田磊，趙啟倫，董希旺,4,*，李清東，任章,4

1. 北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100083 2. 北京航空航天大學(xué) 飛行器控制一體化技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083 3. 北京電子工程總體研究所，北京 100854 4. 北京航空航天大學(xué) 大數(shù)據(jù)科學(xué)與腦機(jī)智能高精尖創(chuàng)新中心，北京 100083

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，世界各軍事大國高度重視無人作戰(zhàn)系統(tǒng)精確協(xié)同配合能力。由無人機(jī)、無人車組成的空地異構(gòu)無人作戰(zhàn)系統(tǒng)， 由于兼具無人機(jī)響應(yīng)速度快、偵查范圍廣、通信能力強(qiáng)的特點(diǎn)以及無人車負(fù)載能力強(qiáng)、對地目標(biāo)偵查精度高的優(yōu)點(diǎn)，越來越受到各軍事強(qiáng)國的青睞。

協(xié)同控制技術(shù)是空地異構(gòu)無人作戰(zhàn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)與戰(zhàn)斗力有機(jī)融合的基礎(chǔ)，得到了廣泛的重視和研究，近年來涌現(xiàn)出了豐富的研究成果。而編隊(duì)控制作為協(xié)同控制的基礎(chǔ)性研究之一，也取得了長足的發(fā)展。相比于單一個體，集群系統(tǒng)通過個體間的相互協(xié)作，能夠以更小的代價完成難度、復(fù)雜度較高的任務(wù)，實(shí)現(xiàn)“1+1>2”的效果。例如，多個功能單一的衛(wèi)星可以通過協(xié)同構(gòu)成一個虛擬衛(wèi)星，來完成更加復(fù)雜的深空探測任務(wù)[1]，多架無人機(jī)保持編隊(duì)隊(duì)形可以有效減小空氣阻力，降低燃料消耗[2]。另外，編隊(duì)控制在協(xié)同圍捕，協(xié)同打擊，協(xié)同偵查方面也有重要的應(yīng)用[3]。相比于集中式的控制策略，分布式控制策略的可擴(kuò)展性和靈活性更高，計算效率更快[4]。一致性理論的發(fā)展為分布式編隊(duì)的控制方法提供了理論支撐[5]。文獻(xiàn)[6-8]給出了不同情況下基于局部鄰居通信的編隊(duì)控制協(xié)議。

在協(xié)同偵查、協(xié)同打擊等任務(wù)中，無人作戰(zhàn)系統(tǒng)在形成既定編隊(duì)的基礎(chǔ)上，還需要能夠識別復(fù)雜多變的戰(zhàn)場環(huán)境，快速穿越柵欄、防御工事等障礙物。因此，如何控制整個編隊(duì)移動也是十分值得關(guān)注的問題，即編隊(duì)跟蹤問題。文獻(xiàn)[9-11]分別采用滑?？刂啤Ⅳ敯艨刂啤⒆赃m應(yīng)控制等方法，研究了單一智能體小組在不同條件下的時變編隊(duì)跟蹤問題，具有較好的實(shí)踐應(yīng)用價值。需要指出的是，單一編隊(duì)能夠解決的問題相對有限，大多數(shù)情況下，需要將系統(tǒng)中的智能體分為多個小組，通過小組間的相互協(xié)作，完成不同的任務(wù)。例如，在無人機(jī)協(xié)同攻擊任務(wù)中，為提高突防能力與毀傷效能，需要先摧毀敵方的預(yù)警雷達(dá)、防空導(dǎo)彈發(fā)射陣地等防御系統(tǒng)，再摧毀指揮中樞等關(guān)鍵目標(biāo)。相同小組內(nèi)的無人機(jī)執(zhí)行同一個任務(wù)，而不同小組之間的無人機(jī)則借助組間無線通信技術(shù)，在智能任務(wù)目標(biāo)分配與自主決策規(guī)劃的基礎(chǔ)上，可采取不同的戰(zhàn)術(shù)隊(duì)形對各自的目標(biāo)發(fā)動進(jìn)攻。文獻(xiàn)[12-13]給出了能夠解決分組編隊(duì)控制問題的控制協(xié)議，但各個小組獨(dú)立性強(qiáng)，組間協(xié)同不明顯。分組編隊(duì)控制與編隊(duì)跟蹤控制結(jié)合所產(chǎn)生的分組編隊(duì)跟蹤問題目前仍是開放性問題，相關(guān)研究成果尚不多見。無人機(jī)協(xié)同探測、巡航、偵查等任務(wù)[14]都可以看作分組編隊(duì)跟蹤控制問題。

