基于切觸點高斯過程的直紋面?zhèn)茹娍煽慷确治?/h1>
2020-08-12 12:00李霄
機械制造與自動化 2020年4期
李霄
(西安航空職業(yè)技術(shù)學院，陜西 西安 710089)
0 引言
直紋面是在航空發(fā)動機葉輪等關鍵部件中應用廣泛的曲面類型，因其型面復雜且性能易受加工精度影響，且往往存在不確定因素，導致其加工精度可靠性預測困難[1]。為此，分析影響側(cè)銑加工的不確定性因素，建立反映側(cè)銑可靠度的分析模型，對側(cè)銑加工精度的有效分析和準確預測至關重要[2]。
近年來，國內(nèi)外學者展開了側(cè)銑建模研究。劉佳佳等[3]根據(jù)磨床的綜合誤差傳遞構(gòu)建其側(cè)銑加工的近似精度分析模型；WANG Zequn等[4]在綜合分析機床誤差基礎上，建立了某型五軸機床的外圓銑削精度分析模型。目前，蒙特卡洛法等常用側(cè)銑精度可靠分析方法對極限狀態(tài)函數(shù)的依賴較大，不適合求解帶有隨機時變不確定性變量模型的精度分析問題[5-6]。為此，在超越論[7]及極值法[8]等理論研究和發(fā)展基礎上，張棟梁等[9]基于主成分分析和多項式混沌擴展提出時變可靠性分析方法，將時間間隔離散化并與瞬時性能函數(shù)關聯(lián)后，采用主成分分析進行降維，然后采用稀疏多項式混沌擴展對降維分量進行近似表示，最后在時變響應的全局替代模型上應用蒙特卡洛方法；HAWCHAR L等[10]在將隨機過程進行離散化預處理基礎上分析側(cè)銑加式的時變可靠性。這兩種方法將動態(tài)不確定性模型求解轉(zhuǎn)化為靜態(tài)模型求解，有效解決了動態(tài)不確定性的影響，但其對復雜模型求解時，運算復雜度高且無法確定求解精度。WANG L等[11]對時變模型采用自適應極值改進的響應面法進行求解，計算結(jié)果更為精確，但極值響應在多數(shù)情況下難以獲得精確分布。
為此，綜合考慮直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ写嬖诘膸缀握`差、刀具參數(shù)及動態(tài)不確定性等因素，以高斯過程(Gaussian process，GP)描述刀具切觸點的坐標誤差，構(gòu)建加工精度分析模型，并以精度指標迭代更新模型，最后通過蒙特卡洛法抽樣獲得最終可靠度預測。實驗結(jié)果驗證了算法的預測精度和計算效率。
1 側(cè)銑精度可靠度模型
1.1 直紋面切觸點坐標變換GP模型
含噪隨機函數(shù)f(x)的GP模型可由其均值和協(xié)方差表示，即f(x)=GP[m(x),k(x,x′)]，m(x)為均值函數(shù)，k(x,x′)為協(xié)方差函數(shù)，x′與x為不同的測試數(shù)據(jù)。
圖1(a)所示為工程中常用直紋面示意圖，其矢量表達式為var(y*)=S(u,v)=(1-v)B0(u)+vB1(u)，其中：B0(u)和B1(u)表示直紋面準線函數(shù)；u和v分別表示準線與直母線變量參數(shù)。圖1(b)為通過法向偏置[9]獲得的直紋面加工刀位示意圖。
圖 1 直紋面及偏置法加工刀位示意圖
(1)
式中：d、α值可通過數(shù)值迭代[7]計算；O2為刀具端面中心；O1O2為立銑刀的刀位矢量。
x=-Rcos(θ),y=Rsin(θ),z=b·θ/β
(2)
式中0<θ<β。
根據(jù)O1和O2坐標，直線Q1Q2方程為：
x=R·(1-cosβ)·z/b,y=R·sinβ·z/b
(3)
聯(lián)合式(2)和式(3)可以計算Pw和Pt，從而得到切觸點的理論誤差值，但由于式中R與b存在不確定項，且切觸點坐標無法使用顯式函數(shù)表示，因此Pw、Pt之間距離誤差值采用GP高斯隨機過程可表示為：
Y(s)=GP[m(s),k(s,s′)]
(4)
以Pts(ptsx,ptsy,ptsz)表示切觸點在刀具坐標系三坐標軸方向的GP預測值。
1.2 直紋面?zhèn)茹娋瓤煽慷饶Ｐ?/h3>
圖2所示為某型五軸機床通過位置和姿態(tài)特征矩陣構(gòu)建側(cè)銑加工精度模型，模型忽略工藝溫度變化和系統(tǒng)的剛度誤差。圖中O1為立轉(zhuǎn)臺中心，O2、O3和O4分別為主軸、刀具和工件的端面中心，機床、立轉(zhuǎn)臺以及擺動轉(zhuǎn)臺的原點設置在O1；三軸滑軌與主軸的原點設置在O2；刀具坐標原點設置在O3；工件坐標系的原點設置在O4，各坐標系原點之間的平移矢量分別為P1=PQ2Q1=(x21,y21,z21)T、P2=PQ3Q2=(0,0,z32)T和P3=PQ4Q1=(x41,y41,z41)T。
