駱 華

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350108)

多屬性決策是指考慮多個(gè)屬性方面對(duì)方案進(jìn)行綜合排序與選擇的過(guò)程，目前已成為決策科學(xué)、管理科學(xué)等領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問(wèn)題之一。在決策過(guò)程中，人們總希望用精確的數(shù)據(jù)來(lái)表示各種決策信息以降低不確定性，然而隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步，信息越來(lái)越復(fù)雜且獲得信息的過(guò)程中會(huì)受到諸多因素的限制，在大部分的決策環(huán)境中很難用精確數(shù)據(jù)來(lái)表示決策信息。ZADEH[1]于1965年提出了模糊集，用以對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行描述。但是其并沒(méi)有考慮多屬性決策中專(zhuān)家偏好存在不一致的現(xiàn)象，為此TORRA[2]提出了猶豫模糊集。之后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者將猶豫模糊集拓展為區(qū)間猶豫模糊集[3]、對(duì)偶猶豫模糊集[4]、猶豫三角模糊集[5]、猶豫模糊語(yǔ)言集[6]、廣義猶豫模糊集[7]等。雖然猶豫模糊集允許用多個(gè)不同的值來(lái)表示一個(gè)元素屬于某個(gè)集合的隸屬度，但沒(méi)有考慮每一個(gè)隸屬度發(fā)生概率的差異。為了解決上述問(wèn)題，XU等[8]提出了概率猶豫模糊集，既能考慮不同的隸屬度，又能考慮每一個(gè)隸屬度發(fā)生的概率，包含的不確定信息更多，更能表達(dá)決策者的偏好。而后LI等[9]給出了概率猶豫模糊集的可能度公式，并將其與QUALIFLEX方法和PROMETHEEⅡ方法相結(jié)合用于解決概率猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題。ZHANG等[10]基于傳統(tǒng)的聚合算子，給出了概率猶豫模糊集的聚合算子。GAO等[11]定義了概率猶豫模糊元的海明距離測(cè)度，提出了考慮時(shí)間因素的多階段動(dòng)態(tài)概率猶豫模糊聚合算子。劉玉敏等[12]定義了概率猶豫模糊熵、猶豫熵和總熵，分別用來(lái)測(cè)量概率猶豫模糊元的模糊性、猶豫性和整體不確定性。

為測(cè)量猶豫模糊集的不確定性，距離測(cè)度被引入到猶豫模糊集的多屬性決策中。如XU等[13]給出了猶豫模糊集之間的距離公式，包括海明距離、歐式距離等。李賀等[14]考慮元素之間的方差和元素個(gè)數(shù)的差異，定義了一種改進(jìn)的符號(hào)距離。阮傳揚(yáng)[15]根據(jù)猶豫模糊集元素之間的方差和元素個(gè)數(shù)，定義了一種含有對(duì)數(shù)函數(shù)的新型猶豫模糊符號(hào)距離。

綜上，目前關(guān)于概率猶豫模糊距離測(cè)度的多屬性決策研究較少，且大多采用概率猶豫模糊海明距離、概率猶豫模糊歐式距離等，只考慮到概率猶豫模糊元中元素值之間的差異，并沒(méi)有綜合考量其他因素，如信息不完全度、猶豫度等。因此，筆者提出一種改進(jìn)距離公式對(duì)概率猶豫模糊元進(jìn)行測(cè)量，該公式計(jì)算量小且計(jì)算簡(jiǎn)便。同時(shí)，為了充分考慮猶豫性、信息不完全性和元素之間的差異，更好地測(cè)量概率猶豫模糊元的不確定性，首先給出概率猶豫模糊元的猶豫度公式來(lái)測(cè)量其猶豫性；其次給出概率猶豫模糊元的信息不完全度公式來(lái)測(cè)量其信息的不完全性，再結(jié)合概率猶豫模糊元元素之間的差異給出概率猶豫模糊改進(jìn)距離公式；最后基于離差最大化方法計(jì)算屬性權(quán)重，再將改進(jìn)距離公式與TODIM方法相結(jié)合，運(yùn)用到多屬性決策中，并通過(guò)算例分析以驗(yàn)證其有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

一般將所有的概率猶豫模糊元h(Px)中的元素按隸屬度從小到大排序，h(Px)的補(bǔ)集為hc(Px)={1-γλ(Pλ)|λ=1,2,…,l}。

定義4[16]設(shè)非空集合X為一個(gè)給定的論域，A={〈x,hA(Px)〉|x∈X}、B={〈x,hB(Px)〉|x∈X}、C={〈x,hC(Px)〉|x∈X}為集合X上的3個(gè)概率猶豫模糊集。則A與B之間的距離d(A,B)滿(mǎn)足：①0≤d(A,B)≤1；②d(A,B)=d(B,A)；③d(A,B)=0，當(dāng)且僅當(dāng)A=B；④若d(A,B)≥d(A,C),d(A,C)≥d(B,C)，則d(A,B)≥d(B,C)。

