何葉飄

[摘要]一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學習、實踐和思考的過程，也是一次合作、反思與教學創(chuàng)新的過程，更是教師自身教學能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過程。在“分數(shù)的再認識”的磨課中，逐步深入概念本質，讓課堂從膚淺走向深刻，從自我走向實際，促進學生深入理解知識。

[關鍵詞]概念本質;深化理解;分數(shù);認識

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 26-0013-04

分數(shù)的意義這一內容并不好教，也是學生學習的一個難點：一是知識點較多，諸如單位“l(fā)”、分數(shù)的意義、分數(shù)單位等;二是內容較為抽象，教學時需要逐步剝離具體素材的依附，實現(xiàn)分數(shù)從“面積模型”到“集合模型”的過渡，并在此過程中進行“數(shù)學化”提煉，形成純理論的表達;三是時間相隔較長，從“分數(shù)的初步認識”到“分數(shù)的再認識”的學習，長達一年半之久。如何考量和取舍才能有效教學分數(shù)的意義，既能把握分數(shù)意義的內涵實質，又能遵循學生的認知規(guī)律？我們數(shù)學組對“分數(shù)的再認識”一課進行了專題研討。

【課前思考】

1.對多版本教材的對比和梳理

三個版本的教材盡管編排方式有所不同，但都是在“平均分”的基礎上，幫助學生進一步理解“部分與整體的關系”。北師大版教材沒有用固定的語言表述分數(shù)的意義，而是讓學生不斷體會，自我感悟，內化對分數(shù)意義的認識。

2.通過前測縝密分析學情

學生的思維是否能跟上分數(shù)意義發(fā)展的步伐？就此問題，我們對學生（共45人）進行前測——用自己的方式表示出3/4這個分數(shù)，得出結論：全班學生基本都能用自己的方式表示出3/4，可見他們對分數(shù)意義的理解沒有太大困難。由于在日常生活中，學生也經常會用“一堆”“一群”“一些”等詞語來描述許多物體的集合，因此，學生立足于已有的生活經驗和認知基礎，由把一個物體看成一個整體過渡到把多個物體，乃至多組物體看成一個整體，都是比較容易的。

找到知識的生長點，我們決定課始就直接從建構單位“1”的意義人手，于是就有了第一次教學。

【第一次教學】

活動一：用不同的數(shù)表示兩個正方形

下面的正方形可以用什么數(shù)來表示？

生1：把2個正方形看成一堆就是1。

師：可以把半個正方形看作“1”嗎？用什么數(shù)來表示這些正方形呢？

生2：可以。4。

師：反應真快！還可以用數(shù)字幾來表示這些正方形呢？

師：剛才大家把不同的部分看作“1”，用了2、1、4等整數(shù)來表示正方形。想一想，除了整數(shù)，可以用分數(shù)嗎？能用什么分數(shù)表示？

（學生說出了很多分子和分母相同的分數(shù)）

師：還有其他分數(shù)嗎？（很多學生說不出來）

生3：可以用2/3表示，它的整體是3個正方形。

師：像這樣，把幾個正方形看成一個整體，這樣的“1”叫作單位“1”。

活動二：用不同的分數(shù)表示兩位同學

師：我們一起做個游戲。請兩位同學起立，大家用一個分數(shù)來表示看到的這兩位同學，用哪個分數(shù)？

生4：這兩位同學占全班的2/45。

生5：這兩位同學占整個小組的2/10。

師：同樣的兩個同學，能夠用不同的分數(shù)來表示，原因是什么？

生6：因為單位“1”不一樣。

生7：單位“1”不確定。

師：單位“1”不同，這兩個同學占這個整體的幾分之幾就不一樣了。

活動三：通過練習，鞏固分數(shù)的意義

習題：淘氣吃了一個蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4。誰吃的多一些？

活動四：拓展練習，深化分數(shù)的意義

習題1：把12個蛋糕平均分給3個人，每人分得（ ），每人分得（ ）個。

習題2：把（ ）個蛋糕平均分給3個人，每人分得（ ），每人分得（ ）個。

【教后反思】

對于活動四中兩道習題的完成情況，全班45人中做對的只有8人，錯誤主要集中在“每人分得幾分之幾”這一填空。由此可見，學生對于分數(shù)的意義還停留在初步感知的基礎階段，并沒有深入理解分數(shù)的真正含義。通過分析，教學存在以下幾個問題：

