李含進(jìn) 錢朝暉

(江蘇省錫山高級中學(xué)，214174)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng). 主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹. 在教學(xué)中,要有意識地重視從特殊到一般的推理能力的培養(yǎng),這是邏輯推理的重要組成部分之一,也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地”觀察事物,對問題“數(shù)學(xué)地”思考,從而用數(shù)學(xué)獨(dú)特的邏輯思維模式解決問題,這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的價(jià)值所在.

本文結(jié)合2019年江蘇、浙江高考最后一題談一談從特殊到一般的推理.尤其是先論證再構(gòu)造與先構(gòu)造再論證推理能力等在解決問題中的應(yīng)用.

一、先論證再構(gòu)造

例1(2019年江蘇高考題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;

(i) 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(ii) 設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

分析與解第(1)問,由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可證得題中的結(jié)論;第(2)問,(i) 由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式,這里不再贅述.本題最體現(xiàn)邏輯思維考查的是第(ii)問.

令f′(x)=0,得x=e，列表，f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

因此，所求m的最大值不小于5.

若m≥6,分別取m=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216.

所以q不存在故所求m的最大值小于6.

綜上,所求m的最大值為5.

在上述解答中,構(gòu)造函數(shù)略顯突兀，不太符合學(xué)生的思維習(xí)慣.若采用先通過估算,求出公比q的取值范圍,再構(gòu)造出滿足題意的數(shù)列即可.思考過程如下:由(i)知,bk=k,k∈N*.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M—數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.

特殊地當(dāng)k=1時(shí),有q≥1,于是當(dāng)q=1時(shí),只有k=1滿足題意,此時(shí)m的最大值為1,可猜想q>1時(shí),可能還有更大的m滿足題意.

而當(dāng)q>1時(shí),隨著k的逐漸增大,qk以指數(shù)函數(shù)增長,增長的幅度更快,故而預(yù)判滿足qk-1≤k≤qk的k不會很大,否則應(yīng)該能從中找到矛盾. 分別取k=1,2,3,…得到1≤q1≤2≤q2≤3≤q3≤4≤q4≤5≤q5≤6≤q6≤7≤…

(*)

觀察(*)式,容易發(fā)現(xiàn),2≤q2與q6≤7是矛盾的,那就說明k≤6,再思考k=5是否成立呢?不難發(fā)現(xiàn)3≤q3與q5≤6也是矛盾的,故而k≤5.

本題先論證再構(gòu)造的數(shù)學(xué)解題思維模式,很好地體現(xiàn)了對學(xué)生思維方式、思維模式和思維深度的考查,是一道不可多得的具有較強(qiáng)選拔功能的試題.

二、先構(gòu)造再論證

注e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).

從本題的思維展開過程中,我們不難看到,解決問題的突破口在于通過特殊值求解滿足題設(shè)的必要條件,進(jìn)而證明必要條件即為充分條件,這是本題的題眼.這同樣需要學(xué)生具備非常深厚的邏輯思維能力,轉(zhuǎn)化化歸以及構(gòu)造函數(shù)的變形能力.本題和江蘇高考最后一題有異曲同工之妙.

三、感悟與思考

(1)新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課本質(zhì)相同,都是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在平時(shí)的課堂教學(xué)中,我們要有意識地滲透預(yù)判、估算、結(jié)構(gòu)變形、特殊化，逐步培養(yǎng)和必要性、充分性、邏輯論證等相關(guān)的數(shù)學(xué)邏輯思維.邏輯思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的,需要教師的示范、引領(lǐng)和參與,逐步突破思維的難點(diǎn).

(2)對數(shù)學(xué)教學(xué)中的最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯思維的部分章節(jié),如函數(shù)、數(shù)列、不等式以及數(shù)學(xué)歸納法等,要善于挖掘培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的素材,根據(jù)一些經(jīng)典的邏輯思維方式展開數(shù)學(xué)問題.通過必要的拓展,讓數(shù)學(xué)知識在高考范圍的外延處進(jìn)行有效地延伸.

在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中,教材的要求是只講授到第一數(shù)學(xué)歸納法,但是從知識體系的完備性角度和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整性角度看,我們教學(xué)中需要滲透第二數(shù)學(xué)歸納法以及數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題.如江蘇2010年高考理科加試第23題:“已知?ABC的三邊長都是有理數(shù),求證:對任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)”.本題可以用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題“對任意正整數(shù)n,cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)”.也可用第二數(shù)學(xué)歸納法證明,即假設(shè)n≤k(k∈N*)時(shí),cosnA是有理數(shù),則coskA,cos(k-1)A都是有理數(shù),也可以很方便地證明結(jié)論.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要善于挖掘知識的外延,善于引領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成較強(qiáng)的邏輯思維能力,并建立強(qiáng)大的邏輯思維體系.這樣，當(dāng)學(xué)生遇到較復(fù)雜的體現(xiàn)邏輯思維考查的問題時(shí),可以多一些思考的方向,多一些解決問題的手段和方法.

(3)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng),旨在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題、解決問題的能力.數(shù)學(xué)教育教學(xué)的核心價(jià)值,旨在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式和方法解決問題的習(xí)慣和素養(yǎng),這也是數(shù)學(xué)教師最應(yīng)關(guān)注的數(shù)學(xué)教育價(jià)值.