彭珍瑞，曹明明，劉滿東

蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070

在航空、航天、機(jī)械、土木結(jié)構(gòu)和武器系統(tǒng)的研制過(guò)程中，有限元仿真和試驗(yàn)分析已成為2種不可或缺的重要手段[1]。但是在建模過(guò)程中的許多不確定性因素會(huì)導(dǎo)致有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ痛嬖谝欢ǖ牟町?，因此需要利用試?yàn)?zāi)Ｐ偷臏y(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，使修正后的有限元模型能較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性[2]。其中，基于模態(tài)參數(shù)和基于頻響函數(shù)(FRFs)的模型修正方法較為常見[3]。相比較而言，基于頻響函數(shù)的模型修正方法直接利用測(cè)量得到的頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正不需要模態(tài)識(shí)別，從而避免了識(shí)別誤差的引入，具有一定的優(yōu)越性[4]。文獻(xiàn)[5-6]分別從理論上介紹了設(shè)計(jì)參數(shù)型頻響函數(shù)修正法在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)及局限。殷紅等[7]利用位移頻響函數(shù)結(jié)合結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，得到了與結(jié)構(gòu)實(shí)際參數(shù)相符的模型修正結(jié)果。Esfandiari等[8]采用基于頻響函數(shù)的模型修正方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一標(biāo)準(zhǔn)桁架結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。楊海峰等[9]使用加速度頻響函數(shù)對(duì)一簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了有限元模型修正。雖然基于頻響函數(shù)的模型修正方法有一定的優(yōu)勢(shì)，但因其包含大量頻率點(diǎn)信息，所以頻率點(diǎn)的選擇對(duì)于修正結(jié)果有重要影響，目前尚無(wú)統(tǒng)一方法。Kwon和Lin[10]引入測(cè)量依賴性指標(biāo)和參數(shù)依賴性指標(biāo)來(lái)選擇最優(yōu)頻率點(diǎn)。張勇等[11]利用頻響函數(shù)截?cái)嗥娈愔捣纸膺M(jìn)行模型修正避開了頻率點(diǎn)的選擇難題。

目前，作為一種可以替代有限元模型進(jìn)行快速分析的代理模型技術(shù)，引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。代理模型通過(guò)建立一個(gè)顯式的函數(shù)來(lái)代替模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間復(fù)雜的隱式關(guān)系，近年來(lái)逐漸被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)模型修正與確認(rèn)中[12]。常用的代理模型有響應(yīng)面法(RSM)、徑向基函數(shù)(RBF)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)、支持向量回歸機(jī)(SVR)、Kriging模型等[13]。其中Kriging模型是基于Kriging插值技術(shù)的一種等效模型，與其他代理模型不同的是，Kriging模型除了能給出對(duì)未知函數(shù)的預(yù)估值，還能得到預(yù)估值的誤差估計(jì)[14]，只用少量的樣本就可以較準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)輸入與輸出間的關(guān)系，在航天飛行器設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛。文獻(xiàn)[15-17]將Kriging方法應(yīng)用于頻響函數(shù)模型修正中，減少了求解時(shí)間，提高了頻響函數(shù)模型修正的效率。

在上述背景下，為保留利用頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)避免頻率點(diǎn)的選擇難題和提高模型修正效率，本文提出了一種基于加速度頻響函數(shù)小波分解的模型修正方法。將計(jì)算得到的加速度頻響函數(shù)進(jìn)行小波分解，用小波分解得到的第1層幅值較大的小波系數(shù)來(lái)表征頻響函數(shù)作為Kriging模型的輸出，以模型待修正參數(shù)作為Kriging模型的輸入，并通過(guò)混合灰狼算法對(duì)Kriging模型相關(guān)系數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)來(lái)構(gòu)建精確的Kriging代理模型。然后，以實(shí)測(cè)的加速度頻響函數(shù)小波分解得到的第1層小波系數(shù)與代理模型輸出小波系數(shù)的差值最小作為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)水循環(huán)算法進(jìn)行待修正參數(shù)的求解。最后，通過(guò)一空間桁架結(jié)構(gòu)證明了本文方法的有效性，特別是對(duì)于隨機(jī)噪聲的魯棒性。

