孫宇

【摘 要】 幾何的三種全等變換中（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)），翻折和旋轉(zhuǎn)是無(wú)錫中考考查的重點(diǎn)。其中，翻折類(lèi)的變換在近幾年無(wú)錫中考真題和模擬題中反復(fù)出現(xiàn)，讓很多學(xué)生都難以找到準(zhǔn)確方向，本文針對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題，給出最常用、最基本的解答方法。

【關(guān)鍵詞】 翻折;中考;隱圓

一、翻折類(lèi)隱圓問(wèn)題的提出

翻折是一種全等變換，翻折前后的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角是相等的。由于這樣的性質(zhì)，當(dāng)沿著同一端點(diǎn)的某條射線進(jìn)行折疊，那么對(duì)應(yīng)線段之間必然有一個(gè)公共的端點(diǎn)。根據(jù)圓的定義，我們可以判斷，對(duì)應(yīng)線段的另一個(gè)端點(diǎn)必然在一個(gè)圓上，這個(gè)圓就是折疊過(guò)程中形成的“隱圓”。下面我們通過(guò)典型例題的分析，來(lái)充分理解這一類(lèi)問(wèn)題的具體含義和求解方法。

二、重點(diǎn)例題詳細(xì)理解與分析

例1：如圖1，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接CP，作點(diǎn)D關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）。

（1）若m=6，求當(dāng)P，E，B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值;

（2）已知m滿足：在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)A的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)時(shí)刻t，使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3。求所有這樣的m的取值范圍。

理解分析：這一題是2017年無(wú)錫市中考?jí)狠S題。該題目的背景設(shè)置為矩形的翻折類(lèi)問(wèn)題。在矩形的翻折類(lèi)問(wèn)題中，我們常用的方法就是如上文所述的勾股定理和“K型”相似。第一問(wèn)比較常規(guī)，連接PB，由翻折的性質(zhì)可以得到PD=PE=t，由PC為∠DPE的角平分線，AD∥BC，則∠DPC=∠BPC=∠BCP，因此PB=PC=6，即△PBC為等腰三角形）（這里利用的“平行、平分、等腰”的關(guān)系，是無(wú)錫中考的重點(diǎn)方法之一，在2015年的25題、2018年27題等壓軸題中均有相關(guān)應(yīng)用），然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以輕松求解。

第二問(wèn)是我們研究的最重要題型。由題意可得，PD的長(zhǎng)即為m的取值范圍。由于翻折前后的線段長(zhǎng)度不變，即CE始終與CD相等。從而可以確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，CD為半徑的一個(gè)圓。理解到這一步，對(duì)于題目的最終解答就比較清晰了。畫(huà)出這個(gè)圓，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC上方，恰好距離BC的長(zhǎng)為3時(shí)，作垂線，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，由于∠PEC=90°，可以輕松求得PE的長(zhǎng)，也就是m的第一個(gè)臨界點(diǎn)值。當(dāng)點(diǎn)E到E'位置時(shí)，是其第二個(gè)距離BC長(zhǎng)度為3的時(shí)刻。此時(shí)E在BC下方，如圖3所示，畫(huà)出輔助線（虛線部分），依然利用“K型”相似即△P'M'E'∽△E'N'C'，可以得到第二個(gè)解（也可以利用勾股定理求解，相對(duì)而言，“K型”相似計(jì)算更加簡(jiǎn)便）。充分理解第二小問(wèn)的解題過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)翻折類(lèi)的隱圓問(wèn)題畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡（隱藏的圓）是一個(gè)關(guān)鍵的突破口。只要能充分理解到這一點(diǎn)，這一類(lèi)題目的解答思路就會(huì)變得很明晰。

例2：如圖4，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=m，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，BE=1，連接AE。沿AE翻折△ABE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處。

（1）連接CF，若CF∥AE，求m的值;

（2）連接DF，若≤DF≤，求m的取值范圍。

理解分析：這一題是無(wú)錫2019年的模擬題。這一題的題目背景和例1幾乎一樣，問(wèn)題的設(shè)置也有著相似的地方。根據(jù)例1的解析方法，首先畫(huà)出F點(diǎn)的軌跡：以A為圓心，AB為半徑的圓。第一問(wèn)，在此不進(jìn)行贅述。在第二小問(wèn)中，設(shè)QE=x，由于∠AFE=90°，利用“K型”相似可以得到PF=2x，則FQ=2-2x，在Rt△FEQ中，利用勾股定理求得x=，由此可以求得PD2和PD1的長(zhǎng)（D1和D2關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱），從而可以得到最終的m的取值范圍（即AD1和AD2的長(zhǎng)）。回顧總結(jié)這一題的突破點(diǎn)，依然在于這一“隱圓”的重要思路，后續(xù)的解答，基本上是很常規(guī)方法的使用。

例3：已知平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=m，E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F。當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離d滿足條件：-2≤d≤+4，求m的取值范圍。

理解分析：這一題是2019年無(wú)錫模擬試題，我們發(fā)現(xiàn)和上面的兩道例題很類(lèi)似，只不過(guò)題設(shè)的背景變?yōu)橐粋€(gè)含特殊角（60°）的平行四邊形。根據(jù)上面的解答思路，我們畫(huà)出F的軌跡：以A為圓心、AB為半徑的圓。如圖5，過(guò)點(diǎn)A作BC垂線，分別交圓A于點(diǎn)F'，交BC于點(diǎn)H，則AH=，F(xiàn)'H=+4，我們發(fā)現(xiàn)，這一長(zhǎng)度也是F點(diǎn)距離BC的最大距離。而由題意可知，（如圖6）不論m取何值，F(xiàn)點(diǎn)始終在弧BFB'上（不能達(dá)到B'），所以這一題的解答就會(huì)變得更加清晰：只需要求解最小值的臨界點(diǎn)就可以了。過(guò)點(diǎn)F作垂線，分別交AD、BC于點(diǎn)P、M，從而得到PF=2，而AP=4，所以∠PAF=30°。后續(xù)的解答比較常規(guī)，讀者可自行探究。

通過(guò)以上三道例題的詳細(xì)分析理解，我們可以充分體會(huì)到翻折類(lèi)問(wèn)題最大的突破口就在于畫(huà)出題目中的“隱藏的圓”，讓該圓“現(xiàn)出真面目”，這一類(lèi)題目也就會(huì)“現(xiàn)出真思路”。當(dāng)然在畫(huà)出圓后的解答過(guò)程中，我們的基本功要扎實(shí)，“K型”相似和“勾股定理”的運(yùn)用要相當(dāng)熟練，另外，翻折是一種幾何全等變換，其前后對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系（對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段都是相等的）一定要時(shí)刻把握住。數(shù)據(jù)的處理與分析，也是一個(gè)小考驗(yàn)。對(duì)于壓軸題的理解與分析，要注重?cái)?shù)學(xué)方法運(yùn)用，不能過(guò)于關(guān)注“述”，而輕視“法”、忽略“道”，才能真正做到一通百通。

【參考文獻(xiàn)】

[1]董磊.數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（10）：46-48.