劉 明

2019 年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷有一道“維納斯女神像”考題（見例1），在考后迅速成為“網(wǎng)紅”，引起了廣泛關(guān)注。

例1（2019 年高考全國Ⅰ卷文、理科第4 題）

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

那么，這道題為何能引起廣泛關(guān)注呢？2019年高考試題帶給我們怎樣的啟示呢？在新課程方案實施了一年半以后的今天，有必要結(jié)合高考評價的變化，再審視我們該如何落實課標(biāo)、推進(jìn)教學(xué)改革。

一、試題的啟示

2019 年6 月，筆者參加了由人民教育出版社主辦的“中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材國際論壇”，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組負(fù)責(zé)人史寧中教授在論壇上做報告，他對2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷的試題表示滿意，同時認(rèn)為以下幾類問題能夠引發(fā)學(xué)生更好的思考：一是結(jié)論不明；二是條件不全；三是由特殊到一般。這道“網(wǎng)紅”題就屬于“條件不全”——題中所給的條件并非兩個黃金分割比所對應(yīng)的長度。我們不妨先解剖一下這只“麻雀”——

思路1 運用生物學(xué)知識，由已有的數(shù)據(jù)估算身高。

（1）利用腿長進(jìn)行估算。利用腿長進(jìn)行估算，首先要知道腿長的概念。腿長是指髂骨（位于腰部下方、腹部兩側(cè)的骨）到踝骨最下端的距離。因此，可以用自己身體的相關(guān)數(shù)據(jù)去估算：肚臍到髂骨的距離、踝骨最下端到足底的距離分別約為1cm 和3cm，則肚臍到足底的長度大約為109cm，由此估算出身高約為109×（1+0.618）≈176.3cm，得到正確答案B。

這就需要我們數(shù)學(xué)地思考：是什么原因?qū)е聝煞N估算的結(jié)果出現(xiàn)較大的差異呢？一方面，從生物學(xué)的角度看，每一個人喉結(jié)至脖子下端的長度存在差異，另外把“頭頂?shù)窖屎淼木嚯x”看作“頭頂?shù)胶斫Y(jié)的距離”是否準(zhǔn)確？另一方面，從數(shù)學(xué)的角度看，由腿長估算出肚臍至足底的長度（記為a），得到身高約為1.618a；但是，若由頭頂至脖子下端的長度估算出頭頂至咽喉的長度（記為b），得到身高約為2.6182b≈6.854b?？梢姡?、后兩種估算分別把誤差放大了約1.6倍和6.8 倍，故前者精度較高。

思路2 利用不等式模型，求實際身高的取值范圍。

設(shè)實際身高為x cm。因為頭頂至咽喉的長度小于頭頂至脖子下端的長度，所以若把頭頂至脖子下端的長度當(dāng)作頭頂至咽喉的長度來計算，得到的值大于x，即x＜6.854×26≈178.2；又因為肚臍至足底的長度大于腿長，故x＞1.618×105≈169.9。所以x∈（169.9，178.3），故該題應(yīng)選B。

從上述分析可以看出，該題由于“條件不全”，給考生帶來了解題障礙：有相當(dāng)一部分學(xué)生不知道腿長的概念，無法由腿長去估算，于是用頭頂至脖子下端的長度進(jìn)行估算，由于未認(rèn)識到誤差被放大而出現(xiàn)錯誤。

事實上，命題者故意給出與兩個黃金分割比不相吻合的條件，甚至“題意模糊”（難以確定頭頂?shù)窖屎淼拈L度），其目的就是為了引導(dǎo)考生：在由“等量關(guān)系”估算身高未果時，聯(lián)想到“不等關(guān)系”，最終運用“不等式”這一數(shù)學(xué)模型來解決問題。筆者認(rèn)為，本題很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)理念：重視學(xué)科綜合（涉及了生物學(xué)知識），考察學(xué)科核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等）。

此外，與往年相比，2019 年試題應(yīng)用題數(shù)量明顯增多，筆者以為，這是為了落實《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中提出的“優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導(dǎo)向，重點考查學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強情境設(shè)計，注重聯(lián)系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題”的育人要求。因此，2019 年高考帶給我們的啟示是：研究新課標(biāo)，改革課堂教學(xué)。