1 加速度頻響函數(shù)小波分解

1.1 加速度頻響函數(shù)

頻域內(nèi)，一個(gè)n自由度阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(-ω2M+iωC+K)X(ω)=F(ω)

(1)

式中：M、K和C分別表示質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣；ω為激勵(lì)頻率；F(ω)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)X(ω)可表示為

X(ω)=H(ω)F(ω)

(2)

其中：H(ω)為加速度頻響函數(shù)，可表示為

(3)

1.2 小波變換

小波變換是信號(hào)處理領(lǐng)域的一種重要研究方法，被用于圖像壓縮、信號(hào)濾波、數(shù)據(jù)融合和特征提取等很多方面。Donoho[18]提出了小波軟、硬閾值消噪法。該方法計(jì)算量小且容易實(shí)現(xiàn)，得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。

一維含噪信號(hào)可以表示為

y(t)=s(t)+o(t)t=0,1,…,T-1

(4)

式中：y(t)為含噪信號(hào)；s(t)為有用信號(hào)；o(t)為噪聲信號(hào)；t為采樣點(diǎn)；T為采樣點(diǎn)數(shù)，其小波變換為

(5)

其中：λjk為含噪信號(hào)的小波系數(shù)，ψ(·)為小波函數(shù)。因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是線性變換，所以式(5)可以變?yōu)?/p>

λjk=λjk(s)+λjk(o)

(6)

其中：λjk(s)和λjk(o)分別為有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的小波系數(shù)。

小波變換特別是正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠在小波域中使信號(hào)的能量集中在一些大的小波系數(shù)中；而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后，有用信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲信號(hào)的系數(shù)幅值?？梢哉J(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以有用信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲信號(hào)[19]。對(duì)比多次試驗(yàn)效果，設(shè)定小波基為db4，當(dāng)無(wú)噪聲或者弱噪聲(信噪比為30 dB、20 dB)干擾時(shí)分解層數(shù)設(shè)為5，當(dāng)強(qiáng)噪聲(信噪比為10 dB、5 dB)干擾時(shí)分解層數(shù)設(shè)為4，用加速度頻響函數(shù)經(jīng)小波分解后的第1層幅值較大的小波系數(shù)作為加速度頻響函數(shù)的特征量進(jìn)行模型修正。

2 基于Kriging模型的模型修正理論

2.1 Kriging模型的建立

Kriging模型是一個(gè)基于隨機(jī)過(guò)程的代理模型，最初在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中提出。模型包含了線性回歸部分和非參數(shù)部分：

(7)

Cov [z(xi)，z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(8)

其中：σ2為z(x)的方差；xi和xj為樣本中任意2個(gè)樣本點(diǎn)；R(xi,xj)是相關(guān)函數(shù)，表示樣本點(diǎn)間的空間相關(guān)性。選計(jì)算效率較好的高斯函數(shù)為相關(guān)函數(shù)：

(9)

(10)

(11)

其中：n為試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)；σ2和β均為θk的函數(shù)，那么Kriging模型中唯一未知數(shù)即為相關(guān)系數(shù)θk，其決定著預(yù)測(cè)響應(yīng)精度，本文采用混合灰狼算法對(duì)相關(guān)系數(shù)θk進(jìn)行尋優(yōu)。

(12)

式中：rT(x0)=[R(x0,x1)R(x0,x2)…R(x0,xn)]。

2.2 混合灰狼算法

混合灰狼算法(DE-GWO)是由Zhu等[20]提出，該算法將差分進(jìn)化算法(DE)強(qiáng)大的搜索能力融入灰狼算法(GWO)中，使GWO能夠跳出停滯區(qū)，降低了GWO尋得局部最優(yōu)值的可能性，加快了收斂速度，優(yōu)于粒子群(PSO)算法、差分進(jìn)化算法(DE)和灰狼算法(GWO)。算法流程如下：