圖2 某型BC 軸五軸機床結(jié)構(gòu)示意圖
設切觸點坐標的齊次坐標形式為Pt=(ptx,pty,ptz,1)T，其由GP模型預測得到Pts=(ptsx,ptsy,ptsz,1)T，而理想側(cè)銑加工成形點坐標Pw=(pwx,pwy,pwz,1)T。則利用多體特征變換矩陣，將Pts與Pw變換到基坐標系下，即可構(gòu)建側(cè)銑精度可靠度模型，即
E=T01T12T23Pw-T04T45T56T67T78Pts=(Ex,Ey,Ez,1)
(5)
式中：T67=E；Δz87為刀具實測長度方差；x、y、z及B、C為計算刀軸矢量后，通過運動學反變換計算的各軸瞬時參數(shù)；ΔβB和ΔγC分別為機床繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)動誤差；Δxx、Δyy和Δzz為機床沿坐標三軸的平動誤差，則模型在允許極限誤差情況下的狀態(tài)函數(shù)為：
g[X,Y(s),S]=δ-E(Δ)
(6)
式中：δ為允許極限誤差；X為模型的隨機不確定量；S為切觸點坐標范圍。
2 側(cè)銑精度GP模型求解
2.1 隨機過程預處理
將切觸點坐標范圍[0,S]離散為節(jié)點s=(s1,…,si,…,sn)，則得到協(xié)方差矩陣為：
(7)
式中k(si,sj)表示si與sj兩位置的協(xié)方差函數(shù)?？梢钥闯?，協(xié)方差矩陣∑是對稱正定的，此時，精度模型中Y(s)可以表示為帶有隨機常數(shù)Zi的確定函數(shù)的線性組合，即
(8)
式中：Z=[z1,z2,…,zp]為線性表示中P(9)
式中：ξ為臨界閾值，ξ=0.95。則式(8)可重新表示為g[X,Y(s),S]=g(X,Z,S)，即輸入變量轉(zhuǎn)換為兩個隨機變量[X,Z]，為此，以w=[w1,w2,…]替代[X,Z]作為輸入變量，其對數(shù)似然函數(shù)為：
(10)
式中：I為P維單位矩陣；G為輸入的觀測值。最大化LGP可以計算模型的超參數(shù)，然后在抽樣數(shù)據(jù)下，通過極大似然估計可計算GP模型。對于測試樣本w′，GP模型預測值為：
gs(w′,si)=u+rTC-1(G-Au)
(11)
式中：u為預測均值；r描述了w′與訓練樣本w的相關性，即r(i)=Corr(w′,wi)。
2.2 模型更新與求解
設切觸點節(jié)點si上某樣本點wi被正確預測的概率為Pc(wi,ss)，將模型更新指標設為節(jié)點概率期望，當輸入m個有效樣本時，si上的模型精度指標為：
(12)
(13)
式中I(w)|[0,S]為n個離散節(jié)點的模型預測響應函數(shù)。通過蒙特卡洛法進行N次抽樣后可得切觸線精度可靠度值：
(14)
3 算法實驗驗證分析
為驗證文中側(cè)銑可靠度模型的有效性，以LU400 型五軸數(shù)控機床為實驗對象，采用文獻[12]中方法設計曲面，u0=0.02，σ0=0.008，立銑刀直徑為6mm。以n=21對u=11.507位置的母線進行節(jié)點離散，在機床上加工后通過三坐標測量機檢測并獲取2萬組訓練樣本，以獲得精確的預測數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行z-score標準化處理。
3.1 基于實測數(shù)據(jù)的模型有效性實驗
為獲得預測坐標值Pts的變化趨勢，圖3中所示為Y(s)表征的切觸點坐標在x軸方向的坐標變化，即ptsx變化。可以看出，在95%的預設置信度范圍內(nèi)，預測數(shù)據(jù)相對于原始數(shù)據(jù)具有更小的波動，有利降低部分失效數(shù)據(jù)的大幅值波動，從而可以確保在后續(xù)樣本點抽樣時的數(shù)據(jù)穩(wěn)定。同理，實驗測試發(fā)現(xiàn)，y軸與z軸的切觸點坐標ptsy和ptsz變化在 95%的置信度下，其預測數(shù)據(jù)的波動幅度更小。因此，3個坐標方向的數(shù)據(jù)預測響應值表明其更能反映訓練數(shù)據(jù)的變化趨勢。
圖3 切觸點坐標預測ptsx結(jié)果
圖4 節(jié)點s11模型精度指標變化
表1 實驗過程模型中間參數(shù)
3.2 模型性能比較實驗
