姚加林，皮珊

基于ARIMA模型的高鐵浮動票價與票額分配優(yōu)化方法

姚加林，皮珊

(中南大學(xué) 交通運輸學(xué)院，湖南 長沙 410075)

針對我國鐵路單一的票價體系和確定性票額分配方式問題，探索高鐵列車票價與票額的綜合優(yōu)化方法；依據(jù)時間序列分析原理，考慮客流的隨機性，構(gòu)建ARIMA客流預(yù)測表達式，將該表達式嵌入Log-Linear需求與價格的函數(shù)關(guān)系式中，結(jié)合票價制定規(guī)則、列車定員等約束，構(gòu)建以鐵路運輸收益最大為目標的高鐵列車浮動票價與票額分配綜合優(yōu)化模型；以G13列車為例進行計算分析，算例結(jié)果表明該模型能提高鐵路運輸收益，為高鐵票價與票額的綜合優(yōu)化提供一定參考依據(jù)。

ARIMA模型；客流量預(yù)測；Log-Linear需求函數(shù)；浮動票價

目前，鐵路運輸主要采用單一的票價體系，即以一定的客票票價率，采取遞遠遞減的形式確定。而鐵路客票分配則是基于確定性的票額分配方式，一般按照擔(dān)當(dāng)局長途旅客優(yōu)先的原則進行初期分 配[1]。單一的票價體系與確定性的票額分配方式缺乏整體協(xié)同性，既不能對市場做出有效的判斷，也不能很好地提高鐵路運輸收益。因此鐵路運輸票價與票額的綜合優(yōu)化問題也成為鐵路運營管理領(lǐng)域的熱點研究問題之一[2]。國內(nèi)外專家學(xué)者對票價、票額問題做了大量研究，劉帆洨等[3]通過對同一時期不同區(qū)間的旅客購票需求強度進行研究，提出了非線性回歸支持向量機的預(yù)測模型，以天為單位對區(qū)間內(nèi)旅客購票需求進行預(yù)測。Ciancimino等[4]研究了票額為確定型需求下的線性票額分配模型。William[5-6]等研究了基于乘客行為的席位控制策略，并與基于客流預(yù)測的控制策略進行對比，分析2種策略的優(yōu)缺點。Ongprasert[7]從運輸效益出發(fā)，考慮列車上座率以及旅客公平性，構(gòu)建鐵路運輸效益模型。趙翔等[8]研究了不同列車多種停站方案的票額分配問題。張旭等[9]研究了民航競爭影響下高速鐵路多等級定價動態(tài)差別定價模型。胡萬欣等[10]通過分析高速鐵路與民航運輸之間的博弈關(guān)系，構(gòu)建了一個以社會福利最大為上層目標，高鐵、民航企業(yè)效益為下層目標的雙層規(guī)劃模型。但是這些研究都是獨立進行，沒有將票價與票額結(jié)合起來，缺乏整體協(xié)同性。因此，學(xué)者們開始考慮研究票額與票價的綜合優(yōu)化問題。YOU[11]在客流預(yù)測的基礎(chǔ)上研究多級票價的制定問題。趙翔等[11]研究了高速列車折扣票價與票額分配組合優(yōu)化模型。宋文波等[13]基于收益管理理論，結(jié)合高鐵運輸組織的特點，研究了高速鐵路單列車動態(tài)定價與票額分配綜合優(yōu)化模型。上述票價與票額的綜合優(yōu)化研究成果中，對于客流的需求多假設(shè)服從正太分布或者泊松分布，對客流需求的隨機性考慮不足。此外，上述研究成果大多采用效用函數(shù)來表示客流量與票價之間的關(guān)系，而該函數(shù)靈敏度難以估計，且參數(shù)的選擇與確定需要大量樣本。為此，本文運用時間序列分析法，將客流量分類為具有規(guī)律性和季節(jié)性的客流量(確定項)和隨機客流量(隨機項)，采用ARIMA模型擬合得到客流預(yù)測表達式，引入Log-Linear指數(shù)需求函數(shù)來表達票價與票額之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合票價制定、列車定員要求等各類約束，構(gòu)建基于ARIMA模型的高鐵列車浮動票價與票額分配的綜合優(yōu)化模型，并以京滬高鐵G13次列車為例進行計算分析。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

高速鐵路運輸是一個具有多OD，多區(qū)段的復(fù)雜運輸網(wǎng)絡(luò)，本文重點研究單列車的浮動票價與票額分配問題。圖1表示某列車的運行徑路，從始發(fā)站a出發(fā)，經(jīng)過中間?？空綽和c，到達終點站d。高鐵列車浮動票價與票額分配就是依據(jù)各OD旅客在不同票價下對于運輸?shù)男枨螅浞掷昧熊囅荒芰M行各OD票額分配，最終使鐵路運輸收益達到最大的目的。

