李 亞, 單 斌, 徐軍輝, 甄占昌

(火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025)

隨著慣性技術(shù)的快速發(fā)展，以及慣性導(dǎo)航不依賴外部信息的獨(dú)特優(yōu)勢，捷聯(lián)式慣性測量組合在航空航天、戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈及民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。穩(wěn)定性是評價(jià)捷聯(lián)慣組性能狀態(tài)的重要作戰(zhàn)指標(biāo)，捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性是否合格決定了其能否被使用，但是受制造工藝、使用情況(通電時間、存儲時間、溫度、氣壓等)的影響，目前捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性較差。為了保證其使用性能，必須采用定期循環(huán)測試方案，且穩(wěn)定性評估的結(jié)果僅有“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”兩項(xiàng)，存在太過單一、無法量化的缺點(diǎn)，不能給使用單位選用捷聯(lián)慣組提供足夠的信息支撐，極大地影響了捷聯(lián)慣組的使用效率。

陳效真等[2]提出了一種利用大數(shù)據(jù)理論對慣組全壽命周期內(nèi)的海量測試數(shù)據(jù)進(jìn)行充分挖掘、分析與應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析平臺的基本框架，但該框架中僅是一個雛形，其中數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵技術(shù)還有待進(jìn)一步展開深入的研究。當(dāng)前，以慣組為主體進(jìn)行狀態(tài)評估的研究還比較少。但在旋轉(zhuǎn)機(jī)械、機(jī)電設(shè)備等領(lǐng)域，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的狀態(tài)評估已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。葛蒸蒸[3]等對彈上產(chǎn)品加速退化過程建模,然后利用方差-協(xié)方差矩陣研究了一種彈上產(chǎn)品的可靠性評估方法；陳建春等[4]利用時序主成分分析研究了捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性隨時間序列變化的狀況；鄧超等[5]等基于維納過程對某數(shù)控機(jī)床進(jìn)行性能退化建模，然后用逼近理想解法和馬氏距離實(shí)現(xiàn)了對該設(shè)備的健康狀態(tài)評估。

因子分析(factor analysis, FA)[6]是主成分分析(principal component analysis, PCA)[7]的拓展，它與主成分分析最大的不同在于降維得到的各因子具有可解釋性。利用同一批次，同一履歷的捷聯(lián)慣組在性能上相似的特點(diǎn)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的因子分析方法，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中的核化原理將其拓展為一種非線性特征提取方法——核因子分析(kernel factor analysis, KFA)，并基于核因子分析提取的特征進(jìn)行了因子綜合評價(jià)，實(shí)現(xiàn)了對捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性評估?；贙FA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法流程見圖1。

圖1 基于核因子分析的綜合評估方法Fig.1 Comprehensive evaluation method based on KFA

為了檢驗(yàn)該方法的正確性和實(shí)際效果，推導(dǎo)了KFA中因子得分和因子載荷矩陣的求解過程，證明了KFA的合理性；利用K最鄰近分類算法(K-nearest neighbor,KNN)[8]對基于KFA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估結(jié)果與其他評價(jià)方法進(jìn)行了對比，分析了其有效性和不足。

1 因子分析模型

因子分析的基本思想是通過分析多變量間的相關(guān)矩陣，找到支配變量間相關(guān)關(guān)系的少數(shù)幾個相關(guān)獨(dú)立的潛在因子，達(dá)到簡化觀測數(shù)據(jù)，用少數(shù)變量解釋研究復(fù)雜問題的目的[9]。因子分析的一般模型為

X=AF+ε

(1)

式(1)中：X=[X1,X2,…,Xm]T為標(biāo)準(zhǔn)化的觀測變量；AF稱為公共分量，表示各個觀測變量的共性信息；ε=[ε1,ε2,…,εn]為特殊因子分量，表示各個觀測變量不能被公共因子解釋的部分；F=[f1,f2,…,fr]T為公共因子向量；A=[aij]m×r為因子載荷矩陣，aij為變量Xi在公共因子fi上的載荷，它反映了公共因子fi對變量Xi的重要程度。