文中模型通過蒙特卡洛法進行N次抽樣后運用指示函數(shù)計算切觸線精度可靠度值R(0,S)。表2所示為文中采用方法和傳統(tǒng)蒙特卡洛法求得的側(cè)銑加工可靠度值，表中節(jié)點區(qū)間為直紋面某母線的離散節(jié)點區(qū)間，Nc為兩種模型調(diào)用狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)。從表中結(jié)果可以看出，文中模型在3種節(jié)點范圍都取得較高的可靠度，同時，與傳統(tǒng)方法相比，其狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)減少了一個數(shù)量級，從而明顯提高了模型的計算效率。
表2 加工精度可靠度對比
圖5為參數(shù)為1的直母線參數(shù)在不同的節(jié)點范圍下兩模型的失效概率變化情況。從圖中可以看出，失效概率值隨著節(jié)點范圍的增大，開始時逐漸增大，后逐漸趨于平緩，其變化規(guī)律與傳統(tǒng)蒙特卡洛方法變化規(guī)律一致，說明文中直紋面?zhèn)茹娔Ｐ蛯崿F(xiàn)了對節(jié)點加工可靠度的有效預測。
圖5 位置節(jié)點的失效概率值
4 結(jié)語
針對不確定因素導致直紋面?zhèn)茹娋阮A測困難及計算效率低的問題，提出了基于刀具切觸點GP模型的精度分析方法。首先以高斯隨機過程描述引入驅(qū)動誤差和參數(shù)不確定性的刀具切觸點坐標誤差，然后基于某型機床的誤差傳遞模型，利用多體理論構(gòu)建直紋面?zhèn)茹娂庸さ木确治瞿Ｐ?；通過帶有隨機常數(shù)Zi的確定函數(shù)的線性組合方式，簡化模型的輸入變量，并根據(jù)重要性指標和精度指標選擇有用樣本和更新模型；最后基于蒙特卡洛法獲得加工精度可靠度。實驗結(jié)果表明，所提方法準確預測了加工精度變化趨勢，具有較高的計算效率和預測精度，為直紋面?zhèn)茹娋阮A測提供了有效的方法。
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李霄
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0 引言
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近年來，國內(nèi)外學者展開了側(cè)銑建模研究。劉佳佳等[3]根據(jù)磨床的綜合誤差傳遞構(gòu)建其側(cè)銑加工的近似精度分析模型；WANG Zequn等[4]在綜合分析機床誤差基礎上，建立了某型五軸機床的外圓銑削精度分析模型。目前，蒙特卡洛法等常用側(cè)銑精度可靠分析方法對極限狀態(tài)函數(shù)的依賴較大，不適合求解帶有隨機時變不確定性變量模型的精度分析問題[5-6]。為此，在超越論[7]及極值法[8]等理論研究和發(fā)展基礎上，張棟梁等[9]基于主成分分析和多項式混沌擴展提出時變可靠性分析方法，將時間間隔離散化并與瞬時性能函數(shù)關聯(lián)后，采用主成分分析進行降維，然后采用稀疏多項式混沌擴展對降維分量進行近似表示，最后在時變響應的全局替代模型上應用蒙特卡洛方法；HAWCHAR L等[10]在將隨機過程進行離散化預處理基礎上分析側(cè)銑加式的時變可靠性。這兩種方法將動態(tài)不確定性模型求解轉(zhuǎn)化為靜態(tài)模型求解，有效解決了動態(tài)不確定性的影響，但其對復雜模型求解時，運算復雜度高且無法確定求解精度。WANG L等[11]對時變模型采用自適應極值改進的響應面法進行求解，計算結(jié)果更為精確，但極值響應在多數(shù)情況下難以獲得精確分布。
為此，綜合考慮直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ写嬖诘膸缀握`差、刀具參數(shù)及動態(tài)不確定性等因素，以高斯過程(Gaussian process，GP)描述刀具切觸點的坐標誤差，構(gòu)建加工精度分析模型，并以精度指標迭代更新模型，最后通過蒙特卡洛法抽樣獲得最終可靠度預測。實驗結(jié)果驗證了算法的預測精度和計算效率。
1 側(cè)銑精度可靠度模型
1.1 直紋面切觸點坐標變換GP模型
含噪隨機函數(shù)f(x)的GP模型可由其均值和協(xié)方差表示，即f(x)=GP[m(x),k(x,x′)]，m(x)為均值函數(shù)，k(x,x′)為協(xié)方差函數(shù)，x′與x為不同的測試數(shù)據(jù)。