此外，已有研究成果大多以同構(gòu)智能體模型為前提，即每個智能體的動力學(xué)模型是相同的，考慮到無人機(jī)與無人車的動力學(xué)模型存在較大差異性，文獻(xiàn)[6-13]中的方法較難直接實(shí)現(xiàn)空地?zé)o人系統(tǒng)的協(xié)作配合，因此需要針對異構(gòu)多智能體系統(tǒng)模型進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[15-17]研究了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤控制問題，但是文獻(xiàn)中的領(lǐng)導(dǎo)者不存在控制輸入，即整個系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡不能得到有效控制。文獻(xiàn)[18-20]研究了領(lǐng)導(dǎo)者存在控制輸入情況下的一致性問題，但系統(tǒng)模型不是異構(gòu)的或系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系為無向連接，工程應(yīng)用性受到一定限制。

為應(yīng)對異構(gòu)無人系統(tǒng)在有向通信下協(xié)作與配合帶來的挑戰(zhàn)，本文研究了高階異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在有向拓?fù)錀l件下的分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制問題。本文的主要貢獻(xiàn)有：①采用全新的分組模型架構(gòu)，組間和組內(nèi)的協(xié)同作用明顯，并且采用有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，減小通信帶寬需求。②系統(tǒng)中的智能體均采用異構(gòu)體模型，設(shè)計的控制協(xié)議能夠解決異構(gòu)高階線性系統(tǒng)的分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制問題，同時給出了該控制協(xié)議有效性的相關(guān)證明。

1 預(yù)備知識和問題描述

1.1 圖論知識

拉普拉斯矩陣可以用來表征通信網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系。一個有q個節(jié)點(diǎn)的有向圖G可以表示為G=(?,)，其中?={ι1,ι2,…,ιq}表示節(jié)點(diǎn)的集合，?{(ιi,ιj):ιi,ιj∈?}表示邊的集合。用Ni來表示節(jié)點(diǎn)ιi鄰居的集合。圖G的鄰接矩陣可以表示為W=[wij]∈Rq×q，當(dāng)ιj∈Ni時，wij=1，否則wij=0。定義圖G的度矩陣為進(jìn)而拉普拉斯矩陣為L=D-W。如果圖G中某一個節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)都存在有向連接，則稱為圖G中包含一個以該節(jié)點(diǎn)為根的生成樹。

1.2 問題描述

本文中的系統(tǒng)模型設(shè)計為3層架構(gòu)，包含1個 虛擬領(lǐng)導(dǎo)者、M個分組領(lǐng)導(dǎo)者和N個跟隨者。所有智能體的模型可統(tǒng)一寫為

(1)

式中：i=1,2,…,1+M+N；xi(t)∈Rni、ui(t)∈Rmi和yi(t)∈Rp分別為所對應(yīng)智能體的狀態(tài)、控制輸入和輸出;Ai∈Rni×ni為系統(tǒng)矩陣;Bi∈Rni×mi為輸入矩陣;Ci∈Rp×ni為輸出矩陣。

注釋1在實(shí)際物理系統(tǒng)中，單個智能體的控制輸入一定是有界的，不會是無限值，因此假設(shè)1 是合理的。

假設(shè)2輸入矩陣Bi為列滿秩矩陣，即滿足rank(Bi)=mi，并且(Ai,Bi)可鎮(zhèn)定，(Ci,Ai)可檢測，其中i=1,2,…,1+M+N。

假設(shè)3有向圖G中包含一個以虛擬領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)生成樹，同時N個跟隨者被分成M個小組，每個小組有且只有一個分組領(lǐng)導(dǎo)者，虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和分組領(lǐng)導(dǎo)者之間是單向通信，虛擬領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間不存在直接通信，分組領(lǐng)導(dǎo)者與其他分組領(lǐng)導(dǎo)者和其所在小組的跟隨者通信，跟隨者只與其所在小組的分組領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者通信。

(2)

式中：LG,1、Lgro,1表征虛擬領(lǐng)導(dǎo)者與所有分組領(lǐng)導(dǎo)者之間的拓?fù)潢P(guān)系，相應(yīng)的LG,g、Lgro,g表征分組領(lǐng)導(dǎo)者g與其所在小組的所有跟隨者之間的拓?fù)潢P(guān)系。

注釋2系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣只有在假設(shè)跟隨者為順序標(biāo)號時才能寫成式(2)中的形式。需要指出的是，即便跟隨者是亂序標(biāo)號，但只要假設(shè)2 成立，通過簡單的行列變換即可得到形如式(2) 矩陣形式。為方便后續(xù)表達(dá)，系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣均采用式(2)的形式。