2 改進(jìn)距離公式

2.1 改進(jìn)距離公式

為了充分考慮決策者之間意見(jiàn)猶豫不決的程度，筆者針對(duì)猶豫值的個(gè)數(shù)，給出了猶豫度；針對(duì)一個(gè)概率猶豫模糊元所包含隸屬度的概率之和與1的差異程度，給出了信息不完全度；綜合考慮猶豫度、信息不完全度及元素值之間的差異，給出了一種概率猶豫模糊集的改進(jìn)距離公式。

采用距離測(cè)度時(shí)，一般要求兩個(gè)概率猶豫模糊元中的元素個(gè)數(shù)相等進(jìn)而進(jìn)行比較。設(shè)概率猶豫模糊元h1(P)和h2(P)中的元素個(gè)數(shù)分別為l1和l2，當(dāng)l1≠l2時(shí)，在元素較少的集合中添加元素，使其個(gè)數(shù)為l=max{l1,l2}。決策者可以根據(jù)自身對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度選擇所添加的元素。筆者采用添加概率猶豫模糊元中隸屬度最大的值且添加的隸屬度的概率為0，并應(yīng)用該方法比較概率猶豫模糊元元素值之間的差異。由于添加的隸屬度的概率為0，因此γP=0，不影響概率猶豫模糊元中的距離計(jì)算。

(1)

(2)

命題1改進(jìn)距離公式(式(1))滿(mǎn)足定義4中距離的4個(gè)性質(zhì)。

故可得出d′(A,B)≥d′(B,C)成立。

同理可證，加權(quán)改進(jìn)距離公式(式(2))也滿(mǎn)足定義4中距離的4個(gè)性質(zhì)。

2.2 確定屬性權(quán)重

(3)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來(lái)求解上述模型：

(4)

對(duì)式(4)分別求關(guān)于wj、η的偏導(dǎo)，并令各偏導(dǎo)為0,可得到如下等式：

(5)

求解式(5)可得：

(6)

對(duì)wj進(jìn)行單位化處理，則可得到屬性權(quán)重：

(7)

3 基于改進(jìn)距離的概率猶豫模糊TODIM決策方法

TODIM方法是基于前景理論提出的一種多屬性決策方法，是通過(guò)建立排序值函數(shù)計(jì)算備選方案相對(duì)于其他方案的優(yōu)勢(shì)度來(lái)對(duì)方案進(jìn)行排序并擇優(yōu)。這種方法可以根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)計(jì)算過(guò)程中的參數(shù)取不同的值，從而做出符合決策者心理行為的結(jié)果，故其可以根據(jù)決策者的心理行為有效處理多屬性決策問(wèn)題。

(8)

(3)確定屬性權(quán)重。利用定義2計(jì)算各個(gè)概率猶豫模糊元的得分函數(shù)，建立得分函數(shù)矩陣S=[sij]m×n，再利用式(7)計(jì)算屬性權(quán)重w=(w1,w2,…,wn)T。

(9)

(6)計(jì)算各備選方案相對(duì)于其他所有方案的優(yōu)先程度δ(Xi,Xg)：

(10)

再計(jì)算各備選方案相對(duì)于其他所有方案的總體優(yōu)勢(shì)度T(Xi)：

(11)

(7)采用式(12)對(duì)各方案的總體優(yōu)勢(shì)度進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并按照S(Xi)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，S(Xi)越大，方案越優(yōu)。

(12)

4 算例分析

4.1 算例簡(jiǎn)介

設(shè)有4種能源Xi(i=1,2,3,4)可供選擇，10位決策者(包括3位核心管理人員、5位核心技術(shù)人員、2位外部專(zhuān)家)采用4個(gè)屬性C1(工藝的先進(jìn)性)、C2(對(duì)環(huán)境的影響程度)、C3(潛在的市場(chǎng)價(jià)值)、C4(人們的經(jīng)濟(jì)情況)對(duì)能源進(jìn)行評(píng)估，以識(shí)別其相對(duì)優(yōu)劣程度，并且這4個(gè)屬性對(duì)應(yīng)的權(quán)重為w=(0.25,0.20,0.40,0.15)。其中，屬性C1、C3和C4為效益型屬性，屬性C2為成本型屬性。由于信息的不確定性及決策者對(duì)能源屬性的認(rèn)知觀(guān)不同，決策者以概率猶豫模糊值的形式給出各個(gè)能源在相應(yīng)屬性下的評(píng)估值。