1.教學起點太高，脫離學生實際

教師耳提面命、聲嘶力竭地讓學生亦步亦趨地去抽象單位“1”，卻有為數(shù)不少的學生茫然而不知所云。對于“同樣兩個正方形，為什么可以用任何數(shù)來表示呢？”學生是丈二和尚摸不著頭腦的，而這一環(huán)節(jié)教學用時為23分鐘?？梢娺@一教學設計未能很好地順應學生的思維，阻礙了單位“1”的建構。要讓學生的學習真正發(fā)生，最關鍵之處就是要關注他們學習的真實起點，找準學生“現(xiàn)在在哪里”。

回顧前測習題，全班45人均能用自己的方式表示分數(shù)3/4的意義，其中用一個圖形表示的有10人，用4個圖形表示的有27人，但用多個圖形表示的只有7人，僅占了全班的16%。從這些數(shù)據(jù)中不難看出，雖然學生都用自己的方式表示分數(shù)3/4的意義，但對于“分數(shù)是相對于單位1而言的”的本質，學生是不理解的，學生的思維仍然處于初步認識的形象階段。

2.對單位“1”的認識膚淺，影響了對分數(shù)意義的理解

三年級的認識分數(shù)，是平均分一個物體，雖然分一些物體的平均分的方法一樣，但平均分的整體變了，1份的數(shù)量也就變了。對于小學生來說，是很難一下子理解這種辯證關系的，只有親自讓他們動手畫一畫、分一分，他們才能在動手操作中感悟分數(shù)的意義。

【第二次教學】

活動一：基于學情，復習分數(shù)的意義

展示生，的作品（一個正方形）：

師：你是怎樣表示3/4這個分數(shù)的？

生1：把一個正方形平均分成4份，取

了其中的3份，就是3/4。

展示學生作品（一個圓和一條線段）：

師：他們都用自己的方式表示出了3/4。你有什么發(fā)現(xiàn)？對，他們都把1個物體平均分成了4份，取其中的3份，就是3/4。

展示學生作品：

師：這位同學表示的3/4對嗎？（學生討論后發(fā)現(xiàn)可以把4個物體看成一個整體）

師：能用8個、12個蘋果……表示3/4嗎？請在作業(yè)紙上畫一畫，表示出3/4。

展示學生作品：

師：這個同學是這樣表示3/4的。你有什么想法？

生，：把8個蘋果平均分成4份，取其中的3份。

師：看出3/4了嗎？還可以看出幾分之幾呢？

生3：6/8。把8個蘋果平均分成8份，取6份就是6/8

師：同一幅圖，為什么一會兒表示3/4，一會兒又表示6/8呢？

生4：平均分的份數(shù)不一樣，意義就不一樣。

展示學生作品：

師：為什么這幾位同學的作品都可以表示3/4呢7

生，：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但把一個正方形、8個蘋果、12個蘋果分別看成一個整體，平均分成4份，取其中的3份，就是這個整體的3/4。

師：同樣是3/4，為什么這里是6個，而那里是9個呢？

生6：因為整體的個數(shù)不一樣，所以3/4所對應的具體數(shù)量也就不一樣了。

活動二：動手操作，建立部分與整體的關系

習題：一個圖形的1/4是兩格，請畫出這個圖形。

活動三和活動四（同第一次教學）

【教后反思】

調整了教學起點后，課堂總體呈現(xiàn)比較流暢，學生在教師的一步步引領下完成了學習任務。同樣分析活動四中兩道習題的完成情況，學生的正確率只有40%?？磥硎钦n堂上教師“包辦代替”的地方過多，沒有真正從學生的已有認知展開教學。