二、對2017 年版課程標(biāo)準(zhǔn)的再認(rèn)識

1.課標(biāo)的權(quán)威性增強，內(nèi)容愈加全面。

為了落實立德樹人的根本任務(wù)，2017 版課程標(biāo)準(zhǔn)在原來的基礎(chǔ)上做了較大幅度的修訂：在課程目標(biāo)上，新增了學(xué)科核心素養(yǎng)（六大核心素養(yǎng)）的課程目標(biāo)，認(rèn)為“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)”；在課程內(nèi)容上，增設(shè)了“數(shù)學(xué)的建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”作為單獨的教學(xué)內(nèi)容，與“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”和“統(tǒng)計與概率”并列，形成4 個教學(xué)主題——函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動；在教學(xué)建議中，提出了“突出學(xué)科核心素養(yǎng)、整體把握教學(xué)內(nèi)容”等要求；在學(xué)業(yè)評價部分，提出了“注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系”等命題原則。

過去，我們在課程與教學(xué)上有“課程標(biāo)準(zhǔn)”，在高考評價上有“高考考試大綱”，盡管課程標(biāo)準(zhǔn)提出了很多新理念，但高考并未作出與之相應(yīng)的改革，存在題型固化，甚至試卷某一位置考什么內(nèi)容的試題每年都相對固定的狀況。于是“高考怎么考，老師就怎么教”，導(dǎo)致課程改革的理念只停留在口號上，并未得到真正地落實。這一輪課改吸取了以往的教訓(xùn)，課程改革與高考改革配套推進(jìn)。

2.如何真正而又全面地落實課程標(biāo)準(zhǔn)。

2017 年版課標(biāo)提出了“四基”“四能”“六大核心素養(yǎng)”和“三會”等課程目標(biāo)，厘清它們之間的關(guān)系是正確理解、全面落實課標(biāo)的前提。通過學(xué)習(xí)課標(biāo)并結(jié)合自己的教學(xué)實踐，筆者認(rèn)為，它們之間存在著如圖1所示的邏輯關(guān)系。

（圖1）

第一，“三會”（會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界）從其本質(zhì)上來看，分別對應(yīng)著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模這三大核心素養(yǎng)，所以，它是數(shù)學(xué)教育的終極性目標(biāo)。

第二，“四基”“四能”和“核心素養(yǎng)”的形成過程是相互依存、彼此促進(jìn)的，所以，筆者把它們放在以“三會”為圓心的一個圓周上。那么這對我們的教學(xué)有什么要求呢？

（1）關(guān)注“四能”。“四能”（從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力）需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐步培養(yǎng)，良好的“四能”可以促進(jìn)“四基”和“核心素養(yǎng)”的形成，故把它放在圓周的最底部。

具體而言，以“四能”為抓手，讓學(xué)生開展積極有效的數(shù)學(xué)活動，并在數(shù)學(xué)活動中，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的概念、掌握數(shù)學(xué)技能、形成數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，獲得“四基”；發(fā)現(xiàn)和提出問題，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程；而分析和解決問題，又需要邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的參與。因此，以“四能”為抓手，能促進(jìn)“四基”和“核心素養(yǎng)”的形成。

反過來，良好的“四基”與“核心素養(yǎng)”又能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“四能”。學(xué)生一旦具備了良好的“四基”，尤其是具備了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，就能將已有的活動經(jīng)驗，類比、遷移到新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中去，發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問題、分析并解決問題；同樣的，學(xué)生具備了良好的“核心素養(yǎng)”，就能夠從社會生活或具體的數(shù)學(xué)問題中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等思維過程，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題、分析并解決問題，發(fā)展“四能”。

因此，在教學(xué)中，應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)有意義的問題情景（包括讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)并提出問題），以發(fā)展學(xué)生“四能”為抓手，促進(jìn)“四基”和“核心素養(yǎng)”的形成。