與主成分分析不需要假設(shè)條件不同，因子分析的一般模型基于以下假設(shè)[6]。

(1)E(F)=0,即各因子的均值為零，其中E表示均值。

(2)Cov(F)=E(FF′)=I，即各公共因子互不相關(guān)，其中Cov表示協(xié)方差。

(3)Cov(F,ε)=0，即各公共因子與特殊因子互不相關(guān)。

(4)E(ε)=0，即各特殊因子的均值為零。

2 核因子分析及穩(wěn)定性評估

通過核函數(shù)使線性數(shù)據(jù)處理拓展到非線性數(shù)據(jù)處理的方法已得到廣泛應(yīng)用，典型的運(yùn)用有核主成分分析、核獨(dú)立成分分析、Fisher核判別分析等[10]。

傳統(tǒng)因子模型的求解方法主要有極大似然估計(jì)法、主因子法和主成分法等，前兩者都是基于相關(guān)矩陣求解的，但核空間中的相關(guān)矩陣不易求解；而主成分法既可以通過相關(guān)矩陣求解，也可以通過協(xié)方差矩陣求解。因此先用核主成分分析求解出原始觀測變量在核空間中的主元，標(biāo)準(zhǔn)化后作為因子得分，再利用多元線性回歸求出近似因子載荷矩陣用于解釋各因子的意義，然后采用最大方差化方法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，求解旋轉(zhuǎn)后的因子得分再進(jìn)行綜合評價(jià)。

2.1 基于KPCA的因子得分求解

假設(shè)Xm×n為一個經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的有m個變量、n個樣本的“相關(guān)變量集”。將原輸入空間映射到一個高維的特征空間F中進(jìn)行因子分析。假設(shè)映射數(shù)據(jù)為零均值，則Xm×n經(jīng)過非線性映射在F空間數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(2)

式(2)中：Φ(·)為進(jìn)行非線性變換時使用的非線性映射函數(shù)。

假設(shè)協(xié)方差矩陣CF的特征值為λ，對應(yīng)的特征向量為V，可得:

λV=CFV

(3)

將式(3)兩邊乘以Φ(xk)，式(3)可等價(jià)為

λ〈Φ(xk),V〉=〈Φ(xk),CFV〉,k=1,2,…,n

(4)

根據(jù)核再生理論，存在系數(shù)αi,使得CF的特征向量V可由Φ(xi)線性表示：

(5)

由式(3)、式(4)可得：

(6)

定義核陣K，令Kij=〈Φ(xi),Φ(xj)〉，則式(6)可以等價(jià)為

λnα=Kα,α=[α1,…，αn]T

(7)

令〈Vk,Vk〉=1，則

〈αk,λknαk〉=1

(8)

則樣本的第k個主元為

(9)

由于在實(shí)際應(yīng)用中映射數(shù)據(jù)為零均值的條件不是永遠(yuǎn)成立的，所以需要做如下式的中心化處理：

(10)

式(10)中：(1n)ij=1/n,(i,j=1,2,…,n)。

(11)

(12)

2.2 基于多元線性回歸的因子載荷求解

所求fk為因子得分，由于映射數(shù)據(jù)的維數(shù)與大小是未知的，故F空間中的因子載荷矩陣A不可解。對這一非線性關(guān)系線性化，基于多元線性回歸求解近似因子載荷矩陣。其關(guān)系式表達(dá)為

Xi=ui+(ai1,ai2,…,air)(f1,f2,…,fr)T+Δ

(13)

式(13)中:Xi為標(biāo)準(zhǔn)化的第i個觀測變量；ui為截距；(ai1,ai2,…,air)為線性近似因子載荷矩陣的第i行；(f1,f2,…,fr)T表示樣本在一定貢獻(xiàn)率下各因子對應(yīng)的因子得分；Δ表示殘差。

主成分法確定的因子載荷不完全符合因子模型的假設(shè)前提，但當(dāng)共同度較大時，特殊因子所起的較小，特殊因子之間的相關(guān)性所帶來的影響幾乎可以忽略[6]。當(dāng)ui和ε很小時，忽略其對整體的影響，可以認(rèn)為所提出的核因子分析滿足因子分析模型的假設(shè)(3)～假設(shè)(5)。