假設(shè)4對于分組領(lǐng)導(dǎo)者g=2,3,…,1+M，調(diào)節(jié)器方程:

(3)

存在矩陣對解(Eg,Fg)；對于跟隨者j=2+M,3+M,…,1+M+N，調(diào)節(jié)器方程:

(4)

存在矩陣對解(Ej,Fj)。

假設(shè)5對于分組領(lǐng)導(dǎo)者g=2,3,…,1+M，線性矩陣方程:

BgHg-EgB1=0

(5)

存在解Hg； 對于跟隨者j=2+M,…,1+M+N，線性矩陣方程:

(6)

存在解Hj。

定義1對于任意給定的有界初始狀態(tài)，如果式(7)關(guān)系成立，則稱多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制。

(7)

式中：hg(t)、hj(t)分別為分組領(lǐng)導(dǎo)者層和跟隨者層期望實(shí)現(xiàn)的輸出時變編隊(duì)。

2 控制協(xié)議的設(shè)計和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)將給出控制協(xié)議的設(shè)計方法，對分組領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分開進(jìn)行設(shè)計。

1) 對于分組領(lǐng)導(dǎo)者g=2,3,…,1+M，設(shè)計如下控制協(xié)議：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

βgHgfg(t)+vg(t)

(8e)

(8f)

(8g)

2) 對于跟隨者j=2+M,…,1+M+N，控制協(xié)議設(shè)計為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

(9e)

(9f)

βjHjfj(t)+vj(t)

(9g)

(9h)

(9i)

算法1對于智能體i∈{2,3,…,1+M+N}，控制協(xié)議(8)、(9)采用以下步驟確定部分參數(shù)值。

步驟3設(shè)計Ei、Fi和Hi使得矩陣方程(3)～(6)成立。

步驟5求下列Lyapunov方程的正定實(shí)對稱解陣Qi∈Rni×ni：

(10)

式中：Ini為ni×ni維單位陣。

算法2對于分組領(lǐng)導(dǎo)者g=2,3,…,1+M，求下列黎卡提方程的正定實(shí)對稱解陣P1∈Rn1×n1：

(11)

(12)

定理1如果假設(shè)4和假設(shè)5成立，分組領(lǐng)導(dǎo)者采用控制協(xié)議(8)，跟隨者采用控制協(xié)議(9)，且以下時變編隊(duì)可行性條件可以滿足:

(13)

式中：i=2,3,…,1+M+N，則異構(gòu)多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在有向拓?fù)錀l件下的分組時變編隊(duì)跟蹤控制。

證明：證明分為2個部分，首先證明觀測器(8a)和(9a)的收斂性，進(jìn)而證明在控制器(8e)和(9g)的作用下，異構(gòu)多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在有向拓?fù)錀l件下的分組時變編隊(duì)跟蹤控制。對分組領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分開進(jìn)行討論：

(14)

令

其中:1M表示元素全為1的M維列向量，進(jìn)而可將式(14)改寫為

(15)

(16)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

(17)

對Va,1(t)求導(dǎo)可得

(18)

由于βg>γ且以下關(guān)系式成立：

(19)

(20)

式中:g,k∈{2,3,…,1+M}，進(jìn)而推出

(21)

同理可以推出

(22)

由式(19)、 式(21)以及式(22)可得

(23)

根據(jù)引理2、算法1的步驟2和算法2可知

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

如果假設(shè)4和假設(shè)5成立，根據(jù)式(3)、式(5)和算法1中的步驟4,可將式(28)進(jìn)一步化簡為

(29)

考慮如下Lyapunov函數(shù):

(30)

式中:g=2,3,…,1+M。對Vg,1(t)求導(dǎo)可得

(31)

式中:

(32)

(33)

將式(32)、式(33)代入式(31)中并根據(jù)式(10)和式(30)可得

(34)

(35)

令

式(35)可改寫為

(36)

(37)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

(38)

(39)

由于βj>γ且以下關(guān)系式成立:

(40a)

(40b)

(41a)

(41b)

(42a)

(42b)

(43a)

(43b)

(44)

根據(jù)引理2、算法1和算法3可知

(45)

(46)

(47)

(48)

βjBjHjfj(t)

(49)

如果假設(shè)4和假設(shè)5成立，根據(jù)式(4)、式(6)和算法1中的步驟4可將式(49)進(jìn)一步化簡為

(50)

考慮下列Lyapunov函數(shù):

(51)

(52)

式中：

(53)

令

(54)

