子均勻線陣陣列兩個(gè)相鄰陣元間的陣元間距被設(shè)置為入射信號(hào)波長(zhǎng)的一半，即l=λ/2；

2) 信噪比(signal to noise ratio，SNR)定義為信號(hào)的功率與所疊加噪聲功率的比值；

3) 角度θ的均方根誤差(root mean square error，RMSE)被定義為

(43)

選取文獻(xiàn)[9]中的PAS算法、文獻(xiàn)[15]中的算法作為本文算法的對(duì)比算法。

仿真實(shí)驗(yàn)1：比較各個(gè)算法在不同信噪比下的角度估計(jì)能力。在本實(shí)驗(yàn)中假設(shè)存在兩個(gè)不相關(guān)信號(hào)源：不相關(guān)信源1的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(55.17°,50.43°,14.13°)；不相關(guān)信源2的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(33.18°,30.78°,50.24°)。假設(shè)存在一組包含兩個(gè)相關(guān)信號(hào)的相干信號(hào)源：相干信號(hào)源1的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(14.26°,30.41°,12.27°)；相干信號(hào)源2的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(-2.33°,13.26°,29.52°)，且這兩個(gè)相干信源間的相干系數(shù)為ζ=[1,ejπ/3]T。陣元數(shù)M被設(shè)置為8，信噪比SNR從0 dB開始以1 dB為間隔增至20 dB，快拍數(shù)為128。在每個(gè)仿真條件下做1 000次蒙特卡洛獨(dú)立重復(fù)性試驗(yàn)，得到不相關(guān)信源入射角度θu的均方根誤差RMSEθu,如圖3所示，得到相干信源入射角度θc的均方根誤差RMSEθc,如圖4所示。

圖3 不相關(guān)信號(hào)角度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.3 Curve of RMSE of uncorrelated signal angle estimation versus SNR

圖4 相干信號(hào)角度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.4 Curve of RMSE of coherent signal angle estimation versus SNR

從圖3～4可以看出，對(duì)于不相關(guān)信號(hào)角度估計(jì)性能，本文提出的算法與文獻(xiàn)[15]提出的算法差別不大。而PAS算法優(yōu)于其余兩種算法，這是由于PAS算法要求每個(gè)陣元為全電磁矢量傳感器，每個(gè)陣元包含6個(gè)通道，PAS算法通過(guò)對(duì)這6個(gè)通道接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)實(shí)現(xiàn)解相干。理論上PAS算法最多可以估計(jì)6個(gè)信號(hào)，然而本文提出的算法僅要求每個(gè)陣元包含2個(gè)通道，在保證估計(jì)精度的同時(shí)，極大地降低了硬件資源的消耗與計(jì)算復(fù)雜度。對(duì)于相干信號(hào)的角度估計(jì)性能，本文提出的算法要優(yōu)于文獻(xiàn)[15]提出的算法。這是因?yàn)橐环矫嫖覀冊(cè)谒惴ㄗ畛踹M(jìn)行了去噪處理，另一方面本文中對(duì)相干信號(hào)的角度估計(jì)算法可以理解為一種正交子空間方法，而文獻(xiàn)[15]中選用的方法為ESPRIT方法。

仿真實(shí)驗(yàn)2：比較各個(gè)算法對(duì)極化信息的估計(jì)效果。由于PAS算法并不能估計(jì)極化信息，所以我們僅僅比較本文算法與文獻(xiàn)[15]中的方法對(duì)混合信號(hào)的極化信息的估計(jì)效果。在實(shí)驗(yàn)1的仿真條件下，取信噪比SNR為10 dB。通過(guò)繪制100次本文提出算法與文獻(xiàn)[15]中算法對(duì)極化信息的估計(jì)結(jié)果散點(diǎn)圖來(lái)直觀地進(jìn)行比較，分別如圖5和圖6所示。

圖5 本文算法對(duì)混合信號(hào)的極化信息估計(jì)結(jié)果散點(diǎn)圖Fig.5 The scatter diagram of the polarization information estimation result of the mixed signal by the proposed algorithm

圖6 文獻(xiàn)[15]中的算法對(duì)混合信號(hào)的極化信息估計(jì)結(jié)果散點(diǎn)圖Fig.6 The scatter diagram of polarization information estimation of the mixed signals by the algorithm in Ref. [15]

從圖5～6可以看出，文獻(xiàn)[15]提出的算法對(duì)極化信息的估計(jì)效果要優(yōu)于本文提出的算法，這是由于本文提出的算法對(duì)子陣列進(jìn)行了劃分，損失了陣列孔徑，所以對(duì)極化信息的估計(jì)效果略差。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于正交偶極子極化敏感陣列提出了一種混合信號(hào)的角度與極化聯(lián)合估計(jì)算法。首先構(gòu)造目標(biāo)矩陣，依據(jù)子空間方法估計(jì)不相關(guān)信號(hào)的入射角度，利用正交偶極子陣列接收數(shù)據(jù)的相關(guān)性估計(jì)出不相關(guān)信號(hào)的極化參數(shù)，在估計(jì)的過(guò)程中角度信息與極化信息可直接實(shí)現(xiàn)正確的配對(duì)。而后對(duì)特征矢量重新排列，估計(jì)出每個(gè)相干組的入射角度，利用最小二乘法估計(jì)出每個(gè)相干組的極化參數(shù)。與現(xiàn)有的針對(duì)全電磁矢量傳感器的算法相比，所提出的算法降低了硬件資源的消耗，并且實(shí)現(xiàn)了對(duì)極化信息的估計(jì)，提高了可估計(jì)的混合信號(hào)的數(shù)目。與現(xiàn)有的同類算法相比，本文提出的算法提高了對(duì)相干信號(hào)的角度估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性與可靠性。