多元線性回歸本質(zhì)上是利用最小二乘法使得殘差最小，殘差越小，擬合效果越好。所提出的近似因子載荷矩陣的擬合效果可以用模型的貢獻(xiàn)率G表示，如式(14)所示：

(14)

式(14)中：p為觀測變量的維數(shù)；r為因子數(shù)目;aij為近似因子載荷矩陣的元素。貢獻(xiàn)率G越大時，殘差越小，說明近似因子載荷矩陣解釋的信息越多。

2.3 因子綜合評價(jià)

因子綜合評價(jià)是指以各因子的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)，由各因子的線性組合得到綜合評價(jià)函數(shù)對樣本進(jìn)行評價(jià)的方法，表達(dá)式為

W=w1|f1|+w2|f2|+…+wr|fr|

(15)

式(15)中：wi為第i個因子的貢獻(xiàn)率，fi為第i個因子的因子得分；W為綜合評價(jià)結(jié)果。

fi實(shí)際上是各觀測變量降維后的結(jié)果，它的絕對值大小反映了穩(wěn)定性的大小，同時考慮到各個因子的貢獻(xiàn)率之和不為1，不利于比較，取穩(wěn)定性評價(jià)函數(shù)W為

(16)

3 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自同一批次，同一履歷的16套捷聯(lián)慣組，剔除嚴(yán)重超差的測試數(shù)據(jù)之后，共有116組用于穩(wěn)定性判斷的數(shù)據(jù)，其中穩(wěn)定的有84組，不穩(wěn)定的有32組?？紤]到不同誤差系數(shù)的穩(wěn)定性會隨儲存時間的變化而變化，故每組用于穩(wěn)定性評估的數(shù)據(jù)為兩次測試間的時間差和各誤差系數(shù)(共33個)之差。使用的核函數(shù)為高斯徑向基(RBF)核函數(shù)[11]:

K(x,y)=exp(-‖x-y‖2/σ2)

(17)

3.1 核參數(shù)的選擇

高斯核函數(shù)只有一個可調(diào)參數(shù)σ，圖2為提取核空間內(nèi)原始數(shù)據(jù)最低貢獻(xiàn)率85%時因子數(shù)目隨σ的變化情況，它表明核因子分析的降維效果在特定樣本總體下是有限的。

圖2 最低貢獻(xiàn)率為85%時的因子數(shù)目Fig.2 Number of factors with a minimum contribution rate of 85%

構(gòu)建函數(shù)F(σ)=(sσ1+sσ2)/sb，sσ1、sσ2分別為穩(wěn)定數(shù)據(jù)、不穩(wěn)定數(shù)據(jù)核映射后的類內(nèi)離散度，sb為兩類數(shù)據(jù)核映射后的類間距離平方和，F(xiàn)(σ)可以用來表示一定核參數(shù)兩類數(shù)據(jù)非線性可分程度。大量實(shí)驗(yàn)研究表明，在解決完全非線性可分的問題時存在著極小值點(diǎn)[12]。圖3為F(σ)隨著σ的變化，當(dāng)σ取9.45時，F(xiàn)(σ)取得最小值，穩(wěn)定數(shù)據(jù)與不穩(wěn)定數(shù)據(jù)在核空間里最大程度非線性可分，但由于σ取較小值時降維后的因子數(shù)目較多，不利于解釋各個因子的意義。選擇因子數(shù)目為16，此時F(σ)最小時對應(yīng)的σ為38.87。

圖3 F(σ)變化曲線Fig.3 Change curve of F(σ)

3.2 因子解釋

表1為部分的旋轉(zhuǎn)成分矩陣。由表1可知，所提出的KFA方法降維后的各因子在方差最大化旋轉(zhuǎn)后，具有較好的可解釋性。

表1 旋轉(zhuǎn)成分矩陣Table 1 Rotation component matrix

3.3 穩(wěn)定性評價(jià)及結(jié)果分析

圖4為所有樣本的穩(wěn)定性評價(jià)結(jié)果，其中前84個為穩(wěn)定樣本，后32個為不穩(wěn)定樣本。從圖4可以看出，評分較低的主要是不穩(wěn)定樣本，但也存在一些不穩(wěn)定樣本的評分較高。