1) 參數(shù)初始化。設(shè)置種群規(guī)模Npop、最大迭代次數(shù)MaxIt、自變量維數(shù)nVar、縮放因子下上界beta_min和beta_max，交叉概率pCR，參數(shù)下上界lb和ub。

2) 對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行DE變異操作，產(chǎn)生中間體；并進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)選擇操作形成父代種群、子代種群和變異種群個(gè)體。

3) 社會(huì)等級(jí)。計(jì)算種群中每個(gè)灰狼個(gè)體的適應(yīng)度值，并依據(jù)適應(yīng)度值的大小進(jìn)行排序，確定灰狼種群中的社會(huì)等級(jí)，最優(yōu)解Xα為頭狼，第2和第3最優(yōu)解Xβ和Xδ為狼群中第2和第3等級(jí)狼，其余的候選解X為狼群中最低等級(jí)狼。

4) 搜索包圍獵物?；依撬阉鳙C物過(guò)程中，灰狼接近并包圍獵物行為可以表示為

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(13)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(14)

式中：D為灰狼與獵物之間的距離；Xp(t)和X(t)分別是第t次迭代獵物和灰狼的位置向量；C和A為系數(shù)向量，且C=2r1，A=2ar2-a，其中r1和r2為[0，1]之間的隨機(jī)向量，a是一個(gè)動(dòng)態(tài)向量，隨著迭代次數(shù)的增加從2線性遞減至0。

5) 追捕獵物。當(dāng)灰狼搜索到獵物所在位置時(shí)，首先，頭狼Xα帶領(lǐng)狼群對(duì)獵物進(jìn)行包圍；然后，頭狼Xα帶領(lǐng)Xβ狼和Xδ狼對(duì)獵物進(jìn)行攻擊捕捉。在灰狼群體中，Xα、Xβ、Xδ狼距離獵物位置最近，因此可以通過(guò)這三者的位置來(lái)計(jì)算灰狼個(gè)體向獵物移動(dòng)的位置。并根據(jù)式(15)計(jì)算出種群中最優(yōu)個(gè)體Xα、Xβ和Xδ與其他灰狼個(gè)體之間的距離，再根據(jù)式(16)計(jì)算出其余灰狼的移動(dòng)方向。最后由式(17)更新灰狼位置。

(15)

(16)

(17)

式中：X1(t)、X2(t)和X3(t)代表最優(yōu)個(gè)體Xα、Xβ和Xδ與其他灰狼個(gè)體X指導(dǎo)后更新的位置；X(t+1)為子代灰狼的最終尋優(yōu)位置。

6) 對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行交叉、選擇操作保留優(yōu)良成分并產(chǎn)生新子代個(gè)體，計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度值。

7) 更新灰狼Xα、Xβ和Xδ及其他對(duì)應(yīng)的位置信息。

8) 判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)MaxIt，如果是則停止并輸出當(dāng)前最優(yōu)解，否則返回3)繼續(xù)執(zhí)行。

2.3 混合灰狼算法優(yōu)化Kriging模型

Kriging模型中的相關(guān)系數(shù)θk決定著預(yù)測(cè)響應(yīng)值精度，只有當(dāng)所建立Kriging模型精度足夠高時(shí)，代理模型對(duì)修正結(jié)果的誤差影響才會(huì)最小。所以相關(guān)系數(shù)的確定對(duì)于構(gòu)建代理模型至關(guān)重要。本文采用拉丁超立方抽樣方法抽取一定數(shù)量的樣本點(diǎn)，然后把抽取的樣本點(diǎn)分成訓(xùn)練集和測(cè)試集。以訓(xùn)練集作為Kriging模型的輸入變量，以加速度頻響函數(shù)小波分解得到的第1層小波系數(shù)作為響應(yīng)值來(lái)構(gòu)建Kriging模型，以測(cè)試集Kriging模型的均方誤差(MSE)均值平均值作為混合灰狼算法的目標(biāo)函數(shù)，尋得最優(yōu)相關(guān)系數(shù)。最后以訓(xùn)練集作為樣本點(diǎn)建立Kriging模型。