“分數(shù)的再認識”該再認識什么？課堂中到底能給予學生多大的思辨空間？學生的接受學習和思辨學習在這樣的課中分別占多大比例比較合適？知識的落腳點應該在哪里？……我們陷入了沉思：

1.關于教學的切入點

教學本課之前我們對學生的學習難點有一定的把握，課堂上也對這些難點進了針對性的突破，學生對分數(shù)這一概念也已經有初步的認知，能否在課始就激發(fā)學生的已有認知，幫助學生形象地建立部分與整體的關系呢？

2.關于意義的理解

關于意義的理解是本節(jié)課的重點，學生認識上存在差異，教師在課堂中應引導學生思考：同一幅圖，為什么既可以表示3/4，又可以表示6/8呢？學生通過觀察和思辨，完全可以自己歸納出分數(shù)的意義。教師應該放手讓學生嘗試在不斷思辨中總結歸納，提高學生的思辨能力。

3.關于“平均”的再認識

關于部分和整體的意義模型，一般有四個渠道可以建立：范圍、長度、集合和面積。分數(shù)具有“無量綱性”，即分數(shù)表示部分與整體的關系時，不需要考慮物體的形狀和大小，只要看把這個整體平均分成了多少份，要表示這樣的幾份，這是分數(shù)意義最本質的地方。因此教師在課堂上應直擊“平均”的意義。

4.關于“相對”的再認識

分數(shù)表示數(shù)量的多少具有相對性，因為分數(shù)的意義（份數(shù)定義）是基于部分與整體的關系而建構的。同一個分數(shù)，因為整體對象的不確定，分數(shù)對應的數(shù)量也就不確定，這一點和整數(shù)表示數(shù)的多少有著很大的區(qū)別。學生認識分數(shù)不久，這就更需要教師引導學生經歷、體會、感受、總結、領悟，進而把分數(shù)表示數(shù)的相對性認識到位。

【第三次教學】

1.基于學情，復習分數(shù)的意義展示學生作品：

師：你是怎樣表示3/4這個分數(shù)的？

生1：我把一個圓平均分成4份，表示這樣的3份，就是這個圓的3/4。

師（展示學生作品）：還有的同學是這樣表示3/4的，可以嗎？

生2：可以。他們都把1個圖形平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個圖形的3/4。

展示學生作品：

師：有同學是這樣表示3/4的，可以嗎？為什么？

生3：可以。他把4個蘋果平均分成了4份，表示3份，也是3/4。

師：剛才不都是把一個正方形、一個圓、一條線段平均分成了4份，表示這樣的3份嗎？現(xiàn)在是4個蘋果，怎么也可以呢？

生4：把4個蘋果也看成一個整體，平均分成4份，表示這樣的3份，就是4個蘋果的3/4。

師：這4個蘋果大小不一樣，可以平均分嗎？

生5：平均分是可以對面積大小進行平均分，也可以對數(shù)量進行平均分。

師：還能畫出和這個不一樣的三嗎？

展示學生作品：

師：他們都表示了3/4，你覺得誰的作品正確？

生6：（2）號作品正確，因為他把8個蘋果平均分成了4份。

生7：我選擇（1）號作品，因為表示得很清楚。

生8：可他沒有把8個三角形平均分成4份。

生9：可他把6個圈起來了，看得很清楚。

生10：把8個三角形看成一個整體，平均分成8份，取這樣的6份，就是6/8。

師：你們同意他的想法嗎？你怎么想？

生11：平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣。

展示學生作品：

師：為什么這幾位同學的作品都可以表示3/4呢？

師：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但都可以把它們看成一個整體，平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個整體的3/4。