圖4 KFA綜合評價(jià)結(jié)果Fig.4 Result of KFA comprehensive evaluation

3.4 穩(wěn)定性評估效果評價(jià)

為了對比提出的基于核因子分析的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法，將核因子分析與因子分析、熵值法兩種方法進(jìn)行了比較。采用KNN[13]這一經(jīng)典分類算法分析不同的評估方法對于穩(wěn)定樣本和非穩(wěn)定樣本的的區(qū)分能力。為了取得相對穩(wěn)定的結(jié)果，取100次十折交叉驗(yàn)證的平均正確率為指標(biāo)；針對兩類樣本數(shù)目嚴(yán)重不均衡的問題，對算法中的投票原則[14]進(jìn)行了調(diào)整使得其與兩類樣本的數(shù)目之比一致；KNN使用的距離量度為歐氏距離。

3.4.1 熵值法

熵值法[15]是一種絕對客觀的賦權(quán)方法，它的評價(jià)過程完全依賴于客觀的數(shù)據(jù)規(guī)律，從而很大程度上避免了人為因素的影響。

在熵值法中進(jìn)行異質(zhì)指標(biāo)同質(zhì)化時，采用負(fù)向指標(biāo)進(jìn)行歸一化，即各誤差系數(shù)的變化值越小，穩(wěn)定性越好。

在熵值法中，第i個指標(biāo)的權(quán)重為

(19)

式(19)中：di、Hi分別為第i個指標(biāo)的偏離度和熵值。

3.4.2 結(jié)果分析

圖5為原始數(shù)據(jù)-熵值法評估方法、因子分析評估方法(16個因子、貢獻(xiàn)率為86.92%)、KFA評估方法(σ取38.87，16個因子，貢獻(xiàn)率G為86.08%)的分類正確率比較圖。在圖5中，K大于30時3種方法的平均正確率都趨于穩(wěn)定，并且在K大于60時平均正確率幾乎一致；當(dāng)K為30～60時，熵值法的評估效果要較好于KFA法和因子分析法，這是由于熵值法使用了原始數(shù)據(jù)，而其他兩種方法在降維后失去了部分原始信息；KFA法和因子分析法的評估效果近乎一致，且都與熵值法的評估效果差別較小，這說明提出的基于KFA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法是合理的。

圖5 KNN分類結(jié)果Fig.5 Result of KNN classification

當(dāng)K接近于交叉驗(yàn)證的訓(xùn)練樣本數(shù)時，3種方法的分類正確率都逐漸穩(wěn)定在77%左右。這是由于這3種方法都是只利用數(shù)據(jù)客觀規(guī)律的方法，即穩(wěn)定性評估效果最好的樣本是樣本總體里各觀測變量變化最小的一個，但這并不能嚴(yán)格地與穩(wěn)定性指標(biāo)各個閾值的評價(jià)結(jié)果完全一致。

相對于熵值法不能用于降維的缺點(diǎn)和因子分析只能提取線性特征的不足，提出的KFA法具有能較好地提取原始變量的非線性特征并解釋其含義的優(yōu)點(diǎn)，比較適用于非線性關(guān)系較強(qiáng)的數(shù)據(jù)集。

4 結(jié)論

對捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性進(jìn)行評估能更好地幫助使用單位了解捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定狀態(tài)，從而提高使用的效率。提出的基于核因子分析(KFA)的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法，從理論上證明了該方法能夠滿足因子分析的5個假設(shè)條件，并將其與熵值法和傳統(tǒng)的因子綜合評價(jià)方法進(jìn)行了比較，證明了其有效性。

KFA方法的不足在于不能較好地與穩(wěn)定性指標(biāo)結(jié)合起來，將穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種狀態(tài)的捷聯(lián)慣組完全區(qū)分開，實(shí)際上這也是熵值法等客觀評價(jià)方法的共同存在的不足。下一步，可以將KFA法與其他主觀評價(jià)方法結(jié)合起來，以取得更好的穩(wěn)定性評估結(jié)果。