2.4 模型修正

當(dāng)Kriging模型構(gòu)造完成時(shí)，模型修正歸根結(jié)底是一優(yōu)化問題，在目標(biāo)函數(shù)最小的條件下，通過(guò)求解該優(yōu)化問題，得到設(shè)計(jì)參數(shù)的修正值。當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)確定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為

(18)

在優(yōu)化求解時(shí)，除了靈敏度方法外，智能算法也是很簡(jiǎn)便的。水循環(huán)算法(WCA)[21]的基本概念和思想來(lái)源于自然，并基于現(xiàn)實(shí)世界中的水循環(huán)過(guò)程，具有良好的隨機(jī)搜索能力、魯棒性和快速收斂等優(yōu)點(diǎn)。故本文使用水循環(huán)算法進(jìn)行優(yōu)化求解待修正參數(shù)，模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖Fig.1 Flow chart of model updating

3 數(shù)值算例

選擇一空間桁架結(jié)構(gòu)來(lái)驗(yàn)證本文方法。該結(jié)構(gòu)包括28個(gè)節(jié)點(diǎn)，66個(gè)單元和48個(gè)自由度。桁架約束條件為4個(gè)支座固定(節(jié)點(diǎn)編號(hào):1、8、9、16)，節(jié)點(diǎn)鉸接，如圖2所示，桁架結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 三維桁架結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of three-dimensional truss

根據(jù)樣本點(diǎn)參數(shù)，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣并且添加一定的比例阻尼，將其代入式(3)中計(jì)算出其加速度頻響函數(shù)矩陣。由于本文所用方法間接利用頻響函數(shù)，避開了頻率點(diǎn)選擇問題，所以在頻率點(diǎn)的選擇問題上，只需保證頻響函數(shù)在感興趣頻帶內(nèi)有足夠數(shù)量的共振峰。所選結(jié)構(gòu)的激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)如圖2所示。

3.1 待修正參數(shù)選取與試驗(yàn)設(shè)計(jì)

根據(jù)表1將各桿的彈性模量E和密度ρ、上弦桿橫截面積A1、下弦桿橫截面積A2、直腹桿橫截面積A3、斜腹桿橫截面積A4，這6個(gè)參數(shù)作為初選待修正參數(shù)。以表1中的各參數(shù)數(shù)值作為“試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀眳?shù)，然后對(duì)“試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀眳?shù)進(jìn)行偏移得到“有限元模型”參數(shù)。其中，彈性模量E增加10%，密度ρ減小10%，上弦桿橫截面積A1增加10%，下弦桿橫截面積A2減小10%，直腹桿橫截面積A3增加10%，斜腹桿橫截面積A4減小10%，得到對(duì)應(yīng)的有限元模型參數(shù)值如表2所示。

表2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃陀邢拊Ｐ蛥?shù)Table 2 Parameters of test model and finite element model

對(duì)于全局優(yōu)化問題，比較好的方法是通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(DoE)來(lái)選取一組樣本點(diǎn)。對(duì)于Kriging模型，初始樣本點(diǎn)數(shù)理論上不受設(shè)計(jì)空間維數(shù)的限制，且優(yōu)化效率對(duì)初始樣本點(diǎn)數(shù)的依賴也不明顯[14]。為此，采用拉丁超立方抽樣在上述有限元模型6個(gè)參數(shù)的±20%區(qū)間內(nèi)抽取200個(gè)樣本點(diǎn)，使所構(gòu)建Kriging模型滿足精度要求。根據(jù)樣本點(diǎn)運(yùn)用全局靈敏度中的Sobol法計(jì)算各參數(shù)對(duì)于響應(yīng)的靈敏度值，將各參數(shù)靈敏度值歸一化并轉(zhuǎn)換成百分比形式，如圖3所示。