（2）統(tǒng)籌兼顧，讓“四基”和“核心素養(yǎng)”協(xié)調(diào)發(fā)展。2017 年版課標(biāo)指出：“‘四基’是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升?！惫P者認(rèn)為，“四基”與“核心素養(yǎng)”的特點如表1 所示：

表1 “四基”和“核心素養(yǎng)”的特點

可見，“四基”具有外顯性的特點，因為對每一節(jié)課，我們都會圍繞基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗開展教學(xué)，因而也有即時性的特點；同時它又是發(fā)展核心素養(yǎng)的有效載體，所以它是教學(xué)的基礎(chǔ)目標(biāo)——每一節(jié)課都要落實相應(yīng)的“四基”目標(biāo)，相對易于操作。

“核心素養(yǎng)”具有內(nèi)蘊性的特點，教學(xué)時，在考慮“四基”目標(biāo)的基礎(chǔ)上，還要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，挖掘、確立與教學(xué)內(nèi)容或?qū)W習(xí)過程相關(guān)聯(lián)的學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)并加以落實，所以“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)是一個長期持續(xù)的過程；對于每一節(jié)課，比較容易根據(jù)教學(xué)內(nèi)容確定“四基”目標(biāo)，但并不一定能夠同時培養(yǎng)六大核心素養(yǎng)，可能只能培養(yǎng)其中的某一個或某幾個，且同一個核心素養(yǎng)可以依托不同的知識載體呈現(xiàn)，因而它具有綜合性的特點，在教學(xué)中較“四基”難操作。

盡管“四基”是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的沃土和有效載體，但也應(yīng)該看到：學(xué)生核心素養(yǎng)的提升又能使其更加容易地獲得“四基”。所以，“四基”和“核心素養(yǎng)”的提升是一個相互促進(jìn)的過程，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)籌兼顧、協(xié)調(diào)發(fā)展。

三、課堂教學(xué)改革之路

1.培養(yǎng)提出問題能力，以“四能”為抓手提升素養(yǎng)。

從目前的教學(xué)現(xiàn)狀來看，學(xué)生“分析和解決問題的能力”培養(yǎng)得到了重視：在課堂上，教師通常會提出問題，讓學(xué)生去分析和解決問題。但是對“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”培養(yǎng)，尚未得到足夠的重視。事實上，提出問題比解決問題更重要，因為提出新的問題，需要創(chuàng)造性和想象力，有利于創(chuàng)新意識的形成。所以，讓學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)并提出問題，是培養(yǎng)學(xué)生“四能”（而非“兩能”）的突破口與關(guān)鍵所在。因此，教師應(yīng)當(dāng)積極地創(chuàng)造條件，給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機會，并在解決問題的過程中，發(fā)展“四能”，提升“四基”和核心素養(yǎng)。

當(dāng)然，學(xué)生的“四能”（尤其是“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”），不能任由學(xué)生“自然地”生長，還需要教師在平時的教學(xué)中，有意識地去鼓勵和培養(yǎng)：結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，幫學(xué)生搭建施展“發(fā)現(xiàn)問題能力”的舞臺。

【案例1】“對數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計。[1]

某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1 年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%。（設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量為1）

問題1 你能就此情境提出一個問題嗎？

問題2 若2b=3，這樣的b 存在嗎？

【設(shè)計意圖】先由問題1，讓學(xué)生從實例出發(fā)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的過程，自主地提出問題；然后對提出的問題加以分類，啟發(fā)學(xué)生思考這些問題之間的關(guān)聯(lián)：在指數(shù)式ab=N 中，已知兩個量，求第三個量；再對a，b，N 中已知的兩個量進(jìn)行討論，確立本節(jié)課的探究主題：在ab=N 中，已知a，N，求b。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，在發(fā)展“四能”的同時，理解新知識（對數(shù)）產(chǎn)生的必要性，經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，促使學(xué)生加深對新知識的理解，獲得“四基”，形成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