圖1 列車運行徑路

1.2 需求函數(shù)參數(shù)和預(yù)測表達式的確定

在經(jīng)濟學(xué)中，一種商品的需求是指消費者在一定時期內(nèi)在各種可能價格水平下，愿意而且能夠購買的該商品數(shù)量。而需求函數(shù)則表示一種商品的需求數(shù)量和影響該需求數(shù)量的各種因素之間的相互關(guān)系，是一個多元函數(shù)[14]。本文中所涉及的票額即為需求，票價即為價格。

常用表示價格與需求的函數(shù)有線性需求函數(shù)、指數(shù)需求函數(shù)和logit需求函數(shù)。而指數(shù)函數(shù)中的Log-Linear函數(shù)的需求值恒為正數(shù)，因此無需考慮需求的取值而對票價范圍進行額外的約束?；诖丝紤]，本文采用Log-Linear需求函數(shù)來描述需求與價格之間的關(guān)系，Log-Linear需求函數(shù)的一般表達式為：

其中：表示需求密度；表示價格彈性，反映一定時期內(nèi)當(dāng)一種商品的價格變化1%時所應(yīng)引起的該商品需求量變化的百分比。p表示實際票價，通過12306鐵路官方售票軟件查詢可知，表示高鐵定價。

考慮到本文研究的是單位時間(1 d)內(nèi)票額需求量與高鐵票價之間的函數(shù)關(guān)系，因此將該表達式中需求密度用需求期望值(x)代替計算，而需求期望值(x)則采用ARIMA模型預(yù)測得出，改造后的需求函數(shù)表達式為：

1.3 浮動票價與票額分配綜合優(yōu)化模型

其中：x表示列車在區(qū)間()的票額分配數(shù)；p表示列車在()區(qū)間的定價；A表示區(qū)間OD占用情況，為0-1變量，列車占用區(qū)間()取值為1，否則為0；C表示列車在區(qū)間()的能力約束，即列車定員數(shù)；而p表示OD各區(qū)段票價之和；p表示OD任意一區(qū)段票價。式(4)表示列車定員約束；式(5)表示票價和票額的函數(shù)關(guān)系，(X)為區(qū)間()用ARIMA客流量預(yù)測得出的票額期望值，p表示某區(qū)間實際票價，表示OD間票價的價格彈性系數(shù)；式(6)表示票額的整數(shù)約束；式(7)表示票價的浮動范圍；式(8)表示組成該OD的各分區(qū)段運價之和大于該OD的票價，式(9)表示該OD票價要大于組成此OD的票價之和減去任一區(qū)段票價，2式一起表示票價制定中遞遠遞減的規(guī)則。

2 ARIMA模型求解

在進行ARIMA模型擬合前，首先需對原始序列進行分析，判斷序列是否規(guī)律性變化以及是否為長期增長趨勢。其次，依據(jù)時間序列分析原理可知，序列的前后數(shù)據(jù)之間存在時間上的相依性，因此在進行模型擬合時應(yīng)當(dāng)選取同一趨勢的相連數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)時間序列模型是將隨機項納入預(yù)測誤差范圍，由于預(yù)測誤差范圍波動較大，本文將隨機客流納入ARIMA預(yù)測模型中。

差分自回歸移動平均模型(ARIMA模型)是將非平穩(wěn)的時間序列進行差分平穩(wěn)化后，結(jié)合模型確定規(guī)則，構(gòu)建合適的時間序列模型并進行預(yù)測分析的方法，一般記作：ARIMA(,,)，其中為自回歸項，為差分項，為移動平均項。

以G13次列車2015年客票銷售數(shù)據(jù)為例進行分析，確定預(yù)測表達式，具體方法步驟如下：

Step 1：分析原始序列是否具有的季節(jié)變化規(guī)律及長期增長趨勢，若沒有，則不適合使用時間序列分析法。

首先對各OD進行客流分析，由圖2可知，G13次列車運輸旺季在寒暑假2個時期，運輸?shù)驹?月和9月，存在季節(jié)性規(guī)律且客流量總體呈增長的趨勢。

Step 2：檢驗原始序列的平穩(wěn)性。若原始序列不平穩(wěn)，則需要進行差分處理，并再次進行平穩(wěn)性檢驗，直至序列平穩(wěn)。

對G13次高鐵2015年票額銷售的分析可知，該序列波動較大(圖3所示)，需要做差分處理，使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化，該序列經(jīng)過一階差分處理后為平穩(wěn)時間序列(圖4)，此時該序列值為1。

圖2 G13次列車2015年各月客流量

圖3 客票銷售原序列

圖4 一階差分序列

Step 3：模型識別與參數(shù)估計。利用SPSS軟件進行擬合，通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，分析ACF和PACF截尾或拖尾的情況：若序列的PACF是截尾，而ACF是拖尾，則序列選取AR模型；若PACF是拖尾，而ACF是截尾，則序列選取MA模型；若PACF和ACF均是拖尾，則序列選取ARMA模型。再結(jié)合選取BIC最小系數(shù)原則，最終確定和值。