由圖3可以看出，各桿的彈性模量E、密度ρ和上弦桿橫截面積A1靈敏度最高，而其他桿的橫截面積靈敏度相對(duì)較小，所以選擇E、ρ、A1作為待修正參數(shù)進(jìn)行模型修正。

圖3 各參數(shù)靈敏度Fig.3 Sensitivity of each parameter

3.2 Kriging模型的構(gòu)造及評(píng)估

基于拉丁超立方抽樣抽出的200個(gè)樣本構(gòu)造Kriging模型。用前150個(gè)樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后50個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。以訓(xùn)練集作為Kriging模型的輸入，以訓(xùn)練集所對(duì)應(yīng)的加速度頻響函數(shù)小波分解得到的第1層的小波系數(shù)作為輸出，構(gòu)造初始Kriging模型。以測(cè)試集Kriging模型的均方誤差(MSE)均值平均值最小作為混合灰狼算法的個(gè)體目標(biāo)函數(shù)，尋得最優(yōu)相關(guān)系數(shù)θk?；旌匣依撬惴▍?shù)設(shè)置：種群規(guī)模Npop=40，最大迭代次數(shù)MaxIt=300，自變量維數(shù)nVar=1，縮放因子上下界beta_max和beta_min分別為0.2和0.8，交叉概率pCR=0.2，參數(shù)上下界ub和lb分別為0.01和100。最終尋得最優(yōu)相關(guān)系數(shù)為0.875 8，迭代曲線如圖4所示。

圖4 混合灰狼算法迭代曲線Fig.4 Iteration curve of DE-GWO

由圖4可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)增加至250次時(shí)，迭代曲線基本收斂，尋得最優(yōu)值。相關(guān)系數(shù)確定以后，就可以構(gòu)造Kriging模型。為評(píng)估所構(gòu)建Kriging模型的精度，訓(xùn)練集樣本第5個(gè)小波系數(shù)真實(shí)值和Kriging模型預(yù)測(cè)值的擬合曲線如圖5所示。為進(jìn)一步評(píng)估Kriging模型的預(yù)測(cè)精度，測(cè)試集樣本第10個(gè)小波系數(shù)真實(shí)值和Kriging模型預(yù)測(cè)值的擬合曲線如圖6所示，并根據(jù)式(19) 計(jì)算出小波系數(shù)真實(shí)值和Kriging模型預(yù)測(cè)值間的均方根誤差(RMSE)，當(dāng)RMSE越接近0時(shí)Kriging模型預(yù)測(cè)精度越高。

(19)

由圖5看出，通過(guò)訓(xùn)練集構(gòu)建的Kriging模型預(yù)測(cè)值和真實(shí)值幾乎重合，表明訓(xùn)練集的擬合精度很高。訓(xùn)練集的擬合精度并不能說(shuō)明Kriging模型預(yù)測(cè)精度，必須用訓(xùn)練集以外的樣本點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證Kriging模型的預(yù)測(cè)精度，本文用測(cè)試集樣本來(lái)驗(yàn)證。由圖6看出，除個(gè)別樣本點(diǎn)外，測(cè)試集樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kriging模型預(yù)測(cè)值幾乎和真實(shí)值重合，并且通過(guò)式(19)計(jì)算出的RMSE值為8.164 1×10-4，表明所構(gòu)建的Kriging模型預(yù)測(cè)精度很高，可以代替理論模型進(jìn)行模型修正。

圖5 訓(xùn)練集樣本第5個(gè)小波系數(shù)預(yù)測(cè)值Fig.5 Predicted value of the fifth wavelet coefficient of training set sample

