李懷軍 楊新光 朱亞麗

[摘要]數(shù)學文化融入高考試題是提升和評價學生數(shù)學素養(yǎng)的重要抓手，拓寬高考試題中數(shù)學文化的內(nèi)容領域、類型。提升數(shù)學文化的運用水平是試題命制與教學改革的突破口。統(tǒng)計分析2019年高考數(shù)學新課標全國卷中的數(shù)學文化試題發(fā)現(xiàn)：數(shù)學文化各類型試題的數(shù)量極少，且內(nèi)容領域分布不均衡。以概率與統(tǒng)計領域最多;數(shù)學文化類型分布不均衡，偏重于數(shù)學與生活;數(shù)學史的運用居于中、低水平，其它數(shù)學文化類型以中、高水平為主。增加數(shù)學文化試題數(shù)量與兼顧內(nèi)容領域分布的均衡性。深挖概率與統(tǒng)計的文化價值，呈現(xiàn)更多樣化的文化類型。采用內(nèi)在而自然的運用水平應為未來數(shù)學文化命題與教學改革所關注。

[關鍵詞]新課標全國卷;數(shù)學文化;運用水平;類型;概率統(tǒng)計

基于數(shù)學文化的視角研究高考數(shù)學試題，是改進高中數(shù)學命題與教學，培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要抓手?！皵?shù)學除了知識技能及應用以外。更重要的是它本身就是一種文化。從文化的高度來建設數(shù)學課程，有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)”。數(shù)學文化所具有的提升學生數(shù)學素養(yǎng)的價值，已引發(fā)研究者對高考數(shù)學試題中的數(shù)學文化產(chǎn)生了廣泛的關注。突出表現(xiàn)在命題特征及對高中數(shù)學教學的啟示研究，成為高考數(shù)學文化試題研究的兩條主線，這必然會在新課程改革實施與新教材使用的元年——2019年的高考數(shù)學試題中有所體現(xiàn)。為此，圍繞高考數(shù)學“在什么地方滲透數(shù)學文化”“滲透了哪些數(shù)學文化”“又是如何滲透的”等問題，對作為改革風向標的高考數(shù)學新課標全國卷進行深入剖析，以期為我國數(shù)學課程改革，尤其是數(shù)學試題命制和教學資源的開發(fā)與利用提供借鑒。

1 分析框架

首先，以教育部頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）和《2019年全國卷高考數(shù)學考試大綱》（以下簡稱《考綱》）為指導，將高考數(shù)學內(nèi)容分為“集合與常用邏輯用語”“函數(shù)與導數(shù)”“幾何與代數(shù)”“算法與框圖”“概率與統(tǒng)計”五個內(nèi)容領域。其中，“函數(shù)與導數(shù)”內(nèi)容領域包含函數(shù)的概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)、函數(shù)應用、數(shù)列、一元函數(shù)導數(shù)及其應用：“幾何與代數(shù)”內(nèi)容領域包含平面解析幾何、立體幾何、平面向量及其應用、空間向量與復數(shù)：“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領域包含計數(shù)原理、概率、統(tǒng)計。

其次，基于已有研究，借鑒王建磐、唐恒鈞、史嘉等建立的研究框架。從數(shù)學文化的顯性角度對高考數(shù)學試題中數(shù)學文化的類型與運用水平進行統(tǒng)計分析。對于前者，將數(shù)學文化的類型分為如下六個子類：數(shù)學史、數(shù)學與生活、數(shù)學與科技、數(shù)學與人文社會、數(shù)學游戲、數(shù)學與藝術體育。對于后者，將數(shù)學史的運用水平由低到高劃分為點綴式、復制式、順應式、內(nèi)隱式和重構(gòu)式五個層級，又將數(shù)學史之外其它類型數(shù)學文化的運用水平確定為外在型、可分離型和不可分離型三個水平。