師：同樣都表示了3/4，為什么這里是6個，而那里是9個呢？

生12：整體的個數(shù)不一樣，3/4所對應的具體數(shù)量也就不一樣了。

2.數(shù)形結合，建立整體量與部分量之間的關系

師：如果一個圖形的1/4是□□，請畫出這個圖形。

展示學生作品：

師：同學們畫的圖形都不一樣，為什么都正確？

師：1/4對應的具體數(shù)量確定了，那么單位“1”這個整體的總數(shù)量也就可以確定了，但形狀可以多樣。

3.突破認知，建立分率與具體量之間的關系

習題：淘氣吃了一個蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4，誰吃的多一些？

師：單位“1”的數(shù)量不確定，所以1/4對應的數(shù)量也不確定。

【教后反思】

1.導入環(huán)節(jié)的改變

學生在三年級下冊學習了分數(shù)的初步認識，到五年級上冊再次認識分數(shù)，間隔時間略長?；趯W生的前測結果，通過師生談話，可調取學生已有的認知基礎和活動經驗，在課堂上喚醒學生的有意注意，激活學生頭腦中“分數(shù)”的認知圖式，快速直觀地建立部分與整體的關系。

2.探究知識、理解意義環(huán)節(jié)的改變

在探究知識、理解意義的環(huán)節(jié)中注重引導學生深入觀察、比較、思辨，并讓學生在不斷思辨中理解“平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣”這一知識重點，幫助學生深入理解概念本質，深化理解意義。

3.“平均”認識環(huán)節(jié)的改變

在觀察4個蘋果的3/4這一環(huán)節(jié)，當學生得出“可以把4個蘋果看成一個整體，平均分成4份”時，教師馬上質疑“這4個蘋果大小不一”，學生在思辨中從面積一樣過渡到抽象出來的數(shù)量一樣，自然順暢，水到渠成。

4.“相對”認識環(huán)節(jié)的改變

通過獨立嘗試、交流互動、投影演示，讓學生根據(jù)對應的分數(shù)進行整體和部分之間的互推。用畫圖表征相對性，由“關系”會帶來“相對”的大小，這個意義上的分數(shù)，能引導學生深刻理解數(shù)學知識，透過現(xiàn)象把握數(shù)學知識背后的核心問題，進一步幫助學生學好數(shù)學，領悟知識的本質內涵。

【磨課感悟】

1.關于“平均”

分數(shù)有多種不同的意義，而在教材中，學生最初學習分數(shù)時，一般以“部分與整體的關系”這樣的意義切人。在這個意義上，一般需要特別強調“平均分”這個事情。當把多個物體看成一個整體，把這個整體平均分時，明明劃分的各個部分的面積不一樣，為什么會是“平均”？“平均”必須要的“一樣”在哪里？如何從“面積一樣”過渡到“抽象出來的數(shù)量的一樣”，應該作為學生再次認識“部分與整體關系”意義上的分數(shù)的一個重要內容。

2.關于“1份”

在“分數(shù)的再認識”中，“再認識”的重點應該在于從把“1個東西”平均分過渡到把“1個整體”平均分，也就是單位“1”從1個到多個。但從另一個角度來看，其實更應該是怎么認識“1份”。學生往往既關注份數(shù)，又注意到了每份數(shù)的數(shù)量，具體的數(shù)量和份數(shù)對學生的認識起到了干擾作用。教師應引導學生質疑，讓學生在比較中辨析、在辨析中明理，幫助學生更深刻地理解“1份”的含義，加深對分數(shù)意義的全面理解。

3.關于“相對”

除了再次認識“平均”和“1份”外，有一個目標也很重要，因為這是部分與整體的關系的意義，所以由“關系”會帶來“相對”的大小，也就是說，這個意義上的分數(shù)，不能僅比較分數(shù)的絕對數(shù)值大小，還要考慮其對應的整體是多少。

一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學習、實踐和思考的過程，也是一次合作、反思與教學創(chuàng)新的過程，更是教師自身教學能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過程。一次次的“改課”，就是踐行“課改”思想、理念與方法的過程。讓我們變“劫”為“節(jié)”，在一次次“歷劫磨難”中拔節(jié)生長，蛻變成一個有教育智慧和情懷的教師。

（責編金鈴）