2.基于經(jīng)驗豐富經(jīng)驗，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)。

新課標(biāo)在原有的“三基”（基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法）的基礎(chǔ)上，增加了“基本活動經(jīng)驗”，旨在“使學(xué)生參與到那些促進(jìn)學(xué)習(xí)的事件和活動中去”[2]，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中，形成數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展認(rèn)知策略。如前所述，“四基”具有外顯性、即時性、基礎(chǔ)性和易操作性的特點，因此，每一節(jié)課都應(yīng)努力讓學(xué)生獲得“四基”，為學(xué)生“核心素養(yǎng)”的提升奠定好基礎(chǔ)。

從目前的教學(xué)現(xiàn)狀來看，原有的“三基”已經(jīng)得到廣大教師普遍和足夠的重視——在每一節(jié)課教學(xué)中，教師一般都會結(jié)合具體的內(nèi)容，培養(yǎng)“三基”，但是幫助學(xué)生獲得“基本活動經(jīng)驗”尚未引起足夠的重視。這就需要我們在今后的教學(xué)中，積極創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景，讓學(xué)生基于原有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，并在學(xué)習(xí)活動的過程中，不斷積累和豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

【案例2】“直線和平面垂直”的概念教學(xué)設(shè)計。[3]

問題1 前面學(xué)習(xí)了“直線和平面平行”這一位置關(guān)系。你覺得，直線和平面除了存在“平行”這一關(guān)系外，還存在著其他的位置關(guān)系嗎？

問題2 你能舉出生活中給我們以直線和平面垂直感覺的實例嗎？

問題3 在數(shù)學(xué)上，僅僅有垂直的感覺是不夠的，我們還要做哪些事？

【設(shè)計意圖】從已有的“直線和平面平行”這一位置關(guān)系出發(fā)，提出“問題1”，讓學(xué)生借助已有的研究經(jīng)驗，類比直線與直線之間的特殊位置關(guān)系——平行與垂直，提出直線與平面之間的另一種特殊位置關(guān)系的猜想——“直線與平面垂直”，并進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

通過問題3 促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的形成。一方面，讓學(xué)生借助已有的研究經(jīng)驗，提出研究空間基本元素位置關(guān)系的基本架構(gòu)（定義→判定定理→性質(zhì)定理）；另一方面，通過該位置關(guān)系的研究，在為后續(xù)學(xué)習(xí)“平面與平面平行”“平面與平面垂直”等內(nèi)容積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的同時，促使學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)。

3.突出學(xué)科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)新課程育人價值。

從目前的教學(xué)現(xiàn)狀來看，不少教師對“核心素養(yǎng)”的重視程度遠(yuǎn)不及“四基”。應(yīng)當(dāng)注意到，在此輪課程改革中，學(xué)科核心素養(yǎng)處于最重要、最突出的地位。培育學(xué)科核心素養(yǎng)在具體實施上有一定的困難，這就需要我們結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點、生長點，注意數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的可實現(xiàn)性，研究其融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的具體方式及載體，在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)目標(biāo)。由此，我們可以得到在每一節(jié)課的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的操作路徑：

（1）尋找與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)。包含兩個層面：一是與新的教學(xué)內(nèi)容直接相關(guān)的核心素養(yǎng)；二是審視新知識的學(xué)習(xí)過程，尋找核心素養(yǎng)的孕育點和生長點。（2）確立本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)。（3）通過恰當(dāng)?shù)姆绞剑ㄇ榫硠?chuàng)設(shè)、問題解決等），實現(xiàn)本節(jié)課的核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)。

需要說明的是：學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步、緩慢地形成的，絕不會一蹴而就。如果我們在平時的課堂教學(xué)中，僅僅圍繞知識與技能來制訂教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計教學(xué)，不去深入細(xì)致地挖掘核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，長此以往，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)將得不到落實。例如在案例1 中，如果我們直接給出對數(shù)的概念，再加上題型講解和反復(fù)訓(xùn)練，那么對于這一節(jié)課而言，也就喪失了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的機會。反之，如果我們每一節(jié)課都堅持培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，那么學(xué)生的核心素養(yǎng)將會得到逐步的提升。

最后，希望廣大同行共同行動起來：在平常的教學(xué)中，把學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)當(dāng)作一項長期目標(biāo)來抓，堅持不懈、持之以恒地加以落實，全面實現(xiàn)新課程的育人價值。