截取G13次列車北京南?上海虹橋區(qū)段2015年6~8月數(shù)據(jù)，利用SPSS軟件進行進一步擬合，預(yù)測。最終得到的自相關(guān)函數(shù)(圖5)和偏自相關(guān)函數(shù)(圖6)，差分后的序列ACF呈一步截尾，PACF呈一步截尾。最終擬合結(jié)果顯示為ARIMA(0,1,1)的BIC系數(shù)最小為7.978，移動平均系數(shù)為0.193，常數(shù)項為6.169。因此可知確定項的表達式為：

圖6 偏自相關(guān)函數(shù)圖

Step 4：假設(shè)檢驗。判斷殘差的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，若為白噪聲序列，則模型通過檢驗，同時，對殘差分布進行擬合，確定其分布函數(shù)的各項參數(shù)。G13列車殘差擬合分布為圖7所示。

圖7 殘差自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖

最終擬合的隨機項符合均值為?0.25，標準差為1.604的正態(tài)分布。因此隨機項的表達式為：

Step 5：預(yù)測分析。確定客流預(yù)測的基本表達式(同式(3))。

綜上可知，G13次列車北京南?上海虹橋區(qū)段的客流量預(yù)測模型為：

關(guān)于利用SPSS統(tǒng)計分析軟件對ARIMA模型擬合的詳細過程參見文獻[15?16]。

3 案例分析

以京滬線上2015年北京南至上海的G13次列車為例計算，該列車的運行線路上有4個客運站，分別為北京南、濟南西、南京南和上海虹橋。G13次列車2等座定員871人。列車票價以2等座票價為基礎(chǔ)，上浮動值為5%，下調(diào)10%，四舍五入取值，如表1所示。

G13次列車各OD間客流量預(yù)測表達式依照第2節(jié)中所介紹的預(yù)測方法同理得出，同時，基于該表達式計算出8月1日各OD間預(yù)測客流量，如表2所示。

表1 G13次列車票價及票價調(diào)整范圍

表2 G13次列車客流量預(yù)測表達式

各OD間需求彈性系數(shù)參考文獻[17]取值，如表3所示。

運用Lingo軟件進行編程求解，得到票額分配和最終定價結(jié)果?？偸找鏋?94 297元。從表4可以看出，G13次列車總收益對比沒進行浮動票價措施的情況增長了3.79%；客座率在優(yōu)化后達到98.06%，列車運能得到充分利用；北京南?南京南和南京南?上海虹橋區(qū)段的客票分配較少，客流滿足率低，一方面是因為本文的目標函數(shù)是各區(qū)段收益總和最大，而北京南?濟南、濟南西?南京南2個區(qū)段的收益(169+293=462元)大于北京南?南京南的收益(400元)。另一方面，票額分配滿足長途優(yōu)先原則，且南京南?上海虹橋的需求的價格彈性較小，因此在分配方式上優(yōu)先考慮了彈性較大的長途區(qū)段，將票額分配給了北京南?上海虹橋和北京南?濟南西2個區(qū)間，最終得到表4的分配方案。

表 3 需求彈性系數(shù)

表 4 最終優(yōu)化方案

4 結(jié)論

1) 結(jié)合時間序列理論與Log-Linear需求函數(shù)，考慮客流量的隨機性，構(gòu)建一個高鐵列車浮動票價與票額分配綜合優(yōu)化模型；將客流分類為確定性客流和隨機性客流，建立ARIMA預(yù)測表達式，引入Log-Linear需求函數(shù)，結(jié)合票價制定、票價浮動范圍、列車定員等各約束，運用lingo軟件計算出鐵路運輸收益最大的票價和票額分配方案。

2) 以列車G13為例，用本文的方法進行計算分析，優(yōu)化后客座率達98.06%，運輸收益提高了3.79%。本文研究對象主要為單列車，今后在不斷的運輸實踐過程中將進一步研究多列車以及全路的綜合優(yōu)化模型。

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The optimization method of floating ticket price and ticket allocation of high-speed railway based on ARIMA model

YAO Jialin, PI Shan

(School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

This paper aims to explore the comprehensive optimization method of high-speed railway fare and ticket amount for the single fare system of China’s railway and deterministic ticket amount allocation in China. Based on the principle of time series analysis, this paper considered the randomness of passenger flow, constructs the ARIMA passenger flow prediction expression which embed in the Log-Linear demand and price function. And a comprehensive optimization model for floating fares and ticket allocation of high-speed railway single trains with the maximum benefit of railway transportation was constructed. Taking G13 train as an example, the calculation results show that the model can improve the railway transportation revenue and provide a reference for the comprehensive optimization of high-speed rail fare and ticket amount.

ARIMA model; passenger flow forecast; Log-Linear demand and price function; floating fares

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190882

U2-9

A

1672 ? 7029(2020)07 ? 1655 ? 07

2019?10?11

國家自然科學(xué)基金面上資助項目(71471179)

姚加林(1961?)，男，湖南婁底人，副教授，從事交通運輸規(guī)劃與管理等研究；E?mail：yaojialn@csu.edu.cn

(編輯 陽麗霞)