2 研究設計

2.1 研究對象

2019年高考數(shù)學新課標全國卷（簡稱全國卷）包含I、Ⅱ、Ⅲ卷，每卷又分文、理兩科，因而共包含6套試題，剔除每一套試題中未涉及數(shù)學文化的選考題型，只對前20題共計120道必考題進行統(tǒng)計。高考數(shù)學全國卷是教育部考試中心組織命制的適用于全國大部分省區(qū)的高考試卷，具有三個鮮明的命題特征：考查內(nèi)容彰顯新課程理念;根據(jù)新課程的特征，分必考題與選考題：命題以考綱為依據(jù)，以課本教材為依托。考察學生綜合能力。

2.2 數(shù)據(jù)收集與整理

數(shù)據(jù)的收集與整理按照如下操作標準實施：一道試題只對應一種數(shù)學文化類型。若試題中出現(xiàn)多種類型的數(shù)學文化時，只計該題所側(cè)重的類型。比如，全國I卷文、理科第4題不僅以古希臘的黃金分割為數(shù)學史料，還因論及“人體器官之間的比例”而關涉數(shù)學與生活。不過，該題由于側(cè)重于黃金分割，因而被視作“數(shù)學史”類試題。

2.3 一致性檢驗

兩名研究者分別按照數(shù)學史以及其它類型數(shù)學文化的運用水平及其說明，對全國卷文、理兩科共120道數(shù)學試題進行獨立評分由此得到兩組分數(shù)值的Pearson積差相關系數(shù)r=0.902（P<0.05）。對于不一致的地方，兩名研究者共同討論，最終達成一致認識。

3 研究結(jié)果與討論

根據(jù)所用分析框架，對2019年高考數(shù)學全國卷120道試題進行統(tǒng)計分析，得到試題中數(shù)學文化的內(nèi)容領域分布與運用水平狀況，如表1所示。由于試題不含“數(shù)學游戲”類文化，因此之后的結(jié)果不再呈現(xiàn)。

3.1數(shù)學文化的領域分布

由表l可知。2019年高考數(shù)學全國卷中的數(shù)學文化試題總數(shù)極少，僅有24道題，占全部120道試題的0.2%。其中，數(shù)量分布最多的是“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領域，為17道試題，占比0.1417%，平均每套試題包含近3道：其次是“幾何與代數(shù)”內(nèi)容領域。但試題總數(shù)僅為5道，占比0.0417%：再次是“函數(shù)與導數(shù)”和“集合與常用邏輯用語”內(nèi)容領域，均為1道試題，占比0.0083%：不含數(shù)學文化試題的是“算法與框圖”內(nèi)容領域。進一步分析各類數(shù)學文化在“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領域的數(shù)量分布如圖1所示。

可知，“數(shù)學與生活”類文化試題數(shù)量最多。為6道;其次是“數(shù)學與科技”類文化試題，數(shù)量為5道;再次是“數(shù)學與人文社會”和“數(shù)學與藝術體育”類文化試題，數(shù)量均為2道：最后是“數(shù)學史”類文化試題，僅有1道。

由此可知，2019年高考數(shù)學全國卷中的數(shù)學文化試題總量極少與“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領域包含的數(shù)學文化試題數(shù)量相對較多之間存在明顯的不一致，甚至是截然相反。究其原因，一方面是數(shù)學文化融入高考試題的呼聲甚高。但理論和實踐的研究并沒有同步跟進。另一方面，由于概率為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法，統(tǒng)計又可幫助學生進一步學習數(shù)據(jù)收集、整理和表示的方法，感悟在實際生活中進行科學決策的必要性和可能性。體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異。所以，“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容知識與數(shù)學文化，尤其是與“數(shù)學與生活”、“數(shù)學與科技”等文化類型之間存在的天生聯(lián)系，為數(shù)學文化融入高考試題提供了相對容易的切入點，加上其蘊含的統(tǒng)計思維與歸納推斷能力是21世紀公民必備的數(shù)學素養(yǎng)，因而成為基礎教育數(shù)學課程改革深化的一個重要領域。這自然會體現(xiàn)在以考查內(nèi)容彰顯新課程理念為典型特征的全國卷試題命制改革中。