(1)決策者給出決策信息，構(gòu)造決策矩陣R，如表1所示。以方案X1的屬性C1的評(píng)價(jià)值{0.3(0.1),0.8(0.8)}為例，該評(píng)價(jià)值表示在10位決策者中80%的決策者同意評(píng)價(jià)值為0.8,10%的決策者同意評(píng)價(jià)值為0.3，由于諸多因素的限制，其余評(píng)價(jià)值不清晰。

表1 決策矩陣R

(2)采用式(8)對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣，如表2所示。

表2 標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣

(3)計(jì)算屬性權(quán)重。計(jì)算各元素的得分函數(shù)，得到得分函數(shù)矩陣，如表3所示。再由式(7)計(jì)算得到各屬性權(quán)重w=(0.246 3，0.261 2，0.272 4，0.220 1)。

表3 得分函數(shù)矩陣

(4)選取C3為參照屬性，計(jì)算得到屬性的相對(duì)權(quán)重w*=(0.904 2，0.958 9，1.000 0，0.808 0)。

(5)根據(jù)式(1)計(jì)算各屬性下方案之間的距離，如表4所示。

表4 各屬性下方案之間的距離

(6)計(jì)算各屬性下方案Xi優(yōu)于方案Xg的優(yōu)勢(shì)度，如表5所示。進(jìn)而計(jì)算出各方案相對(duì)于其他所有方案的總體優(yōu)勢(shì)度：T(X1)=-5.571 2,T(X2)=-1.156 4，T(X3)=-7.812 6，T(X4)=-3.560 9。

表5 各屬性下方案優(yōu)于方案的優(yōu)勢(shì)度

(7)排序。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的總體優(yōu)勢(shì)度為：S(X1)=0.336 7，S(X1)=1.000 0，S(X1)=0.000 0，S(X1)=0.638 8，故最終方案排序結(jié)果為：X2>X4>X1>X3。

4.2 比較分析

為了說(shuō)明筆者模型的有效性，采用文獻(xiàn)[11]中的概率猶豫模糊海明距離公式+TODIM方法和文獻(xiàn)[18]的方法對(duì)排序結(jié)果進(jìn)行比較分析。文獻(xiàn)[18]給出了3種考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的概率猶豫模糊集結(jié)算子：代表決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)的概率猶豫模糊最大有序加權(quán)平均算子，代表決策者風(fēng)險(xiǎn)中立的概率猶豫模糊有序加權(quán)平均算子，代表決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的概率猶豫模糊最小有序加權(quán)平均算子。5種方法的結(jié)果如表6所示。

表6 5種方法的結(jié)果

由表6可知，運(yùn)用海明距離公式+TODIM方法得到的結(jié)果與筆者模型得到的結(jié)果存在差距，原因在于運(yùn)用海明距離進(jìn)行距離測(cè)度時(shí)只考慮了概率猶豫模糊元中元素?cái)?shù)值之間的差異，并沒(méi)有考慮每一個(gè)隸屬度中元素個(gè)數(shù)的差異及概率猶豫模糊元中每一個(gè)隸屬度之和與1的差異，即沒(méi)有考慮概率猶豫模糊元的猶豫性與信息不完全性，故其不具備綜合考量性。而采用文獻(xiàn)[18]中方法得到的結(jié)果與筆者模型得到的結(jié)果存在部分差異，但文獻(xiàn)[18]中方法的計(jì)算步驟復(fù)雜且繁瑣，而筆者模型計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、易于理解，且決策者可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇不同的損失衰減系數(shù)進(jìn)行決策分析，具有更大的靈活性。

5 結(jié)論

筆者在概率猶豫模糊集的環(huán)境下，充分考慮概率猶豫模糊元中元素值之間的差異、每一個(gè)隸屬度中元素個(gè)數(shù)的差異及概率猶豫模糊元中每一個(gè)隸屬度之和與1的差異，即概率猶豫模糊元的不確定性包括了元素值之間的差異、猶豫性和信息的不完全性。提出了用猶豫度公式測(cè)量概率猶豫模糊元的猶豫性，用信息不完全度公式來(lái)測(cè)量概率猶豫模糊元的信息不完全性，結(jié)合概率猶豫模糊元中元素值之間的差異給出了概率猶豫模糊集的改進(jìn)距離公式，并將該改進(jìn)距離公式與TODIM方法相結(jié)合，構(gòu)建了決策模型。通過(guò)算例分析驗(yàn)證了該決策模型的有效性。

采用概率猶豫模糊數(shù)來(lái)表示決策信息，并將其與TODIM方法相結(jié)合，能夠充分考慮決策者的心理行為，更好地反映出決策者的決策偏好。該方法是概率猶豫模糊集的有益擴(kuò)展，可以用于應(yīng)急決策、創(chuàng)新投資決策等實(shí)際問(wèn)題中。在后續(xù)的研究中，可以將該模型拓展到概率區(qū)間值猶豫模糊集、概率語(yǔ)言集等決策環(huán)境下。