李海波 劉世興 宋海燕 梁立孚

(北京強度環(huán)境研究所可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點實驗室,北京 100076)

(遼寧大學物理學院,沈陽 110036)

(哈爾濱工程大學力學一級學科博士點，哈爾濱 150001)

引言

非保守非線性剛?彈?液?控耦合分析動力學是與航天動力學和多體動力學相關(guān)的重要研究課題之一.對于這一學術(shù)領(lǐng)域在國內(nèi)外的研究進展,文獻[1-2] 做了很好的綜述.文獻[3-12] 可以反映出近年來新的進展.此外,還參考了充液系統(tǒng)動力學[13]、分析動力學[14-15]、工程控制論 [16] 和自動控制 [17-19]的幾部專著.對于20 世紀的研究情況,文獻[20] 指出:“由于多柔體構(gòu)形的復雜性,目前解決多柔體動力學問題主要是依賴于數(shù)值的、定量的分析方法,幾乎沒有人進行解析的分析討論,這對于深刻把握系統(tǒng)的非線性力學實質(zhì)、預測系統(tǒng)的全局動力學現(xiàn)象是十分不利的.因此,極有必要開展多柔體系統(tǒng)的理論分析,當然,這是一個十分復雜的問題,解決它可能需要很長的時間.” 作者有關(guān)的研究工作就是在這一論述的啟發(fā)下展開的.由于分析力學的特點,應(yīng)用分析力學中的Hamilton 型變分原理和Lagrange 方程進行多柔體系統(tǒng)的解析的分析討論和理論分析是一條可行的途徑.經(jīng)過十余年的潛心研究[21-31],至2013 年研究非線性、非保守柔體動力學擬變分原理及其在航天器動力學中的應(yīng)用[32],多柔體系統(tǒng)的解析分析討論和理論分析已經(jīng)基本實現(xiàn).進而,適時地拓寬了研究領(lǐng)域:應(yīng)用現(xiàn)代非線性力學的理論成果和分析方法對航天工程中的剛(柔)?液?控耦合動力學的耦合機理進行深入探索,并預見帶柔性附件充液航天器的動力學響應(yīng)特征,從而為復雜結(jié)構(gòu)航天器的設(shè)計與分析提供理論參考[2].又經(jīng)過多年的艱苦的研究工作[33-41],至2019 年《力學進展》發(fā)表了《連續(xù)介質(zhì)分析動力學及其應(yīng)用》一文,比較全面地介紹了研究成果[42].正是在經(jīng)過新世紀以來的近20 年的研究積累的基礎(chǔ)上,嘗試性地研究了非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Hamilton 型擬變分原理,從系統(tǒng)的Hamilton 型擬變分原理出發(fā),借助Lagrange-Hamilton 體系,建立了剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Lagrange 方程,應(yīng)用該Lagrange 方程建立了系統(tǒng)的控制方程.并應(yīng)用Lagrange 方程建立了相應(yīng)的有限元計算模型,研究了系統(tǒng)的控制方程的應(yīng)用,探索進行解析的分析討論的途徑.

本文研究了航天器在大氣層中飛行的情況,航天器在大氣層外飛行的情況將在后續(xù)的工作中討論.

1 非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Hamilton 型擬變分原理

非保守非線性兩類變量剛?彈?液?控耦合分析動力學的Hamilton 型擬變分原理為

此項為剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的余虛功表達式.

先決條件為

式中,Xr為系統(tǒng)質(zhì)心的矢徑,x為系統(tǒng)中任意一點到質(zhì)心的矢徑,θ為系統(tǒng)剛化后的轉(zhuǎn)角,J為系統(tǒng)剛化后的轉(zhuǎn)動慣量(假設(shè)J為常量),F為保守力主矢,FN為非保守力主矢,M為保守力主矩,MN為非保守力主矩,ρq為流體質(zhì)量密度,ρe為彈性體質(zhì)量密度,fe為彈性體的保守體積力,為彈性體的非保守體積力,fq為流體的保守體積力,為流體的非保守體積力,μ為黏性系數(shù),I為單位張量,p為壓強,Te為彈性體的保守面積力,為彈性體的非保守面積力,vr為剛體平動的速度,ve為彈性體質(zhì)點的速度,ue為彈性體質(zhì)點的位移,Tq為流體的保守面積力,為流體的非保守面積力,vq為流體質(zhì)點的速度,uq為流體質(zhì)點的位移,?為梯度算子,Vr為剛體體積,Vq流體體積,Sw為流體的位移邊界面,Sf為流體的應(yīng)力邊界面,Su為彈性體的位移邊界面,Sσ為彈性體的應(yīng)力邊界面,Seq為彈?液交界面,Tqe為Seq處的液體面積力,Teq為Seq處的彈性體面積力,Km為電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù),JD為電動機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量,MF為實現(xiàn)所需的舵面偏角導致的電動機負載轉(zhuǎn)矩,ωc為電動機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度,并且ωc=d?/dt,?為電動機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角,Mc為舵面偏轉(zhuǎn)引起的力矩的增量,Fc為舵面偏轉(zhuǎn)引起的力的增量.

