周 洋，徐改姣，李大磊

(鄭州大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

齒輪由于其結(jié)構(gòu)簡單、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于工程機械中[1]。齒輪的傳動是通過與軸的配合實現(xiàn)的。其中，軸-齒輪過盈配合因其結(jié)構(gòu)簡單、承載能力大、對中性好、抗沖擊性強等優(yōu)點而被普遍用于傳動精度高、低振動的設(shè)備中[2-3]。國內(nèi)外學(xué)者針對過盈配合進行了大量的研究，目前針對軸-齒輪過盈配合的研究主要集中在結(jié)合面的應(yīng)力分布狀態(tài)的計算方法[4-9]、過盈量的確定[10-12]和過盈配合對軸、齒輪疲勞壽命及磨損的影響[13-15]等方面，所采用的方法大多為有限元法，研究的重點為軸-齒輪過盈配合接觸面處的變形和應(yīng)力。

然而，過盈裝配的實質(zhì)是在裝配結(jié)合面發(fā)生彈性變形，這種變形不僅可以影響到裝配結(jié)合面，還會影響到齒輪的齒形。過盈配合后齒形的變化會對齒輪副側(cè)隙、嚙合線、接觸應(yīng)力等產(chǎn)生影響，而以上參數(shù)的變化又會導(dǎo)致齒輪的傳遞特性和疲勞壽命發(fā)生改變。隨著齒輪傳動系統(tǒng)高速化的發(fā)展，齒形變化帶來的影響越來越明顯。因此,有必要建立軸-齒輪過盈裝配后齒形變化的精確計算模型。

綜上分析,筆者擬基于漸開線方程和彈性力學(xué)中的拉美公式，研究軸-齒輪過盈裝配的齒形變化規(guī)律，并通過MATLAB編寫了過盈配合裝配應(yīng)力應(yīng)變計算系統(tǒng)，準(zhǔn)確獲得齒形上任意位置的變形，為齒輪過盈裝配后齒形計算提供精確模型。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 齒輪與軸過盈裝配的應(yīng)力、位移理論計算

軸-齒輪過盈配合面可簡化為圖1，其中軸徑為2Ra,齒輪齒頂圓直徑為2Rt,過盈配合產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力為p。

圖1 軸-齒輪過盈簡化模型Figure 1 The theoretical model of peg-in-hole

齒輪應(yīng)力分量與位移為[11]：

(1)

式中：σr為徑向應(yīng)力;σθ為周向應(yīng)力。

(2)

同理可得軸任意位置處的徑向位移[11]：

(3)

式中：μ為材料的泊松比;E為彈性模量;R為接觸半徑到齒頂圓直徑之間的任意半徑。

1.2 軸-齒輪過盈量的確定

由于過盈量的存在，軸在過盈裝配后受到壓力從而在表面產(chǎn)生壓應(yīng)力，而此時齒輪與軸的配合孔會產(chǎn)生拉應(yīng)力，這會使軸與齒輪內(nèi)孔徑產(chǎn)生徑向位移，總的位移為[11]：

Δ=u1+u2，

(4)

式中：u1、u2分別為齒輪與軸的徑向變化量。

由式(2)、(3)可知在接合面處,齒輪、軸的徑向位移分別為：

(5)

(6)

軸-齒輪過盈裝配必須保證裝配接合面始終在彈性變形范圍內(nèi)。因此，裝配接合面處的接觸應(yīng)力必須小于材料的許用應(yīng)力，過盈配合接觸面的二維應(yīng)力狀態(tài)為[11]：

(7)

式中：τrθ=βp,β為摩擦系數(shù)。

將σr、σθ代入式(8),可得

(8)

式中：[σ]為材料的許用應(yīng)力。由式(1)、(2)、(7)、 (8)可得最大的接觸應(yīng)力為：

(9)

將式(5)、(6)和(9)代入式(4)，可得最大過盈量Δ為：

(10)

1.3 齒形變形量計算

軸-齒輪過盈裝配會導(dǎo)致齒形發(fā)生改變。若要求解齒形的變化量，首先要建立過盈裝配前齒形的計算模型。由于漸開線齒形具有易加工、承載能力大等優(yōu)點，因此本節(jié)選用漸開線齒形為研究對象。

圖2為漸開線示意圖，齒輪漸開線方程為：

圖2 單齒漸開線示意圖Figure 2 The diagram of involute schematic

(11)

式中：Rb為基圓半徑；θ為漸開線發(fā)生線在基圓上的滾動角。

過盈裝配后,x,y坐標(biāo)變化量為：

(12)

式中：u為齒輪徑向位移量。

(13)

則新的齒形坐標(biāo)可表示為：

(14)

2 有限元仿真分析

2.1 有限元模型的建立

為驗證理論解的準(zhǔn)確性,以漸開線斜齒輪為研究對象,開展軸-齒輪過盈配合的有限元分析。

圖3為斜齒輪與軸最大過盈量裝配時所建立的有限元模型,齒輪模數(shù)m=2，齒數(shù)z=30，壓力角α=20°,模型材料為45鋼，具體參數(shù)E=2.1×105MPa,μ=0.3，[σ]=300 MPa。

圖3 齒輪與軸過盈配合有限元模型Figure 3 The element model of interference fit

圖4為過盈配合區(qū)域齒輪配合表面應(yīng)力分布圖，應(yīng)力從接觸區(qū)域向四周擴散,接觸應(yīng)力值在66.24～88.639 MPa，中間位置應(yīng)力79.80 MPa，與理論公式推導(dǎo)出的pmax=77.094 MPa基本一致。