圖6 測(cè)試集樣本第10個(gè)小波系數(shù)預(yù)測(cè)值Fig.6 Predicted value of the 10th wavelet coefficient of test set sample

3.3 模型修正

當(dāng)完成Kriging模型構(gòu)造以后，就可以根據(jù)式(12)通過(guò)水循環(huán)算法以式(18)作為目標(biāo)函數(shù)迭代求解待修正參數(shù)。假定試驗(yàn)參數(shù)值在有限元參數(shù)值的±20%區(qū)間內(nèi)，使用水循環(huán)算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)。水循環(huán)參數(shù)設(shè)置：雨滴層數(shù)為50，河流和大海個(gè)數(shù)總和為4，極小值為1×10-5，最大迭代次數(shù)為100。修正結(jié)果如表3所示，水循環(huán)迭代曲線如圖7所示。

由圖7可以看出水循環(huán)算法具有良好的搜索能力和快速收斂性能，算法在10次迭代以前就已收斂。多次運(yùn)行尋優(yōu)程序，迭代曲線基本不變化，也表明了該算法尋優(yōu)的魯棒性。由表3可以看出，用本文所提方法進(jìn)行模型修正取得了很好的修正效果。使用表3中的各參數(shù)試驗(yàn)值和有限元值計(jì)算出試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃陀邢拊Ｐ蛯?duì)應(yīng)的加速度頻響函數(shù)。使用所得修正參數(shù)的平均修正值計(jì)算得到修正后的加速度頻響函數(shù)，稱其為Kriging模型加速度頻響函數(shù)。Kriging模型、試驗(yàn)?zāi)Ｐ图坝邢拊Ｐ图铀俣阮l響函數(shù)曲線如圖8所示。

表3 模型修正參數(shù)及其誤差Table 3 Parameters and their errors of model updating

圖7 水循環(huán)迭代曲線Fig.7 Iteration curve of WCA

圖8 Kriging模型、試驗(yàn)?zāi)Ｐ图坝邢拊Ｐ皖l響函數(shù)曲線Fig.8 FRF curves of Kriging model, test model and finite element model

由圖8可以看出修正過(guò)后的結(jié)構(gòu)加速度頻響函數(shù)曲線與試驗(yàn)加速度頻響函數(shù)曲線幾乎重合，與有限元模型加速度頻響函數(shù)曲線形狀相似，只是沿坐標(biāo)軸有一定的移動(dòng)。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文修正方法的修正效果，比較頻響函數(shù)修正前后實(shí)、虛部曲線，如圖9所示。由圖9可以看出修正后的有限元模型無(wú)論是實(shí)部還是虛部，都能很好地與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l響函數(shù)曲線重合。這進(jìn)一步證明了本文所提方法的有效性。

圖9 修正前后頻響函數(shù)曲線Fig.9 FRF curves before and after updating

實(shí)測(cè)試驗(yàn)時(shí)目標(biāo)頻響函數(shù)不可避免會(huì)受到隨機(jī)噪聲的干擾，在一些特殊環(huán)境下外界噪聲干擾還很大。所以在計(jì)算的試驗(yàn)頻響函數(shù)中加入信噪比為30、20、10和5 dB的高斯白噪聲，來(lái)驗(yàn)證本文方法對(duì)于噪聲的魯棒性。圖10為加入信噪比為20 dB和5 dB時(shí)加速度頻響函數(shù)圖。

