秦春艷

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 安徽 宿州 234000)

引言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，關(guān)于它的教學(xué)研究非常重要。不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在理工類專業(yè)中的應(yīng)用十分廣泛。在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)不定積分的計(jì)算時(shí)，覺(jué)得非常抽象、難以理解，尤其是用換元法來(lái)計(jì)算不定積分。針對(duì)這一現(xiàn)象，本文通過(guò)給出幾個(gè)典例來(lái)說(shuō)明不定積分的幾種計(jì)算方法，希望能夠增加學(xué)生對(duì)高數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，提高他們的積極性。

1.換元積分法

注：第一類換元法在積分學(xué)中經(jīng)常使用，方法中的φ(x)隱含在被積函數(shù)表達(dá)式中。 然而如何適當(dāng)選擇變量代換u=φ(x)，把積分中φ′(x)dx“湊”成du的形式并沒(méi)有一般規(guī)律可循，所以關(guān)鍵是要多做練習(xí)，熟練掌握各種形式的“湊微分”方法。而“湊微分”法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，任何一個(gè)微分運(yùn)算公式都可以作為湊微分的途徑，這要求熟練掌握微分運(yùn)算。

第二類換元積分法：

于是根式化成了三角式，所求積分化為

注：第二類換元法的關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換x=Ψ(t)，使公式中f(Ψ(t))Ψ′(t)的原函數(shù)易求。當(dāng)被積函數(shù)中含有根式而又不能用湊微分法時(shí)可考慮用第二類換元積分法，根據(jù)被積函數(shù)的具體情況，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換將被積函數(shù)有理化。

兩組患者接受藥物治療后，血脂水平均處于不斷改善的狀態(tài)中。其中第4、8周時(shí)，試驗(yàn)組TC、TG、LDL-C水平低于對(duì)照組，HDL-C水平高于對(duì)照組，差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05），見表1。

2.分部積分法

注：(1)被積函數(shù)中如果含有對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)兩兩相乘的形式時(shí)，可以考慮用分部積分法。恰當(dāng)?shù)剡x取u和dv是分部積分法的關(guān)鍵，選擇u和v′ 時(shí)可按“反對(duì)冪三指”的順序，排列在前的函數(shù)取為u，排列在后的函數(shù)取為v′(其中三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)位置是可以交換的)。

(2)被積函數(shù)的表達(dá)式若只含有反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),也可以考慮用分部積分法。并且把反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)取為u,dx就是dv的表達(dá)式。

3.有理函數(shù)的積分

解：被積函數(shù)的分母分解成(x+5)(x-2), 故可設(shè)

其中A、B為待定系數(shù).上式兩端去分母后，得2x+3=A(x-2)+B(x+5), 即2x+3=(A+B)x-2A+5B,

比較上式兩端同次冪的系數(shù)，即有

對(duì)應(yīng)Q(x)的因子則P(x)Q(x)分解成最簡(jiǎn)單分式代數(shù)和含有(x-a)kA1x-a+A2(x-a)2+…+Ak(x-a)k(x2+px+q)kA1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+…+Ak+Bk(x2+px+q)k

第一步：將Q(x)分解成一次因式與二次因式之和；

第三步: 對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單部分分式逐項(xiàng)積分。