宋瑩

摘 要?教材的例題和習題在數(shù)學的教與學中發(fā)揮著多種功能，例習題的題型、選材與難度在一定程度上反映了教材的難度和編寫理念與風格。本文利用比較研究法和鮑建生、王建磐教授的修正版習題綜合難度模型進行相關研究，以期為教師科學有效使用教材、提高教學質(zhì)量提供參考。

關鍵詞?教材;難度一致性;例習題

中圖分類號：C43 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）16-0155-02

新課程與新高考改革不斷推進，2019年5月9日人教B版高中數(shù)學新教材（以下簡稱“新人教B版教材”）正式發(fā)布，新教材是依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》編寫的，集中反映了我國十余年來高中課程改革的成果。例習題是教材的重要組成部分，同時是學生理解概念、原理，領悟數(shù)學思想方法的具體途經(jīng)，也是課堂教學內(nèi)容的鞏固和深化。

一、問題提出

以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為例，從例習題難度及其一致性這一角度可以考察新教材的難度水平，同時反觀新課程標準的素養(yǎng)導向，為高中數(shù)學教與學提供借鑒和參考。

二、研究設計

（一）研究對象

教材版本：人民教育出版社B版普通高中教科書·數(shù)學必修第二冊（2019年版）

教材內(nèi)容：（必修）第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)

（二）研究工具

鮑建生、王建磐教授建立并修正了“習題綜合難度模型”，后又有學者對其進行優(yōu)化，本文利用優(yōu)化后的模型進行分析。此模型將習題難度劃分為六個維度：數(shù)學認知、背景因素、運算水平、推理能力、知識綜合、思維方向。

每個維度上的加權平均公式：依次表示數(shù)學認知、背景、運算、推理、知識綜合與思維方向上的加權平均值;是第i個難度因素的第j個等級水平的權重;指第i個難度因素的第j個等級水平的題目數(shù)量，n是題目總數(shù)。

三、研究結果分析

現(xiàn)將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)一章的所有例題、習題統(tǒng)計分析，得到各個難度因素的比較結果。

（一）數(shù)學認知一致性分析

從表1各層次占比可以看出，新人教B版教材比較注重基礎性，重視對基本概念、原理的識記和理解。習題中對于數(shù)學認知的層次體現(xiàn)得更加全面，少部分題目屬于簡單操作和分析探究，這一點也正是體現(xiàn)了例題與習題功能上的區(qū)別。

從圖1可以看到，總體上例題與習題在數(shù)學認知維度上的難度一致性是比較高的。

（二）背景因素一致性分析

從表2各層次占比看，例、習題的背景設置符合數(shù)學題的基本特征，是有“數(shù)學味”的，有背景的習題體現(xiàn)了一定的均衡性。由上圖2可見，例題與習題的背景水平一致性是非常高的。

（三）運算水平一致性分析

各層占比如表3，例習題中無運算的題目主要考查對互化或概念的識記?？傮w來看，例題、習題還是以數(shù)值運算和簡單的符號運算為主，習題的復雜計算占比相比例題要更少一些。

例題與習題的運算水平整體上差別不大，例題的四個運算等級水平分布相對更為均勻，習題的運算更集中于數(shù)值與簡單符號運算。

（四）推理能力一致性分析

從表4各層占比看，新人教B版教材強調(diào)易學性、基礎性，例題突出典型性和示范性，習題設置考慮了層次性的要求，習題在推理能力方面難度稍高。

圖4顯示例題中無推理要求的題目占比最高，習題中簡單推理水平的題目占比最高，但是差異不大。

（五）知識綜合一致性分析

例題與習題對單個知識點的考查均占比最大，包含知識點越多題目數(shù)量越少，知識綜合程度上例題與習題難度相差不大，折線圖5反映出例習題在知識綜合方面的一致性很高。

（六）思維方向一致性分析

統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，例題中都是順向思維的題目，無逆向思維考查，266道習題中有5道題目考查逆向思維，占1.85%，順向思維題占98.15%，這也體現(xiàn)了習題類型的豐富性和層次性要求。這一維度上例習題也具有較高的一致性。

四、總結

匯總各難度因素，可得以下結論：（1）新人教B版教材指對冪函數(shù)的例、習題的綜合難度一致性很高;（2）習題在推理能力上難度略高于例題，例題在背景和認知水平上的難度略高于習題;（3）例習題在數(shù)學認知、運算水平上的難度值明顯高于其他因素，各因素間不平衡。

教學中，例習題難度一致性較高的教材適合大部分學生使用，有利于學生更好地理解、運用新知，教師教學過程中應該充分考慮學生對不同層次習題的需求，科學并創(chuàng)造性地使用教材。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]G.波利亞.怎樣解題[M].北京：科學技術出版社，1982.

[3]王建磐，鮑建生.高中數(shù)學教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望，2014（8）.