圖10 20 dB和5 dB信噪比下加速度頻響函數(shù)Fig.10 FRF under 20 dB and 5 dB SNRs

將加入噪聲的加速度頻響函數(shù)按前文所提小波參數(shù)設(shè)置方法進(jìn)行小波分解，得到不同信噪比下小波系數(shù)曲線和局部放大曲線，如圖11所示。由圖11可以看出，將加速度頻響函數(shù)進(jìn)行小波分解以后得到的序號(hào)較小的小波系數(shù)幅值較大，而絕大部分小波系數(shù)趨近于0。當(dāng)在信號(hào)中加入隨機(jī)噪聲時(shí)，隨著加入的高斯白噪聲信噪比逐漸減小，對(duì)于幅值較大的小波系數(shù)影響較小，而對(duì)于幅值小的小波系數(shù)干擾較大。為了更直觀地看出不同信噪比下噪聲對(duì)于小波系數(shù)的影響，將小波系數(shù)隨小波系數(shù)序號(hào)的變化分成3個(gè)部分，如各圖中的3個(gè)放大曲線所示。放大曲線中左側(cè)為加速度頻響函數(shù)小波分解得到的第1層小波系數(shù)，個(gè)數(shù)較少，幅值較大；右上為加速度頻響函數(shù)小波分解得到的中間靠前的小波系數(shù)，個(gè)數(shù)中等，幅值有大有小；右下為加速度頻響函數(shù)小波分解得到的中間靠后的小波系數(shù)，個(gè)數(shù)較多，幅值趨近于0。

根據(jù)圖11(a)～圖11(d)，由其中的左側(cè)放大曲線可以看出第1層小波系數(shù)曲線隨著加入的噪聲加大，加噪小波系數(shù)曲線與未加噪小波系數(shù)曲線相似，大部分重合，只是當(dāng)噪聲很大時(shí)略有波動(dòng)。由右上放大曲線可以看出，隨著噪聲的加大幅值大的小波系數(shù)曲線波動(dòng)較小，而幅值小的小波系數(shù)曲線波動(dòng)開始加大。由右下放大曲線可以看出，隨著噪聲的加大對(duì)于幅值趨近于0的小波系數(shù)影響較大，噪聲越大小波系數(shù)曲線波動(dòng)越大。綜上所述，加速度頻響函數(shù)經(jīng)小波分解后得到較少數(shù)目幅值較大的小波系數(shù)，絕大部分小波系數(shù)趨近于0。當(dāng)加速度頻響函數(shù)受到噪聲干擾時(shí)，對(duì)于幅值較大的小波系數(shù)干擾較小，而對(duì)于幅值較小的小波系數(shù)干擾較大。

圖11 不同信噪比下小波系數(shù)曲線和局部放大圖Fig.11 Wavelet coefficient curves and local enlarged curves under different SNRs

在不同噪聲水平下連續(xù)運(yùn)行10次程序的模型修正結(jié)果均值如表4所示。由表可以看出/有無(wú)噪聲對(duì)于模型修正結(jié)果影響很大，而當(dāng)在有噪聲情況下，隨著噪聲的加大用本文所述方法仍然能夠得出較滿意的模型修正誤差，即使當(dāng)信噪比低至5 dB時(shí)，各參數(shù)模型修正誤差仍然低于4%。由此證明了本文所提模型修正方法對(duì)于噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性。

表4 不同信噪比下修正結(jié)果Table 4 Updating results under different SNRs

4 結(jié) 論

1) 將小波分解引入頻響函數(shù)模型修正中，既保留了利用頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正無(wú)需進(jìn)行模態(tài)識(shí)別的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也避開了頻響函數(shù)中頻率點(diǎn)的選擇難題。

2) 在構(gòu)造Kriging模型時(shí)，用混合灰狼算法對(duì)Kriging模型相關(guān)系數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，使所構(gòu)造的Kriging模型具有良好的擬合精度和預(yù)測(cè)能力，能代替有限元模型進(jìn)行迭代計(jì)算，提高了模型修正效率。

3) 將加速度頻響函數(shù)進(jìn)行小波分解，用幅值較大的小波系數(shù)來(lái)表征頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正，修正效果較好。算例表明，在不同噪聲水平下，使用本文所提方法仍然可以得出較滿意的修正效果，即使當(dāng)信噪比低至5 dB時(shí)，各參數(shù)修正誤差仍然低于4%，證明了本文所提方法對(duì)于強(qiáng)噪聲的魯棒性。