注意到δΠreqc為剛?彈?液?控耦合動力學兩類變量的擬變分原理的定積分形式泛函的變分;πc為Πreqc的一個組成部分(形式上與電動機動力學的Hamilton 變分原理的泛函相同,認為是保守系統(tǒng));πr為Πreqc的一個組成部分(形式上與剛體動力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函相同);πe為Πreqc的一個組成部分(形式上與彈性動力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函相同);πq為Πreqc的另一個組成部分(形式上與流體力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函相同).明顯可見,剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)兩類變量的Hamilton 型擬變分原理的定積分形式泛函Πreqc不是電動機動力學的Hamilton 變分原理的泛函、剛體動力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函、彈性動力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函和流體動力學的Hamilton 型擬變分原理的泛函的組合,而是多出控?剛耦合項?MF·?+Mc·θ+Fc·Xr、剛?彈耦合項、剛?液耦合項∫和彈?液耦合項.明顯可見,剛?彈?液?控耦合中的剛?彈耦合和剛?液耦合是慣性耦合,而彈?液耦合和控?剛耦合是接觸耦合.這里說明,對于彈?液耦合,在彈?液交界面Seq處,內(nèi)力滿足平衡關(guān)系[43-44]

位移滿足協(xié)調(diào)關(guān)系

兩類變量的剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的動能為

剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的勢能為

剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的擬勢能為

2 剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Lagrange 方程

根據(jù)式(5)～式(7),式(1)可改寫為

先決條件(2)的變分式為

將先決條件的變分式(9)代入式(8),進行分步積分,可得

將式(10)代入式(8),在時域邊界t=t0和t=t1處取δue=0,δuq=0,δXr=0,δθ=0,δ?=0,則可得

應(yīng)用Green 定理,并考慮到先決條件(9)中的流體位移邊界條件,可得

進而可得

由于δue,δuq,δXr,δθ,δ?的任意性,故由上式可得兩類變量的剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Lagrange 方程組

3 應(yīng)用Lagrange 方程建立剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的控制方程

應(yīng)用剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)Lagrange 方程推導其控制方程.為此,需要推導計算Lagrange 方程中的有關(guān)動能和有關(guān)勢能的各項.首先,推導計算Lagrange 方程中的有關(guān)動能的各項

然后,推導計算Lagrange 方程中的有關(guān)勢能的各項為

應(yīng)用Green 定理,并考慮到先決條件(9)中的彈性位移邊界條件,可得

將上式代入式(17)的第四式,可得

應(yīng)用Green 定理,并考慮到邊界條件(9)中的流體位移邊界條件,可得

將式(16)～式(20)代入Lagrange 方程(15)中,可得

應(yīng)用可變函數(shù)選值的理論,進而推導出兩類變量的非保守非線性剛?彈?液?控耦合動力學的控制方程

比較式(31)和式(34),可得

建議注意:在無際邊界面Seq處

兩類變量的非保守非線性剛?彈?液?控耦合分析動力學的控制方程(26)～(34)改寫為

還有一個重要的先決條件:在無際邊界面Seq處

退化到一類變量的非保守非線性剛?彈?液?控耦合分析動力學問題,則其控制方程為

這里借助非保守非線性剛?彈?液?控耦合分析動力學的控制方程(47)～(56)來說明剛?彈?液?控耦合的耦合機理.

彈?液交界面處力的平衡方程(54)和位移協(xié)調(diào)方程(55)說明彈?液耦合是接觸耦合.

剛體動力學的軌跡方程式(48)中的Fc項和控制動力學的方程式(47)中的MF項說明控?剛耦合是接觸耦合.同樣,剛體動力學的姿態(tài)方程式(49)中的Mc項和控制動力學的方程(47)中的MF項也說明控?剛耦合是接觸耦合.