將式(53)和式(54)代入式(52)中,并根據(jù)式(51)可得

(55)

綜合上述2種情況并根據(jù)定義1可知，異構(gòu)多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在有向拓?fù)錀l件下的分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制。證畢。

3 數(shù)值仿真

為了更貼合工程實(shí)際背景，考慮由1個虛擬領(lǐng)導(dǎo)者、10架無人機(jī)、5輛無人車組成異構(gòu)多智能體系統(tǒng)完成空地協(xié)同搜索任務(wù)，其中2架無人機(jī)與1輛無人車為分組領(lǐng)導(dǎo)者，其余為跟隨者。根據(jù)文獻(xiàn)[22]可知，四旋翼無人機(jī)模型的系統(tǒng)矩陣可近似為同理根據(jù)文獻(xiàn)[23]可知，麥克納姆輪無人車模型的系統(tǒng)矩陣可近似為AR=0、BR=1、CR=1。虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的模型也采用文獻(xiàn)[22]中的無人機(jī)模型。

事實(shí)上，本文所研究的方法可以適用到任意可近似線性化的物理模型中。為了獲得更加直觀性的驗(yàn)證效果，仿真中考慮異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在三維慣性空間的運(yùn)動。虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的初始位置設(shè)定在(-4,0,0)，在OX軸、OY軸和OZ軸方向上的初始速度分別設(shè)定為0、-4和0。10架無人機(jī)和5輛無人車在OX軸和OY軸方向上的初始位置在(-5,5)中隨機(jī)選取，在OZ軸方向上的初始位置和各軸方向上的初始速度為0，即模擬無人機(jī)和無人車由靜止?fàn)顟B(tài)進(jìn)行空地協(xié)同搜索的過程。

圖1 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)模型架構(gòu)示意圖Fig.1 Model structure of heterogeneous multi-agent systems

圖2 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)潢P(guān)系Fig.2 Interaction topologies of heterogeneous multi-agent systems

根據(jù)算法1、算法2和算法3，得到以下參數(shù)值：

αi=10i=2,3,…,16

βi=10i=2,3,…,16

E2=[1, 0],Ei=1i=5,6,7,8

Ei=I2i=3,4,9,10,…,16

F2=[0, 1],Fi=0i=5,6,7,8

Fi=[0, 0]i=3,4,9,10,…,16

H2=0,Hi=1i=3,4,…,16

Si=-1i=2,5,6,7,8

Si=[-2,-1]Ti=3,4,9,10,…,16

P2=1

整個多智能體系統(tǒng)的搜索軌跡如圖3中虛點(diǎn)所示，圖中還包括虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，無人機(jī)和無人車在t=0, 8, 16 s時的位置信息，其中虛擬領(lǐng)導(dǎo)者用黑色星號表示，一組無人機(jī)用實(shí)心五角形表示，另一組無人機(jī)用實(shí)心六角形表示，無人車用實(shí)心圓來表示，區(qū)別是作為分組領(lǐng)導(dǎo)者的無人機(jī)和無人車用藍(lán)色表示，作為跟隨者的無人機(jī)和無人車用其他顏色表示。從圖3中可以看出，2個無人機(jī)分組維持定高搜索前進(jìn)，無人車分組沿地面搜索前進(jìn)，無人機(jī)分組與無人車分組之間形成空地協(xié)同搜索態(tài)勢。圖4給出了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在慣性空間各軸分量的分組編隊(duì)跟蹤誤差，定義為

圖3 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的搜索軌跡與各智能體部分時刻的位置信息Fig.3 Trajectory and position at certain time of heterogeneous multi-agent systems

圖4 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在慣性空間各分量的分組輸出時變編隊(duì)跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors of time-varying output group formation of heterogeneous multi-agent systems in inertial space

ei(t)

從圖4中可以看出，編隊(duì)跟蹤誤差在慣性空間OX、OY、OZ軸方向上的分量大約于6 s后全部收斂到0。因此仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所研究的方法能夠使異構(gòu)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制。

4 結(jié) 論

本文研究了高階異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在有向拓?fù)錀l件下的分組輸出時變編隊(duì)跟蹤控制問題。在集群系統(tǒng)中智能體的動力學(xué)模型完全不同的情況下，基于鄰居間的相對信息、觀測器理論和滑?？刂评碚?，分別設(shè)計了針對分組領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的控制協(xié)議。通過理論證明和仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，上述控制協(xié)議能夠使異構(gòu)集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)分組時變編隊(duì)跟蹤控制，因此本文給出的方法具有良好的理論價值和工程應(yīng)用價值。