圖4 齒輪與軸過盈配合接觸應(yīng)力分布Figure 4 The distribution of contact stress

2.2 理論計算與仿真結(jié)果對比分析

將有限元仿真與理論推導(dǎo)結(jié)果進行對比，驗證理論公式。選取軸徑Ra=15 mm，模數(shù)m=2 mm，壓力角α=20°，齒數(shù)分別為z1=25，z2=30，z3=35，z4=45，z5=50斜齒輪，結(jié)果對比如圖5、圖6所示。

圖5 不同齒數(shù)接觸應(yīng)力對比圖Figure 5 The contact stress of different number of teeth

圖6 不同齒數(shù)齒頂圓的徑向位移Figure 6 The radical displacement under different number of teeth

軸-齒輪過盈裝配連接質(zhì)量取決于裝配接合面壓力p、摩擦系數(shù)β、過盈量Δ等參數(shù)。為達到最優(yōu)裝配質(zhì)量，有必要研究以上參數(shù)對接觸應(yīng)力和齒輪變形的影響。

2.3 摩擦系數(shù)對接觸應(yīng)力及徑向位移的影響

摩擦系數(shù)與軸和齒輪表面質(zhì)量和潤滑狀態(tài)相關(guān)，本文摩擦系數(shù)β選取范圍是0.1～0.2，根據(jù)式(9)、(2)、(4)可分別計算出不同β時接觸應(yīng)力、接觸面處徑向位移及過盈量,其變化趨勢如圖7～8所示。

圖7 摩擦系數(shù)對接觸應(yīng)力的影響Figure 7 The influence of friction coefficient on contact stress

由圖7、圖8可得：隨著摩擦系數(shù)的增加，裝配接合面處的接觸應(yīng)力和齒頂處的徑向位移逐漸減小。因此,過盈裝配時應(yīng)合理選取β的取值。

圖8 摩擦系數(shù)對徑向位移與過盈量的影響Figure 8 The influence of friction coefficient on radical displacement and interference

2.4 過盈量對接觸應(yīng)力及徑向位移的影響

過盈量對過盈裝配有重要的影響：過盈量過小，會造成齒輪傳動過程中出現(xiàn)打滑現(xiàn)象，無法傳遞力和扭矩；過盈量過大，會造成裝配困難，并導(dǎo)致齒輪和軸發(fā)生塑性變形。因此，本節(jié)討論過盈量對接觸應(yīng)力和齒形變形的影響。

本節(jié)中，斜齒輪齒數(shù)z=30，過盈量Δ范圍為9～13 μm。根據(jù)式(2)、(9)可分別計算出不同過盈量對接觸應(yīng)力和齒頂徑向位移，其變化趨勢如圖9所示。由圖9可得：在彈性范圍內(nèi)，隨著過盈量的增加，裝配接合面處的接觸應(yīng)力、徑向位移呈線性增大趨勢。

圖9 過盈量對接觸應(yīng)力、徑向位移的影響Figure 9 The influence of interference on contact stress and radial displacement

3 裝配前后齒形變化

由上述章節(jié)可知，過盈配合會導(dǎo)致齒形發(fā)生改變，而齒形的變化又會導(dǎo)致齒輪副側(cè)隙發(fā)生改變。齒輪側(cè)隙過大會導(dǎo)致齒輪在傳動過程中產(chǎn)生沖擊，過小則會加劇磨損，嚴(yán)重情況下會造成齒輪咬合卡死，造成齒輪箱損壞。因此，有必要對過盈裝配后齒形的變化進行研究。

本節(jié)中，軸徑為Ra=25 mm，模數(shù)m=4 mm，齒數(shù)壓力角α=20°，齒數(shù)z=20，齒輪和軸的材料均選用45號鋼。由式(10)和MATLAB編程可得裝配前后齒形變化如圖10所示。其中，I處放大圖如圖11所示。

圖10 裝配前后齒形變化對比圖Figure 10 The contrast of tooth shape before and after assembly

圖11 I處放大圖Figure 11 The enlarged figure of I

4 結(jié)論

基于彈塑性力學(xué)得到軸與齒輪過盈配合時接觸應(yīng)力、徑向位移的解析式,并利用有限元軟件驗證了解析式的正確性。得到變形后齒輪坐標(biāo)計算公式,為后續(xù)齒輪側(cè)隙的分析提供理論計算模型。具體的結(jié)論如下：

(1)基于漸開線方程建立齒輪裝配后齒形變化量的計算模型，研究過盈裝配對齒形的影響，為齒輪側(cè)隙的設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。

(2)計算了不同齒數(shù)下裝配接合面接觸應(yīng)力和徑向位移。隨著齒數(shù)的增加，接觸應(yīng)力逐漸變大，而徑向位移逐漸變小。

(3)研究了摩擦系數(shù)對裝配接合面接觸應(yīng)力和徑向位移的影響。隨著摩擦系數(shù)的增大，接觸應(yīng)力和徑向位移逐漸變小。

(4)討論了過盈量對裝配接合面處接觸應(yīng)力和徑向位移的影響規(guī)律。最大接觸應(yīng)力和齒形徑向位移隨著過盈量的增加呈線性增大趨勢。