這里存在一個問題,即似乎看不出控制對彈和液的影響.其實不然,控制是通過方程(48)和(49)影響剛體的Xr和θ,進而影響彈和液的.反之,彈和液是通過方程(48)和(49)中的慣性耦合項影響剛體的Xr和θ,而控制中的?是按照對航天器Xr和θ變化規(guī)律的要求設(shè)計的.

4 剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)Lagrange 方程的應(yīng)用研究

4.1 應(yīng)用非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)Lagrange 方程建立位移協(xié)調(diào)元模型

這里說明,為了書寫簡捷緊湊,前面的理論推導部分采用實體張量符號;為了編寫計算程序的方便,后面的有限元法研究,采用指標張量符號書寫.將彈性連續(xù)體劃分為n個單元,取為自變函數(shù),將液體連續(xù)體劃分為m個單元,取為自變函數(shù),它們滿足如下條件:

這里說明,由于彈?液耦合產(chǎn)生在彈?液交界面處,為了方便起見,在劃分有限元法的元素的時候,總是希望把彈?液交界面處理為有限元法中的無際邊界面.這就是條件(6)的來源.彈性體單元、液體單元和彈?液交界面處單元如圖1 所示.

圖1 剛?彈?液?控耦合體的有限元素和界面關(guān)系Fig.1 The relationship between the element and the interface in finite element method of rigid-elastic-liquid-control coupiing

圖1 剛?彈?液?控耦合體的有限元素和界面關(guān)系(續(xù))Fig.1 The relationship between the element and the interface in finite element method of rigid-elastic-liquid-control coupiing(continued)

剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)Lagrange 方程表示為

其先決條件為

這便是適于有限元計算的非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Lagrange 方程,它提供了有限元計算的位移協(xié)調(diào)元模型.

4.2 應(yīng)用非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)Lagrange 方程建立位移雜交元模型

應(yīng)用Lagrange 乘子法,將式(58)代入勢能的表達式中,則有

應(yīng)用Lagrange 方程,則有

經(jīng)過一系列的運算,解得Lagrange 乘子的表達式

將式(61)、式(63)、式(64)和式(66)代入式(59),經(jīng)變換,可得適于有限元計算的位移雜交元模型.

通過如上的推導有限元列式的過程可以發(fā)現(xiàn),應(yīng)用Lagrange 方程推導的一個特點是不出現(xiàn)對時間的積分.從事飛行器強度計算的學者明白,強度計算是相對于特定的“設(shè)計情況”進行的,而所謂設(shè)計情況,是飛行器飛行中的某個部位受力嚴重的特定的瞬間狀態(tài),并不涉及對時間的積分.這也說明應(yīng)用Lagrange 方程來解決這類問題的優(yōu)越性.應(yīng)用Lagrange 方程建立有限元模型的另一個優(yōu)越性,不涉及對時間的積分特性便于將大量靜力學有限元素法的計算技術(shù)和開發(fā)的大量計算程序移植到剛?彈耦合動力學、剛?黏彈耦合動力學、剛?液耦合動力學、剛?熱?彈耦合動力學、剛?彈?液耦合動力學和剛?彈?液?控耦合動力學中.

4.3 非保守非線性剛?彈?控耦合分析動力學問題

在控制方程(47)～(56)中,如果忽略式(54)和式(55)的影響,可以將彈?液耦合解耦,從而可以獨立的研究剛?彈?控和剛?液?控耦合的應(yīng)用問題.

本節(jié)研究非保守非線性剛?彈?控耦合動力學問題,其控制方程為式(47)～式(51),但是,要忽略關(guān)于ρq的慣性耦合項.在考慮慣性耦合的情況下,研究梁式太陽能帆板的振動問題,其特性方程為

式中,N為離心慣性力.

與一般的特性方程相比,多出離心慣性力導致的“?N?2w/?x2”項,其角頻率方程為

另一方面,同樣在考慮慣性耦合的情況下,研究自由梁的振動問題(可以將飛行器簡化為自由梁或者稱為無約束梁),研究結(jié)果表明,無論是自由梁的奇數(shù)階振型或者偶數(shù)階振型,梁中的質(zhì)點都不是繞梁的中性軸做往復振動,而是繞振動中心軸作往復振動.梁的中性軸和振動中心軸之間,既有往復運動的線位移D,又有往復擺動的角位移C

其奇數(shù)階振型和偶數(shù)階振型如圖2 和圖3 所示.

圖2 無約束梁自由振動的三階振型Fig.2 The third mode of free vibration of unconstrained beams

圖3 無約束梁自由振動的二階振型Fig.3 The second mode of free vibration of unconstrained beams

這便說明,如果簡化為自由梁的飛行器被激振前為水平等速直線運動,則自由梁振動的奇數(shù)階振型和偶數(shù)階振型的作用,可以使自由梁的運動軌跡和運動姿態(tài)產(chǎn)生微小的擾動.進一步引申這一結(jié)果的意義,因為飛行器的剛體運動與控制之間存在接觸耦合,振動對剛體運動(運動軌跡和運動姿態(tài))的影響可以耦合到控制系統(tǒng)中去.這就為研究飛行器結(jié)構(gòu)振動對控制的影響提供了參考.

4.4 非保守非線性剛?液?控耦合分析動力學問題

本節(jié)研究非保守非線性剛?液?控耦合動力學問題,其控制方程為式(47)～式(49)、式(52)、式(53),但是,要忽略關(guān)于ρe的慣性耦合項.

參照剛?彈?控耦合動力學的研究情況,研究剛?液?控耦合動力學也分兩個方面.一方面剛體動力學產(chǎn)生的慣性力對流體動力學的影響.另一方面,研究流體動力學產(chǎn)生的慣性力對剛體動力學的影響,進而研究其對控制系統(tǒng)的影響.太空的環(huán)境條件是十分嚴酷的,特別是軌道空間存在高真空、高輻射和失重狀態(tài)的影響.在失重狀態(tài)下,表面張力的作用凸顯出來,因此,應(yīng)著重研究在失重條件下的表面張力的特性.這一研究與文獻[45]的論述是一致的:在涉及液體的相關(guān)耦合問題方面,自由液面邊界問題比較復雜,可分為運動學邊界條件和動力學邊界條件,需要對于線性和非線性情形(特別是航天背景中表面張力需要考慮表面張力、接觸角及接觸線動力學問題邊界條件)分別展開討論.

4.5 非保守非線性彈?液耦合分析動力學問題

姿態(tài)方程、軌跡方程和控制系統(tǒng)方程一起,可以組成飛行器的有控飛行力學問題.如果假設(shè)這類有控飛行力學問題已經(jīng)解決,則可近似地認為控制方程(47)～(49)與控制方程(50)～(56)之間已經(jīng)解耦.這時便可以將控制方程(50)～(56)處理為非慣性坐標系中的彈?液耦合動力學問題.這也是飛行器強度計算的一般處理方法.作者專門研究了與控制方程(50)～(56)構(gòu)成的非保守非線性彈?液耦合動力學控制方程的應(yīng)用問題,將文獻[43-44]的研究推廣到非慣性系中的流固耦合問題中.專家評價對這類系統(tǒng)有限元建模、計算及結(jié)果分析、討論具有重要的參考價值.

綜合4.3～4.5 節(jié)的結(jié)果,可以近似的看出非保守非線性剛?彈?液?控耦合動力學控制方程的應(yīng)用的效果.精確的研究非保守非線性剛?彈?液?控耦合動力學控制方程的應(yīng)用(解析解),在數(shù)學上說是要應(yīng)用剛?彈?液?控耦合動力學全部控制方程式(47)～(56),這是較為困難的,可以應(yīng)用較為簡單的算例來試探.對于較為復雜的算例,建議應(yīng)用4.1 或4.2節(jié)的有限元法來試探.

5 結(jié)論

(1)建立了非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Hamilton 型擬變分原理和Lagrange 方程,應(yīng)用系統(tǒng)的Lagrange 方程推導出非保守非線性剛?彈?液?控耦合分析動力學的控制方程.

(2)從Hamilton 型擬變分原理的泛函和應(yīng)用Lagrange 方程得到的控制方程都說明:剛?彈耦合和剛?液耦合是慣性耦合,彈?液耦合和控?剛耦合是接觸耦合.

(3)從兩個方面概要地研究了非保守非線性剛?彈?液?控耦合系統(tǒng)的Lagrange 方程的應(yīng)用.

①應(yīng)用Lagrange 方程建立了相應(yīng)的位移協(xié)調(diào)元和雜交元計算模型,分析了這類計算模型的優(yōu)越性;

②應(yīng)用系統(tǒng)的控制方程對實際問題進行解析的分析討論,說明了應(yīng)用解析的分析討論來研究問題與應(yīng)用數(shù)值的、定量的分析方法來研究問題的互補特性.

致謝在完成本文的過程中,得到剛?彈?液?控耦合動力學專家岳寶增教授的熱情幫助,作者表示衷心感謝!