圖1(a)所示為工程中常用直紋面示意圖，其矢量表達式為var(y*)=S(u,v)=(1-v)B0(u)+vB1(u)，其中：B0(u)和B1(u)表示直紋面準線函數(shù)；u和v分別表示準線與直母線變量參數(shù)。圖1(b)為通過法向偏置[9]獲得的直紋面加工刀位示意圖。
圖 1 直紋面及偏置法加工刀位示意圖
(1)
式中：d、α值可通過數(shù)值迭代[7]計算；O2為刀具端面中心；O1O2為立銑刀的刀位矢量。
x=-Rcos(θ),y=Rsin(θ),z=b·θ/β
(2)
式中0<θ<β。
根據(jù)O1和O2坐標，直線Q1Q2方程為：
x=R·(1-cosβ)·z/b,y=R·sinβ·z/b
(3)
聯(lián)合式(2)和式(3)可以計算Pw和Pt，從而得到切觸點的理論誤差值，但由于式中R與b存在不確定項，且切觸點坐標無法使用顯式函數(shù)表示，因此Pw、Pt之間距離誤差值采用GP高斯隨機過程可表示為：
Y(s)=GP[m(s),k(s,s′)]
(4)
以Pts(ptsx,ptsy,ptsz)表示切觸點在刀具坐標系三坐標軸方向的GP預測值。
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E=T01T12T23Pw-T04T45T56T67T78Pts=(Ex,Ey,Ez,1)
(5)
式中：T67=E；Δz87為刀具實測長度方差；x、y、z及B、C為計算刀軸矢量后，通過運動學反變換計算的各軸瞬時參數(shù)；ΔβB和ΔγC分別為機床繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)動誤差；Δxx、Δyy和Δzz為機床沿坐標三軸的平動誤差，則模型在允許極限誤差情況下的狀態(tài)函數(shù)為：
g[X,Y(s),S]=δ-E(Δ)
(6)
式中：δ為允許極限誤差；X為模型的隨機不確定量；S為切觸點坐標范圍。
2 側(cè)銑精度GP模型求解
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將切觸點坐標范圍[0,S]離散為節(jié)點s=(s1,…,si,…,sn)，則得到協(xié)方差矩陣為：
(7)
式中k(si,sj)表示si與sj兩位置的協(xié)方差函數(shù)?？梢钥闯?，協(xié)方差矩陣∑是對稱正定的，此時，精度模型中Y(s)可以表示為帶有隨機常數(shù)Zi的確定函數(shù)的線性組合，即
(8)
式中：Z=[z1,z2,…,zp]為線性表示中P (9) 式中：ξ為臨界閾值，ξ=0.95。則式(8)可重新表示為g[X,Y(s),S]=g(X,Z,S)，即輸入變量轉(zhuǎn)換為兩個隨機變量[X,Z]，為此，以w=[w1,w2,…]替代[X,Z]作為輸入變量，其對數(shù)似然函數(shù)為： (10) 式中：I為P維單位矩陣；G為輸入的觀測值。最大化LGP可以計算模型的超參數(shù)，然后在抽樣數(shù)據(jù)下，通過極大似然估計可計算GP模型。對于測試樣本w′，GP模型預測值為： gs(w′,si)=u+rTC-1(G-Au) (11) 式中：u為預測均值；r描述了w′與訓練樣本w的相關性，即r(i)=Corr(w′,wi)。 設切觸點節(jié)點si上某樣本點wi被正確預測的概率為Pc(wi,ss)，將模型更新指標設為節(jié)點概率期望，當輸入m個有效樣本時，si上的模型精度指標為： (12) (13) 式中I(w)|[0,S]為n個離散節(jié)點的模型預測響應函數(shù)。通過蒙特卡洛法進行N次抽樣后可得切觸線精度可靠度值： (14) 為驗證文中側(cè)銑可靠度模型的有效性，以LU400 型五軸數(shù)控機床為實驗對象，采用文獻[12]中方法設計曲面，u0=0.02，σ0=0.008，立銑刀直徑為6mm。以n=21對u=11.507位置的母線進行節(jié)點離散，在機床上加工后通過三坐標測量機檢測并獲取2萬組訓練樣本，以獲得精確的預測數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行z-score標準化處理。 為獲得預測坐標值Pts的變化趨勢，圖3中所示為Y(s)表征的切觸點坐標在x軸方向的坐標變化，即ptsx變化。可以看出，在95%的預設置信度范圍內(nèi)，預測數(shù)據(jù)相對于原始數(shù)據(jù)具有更小的波動，有利降低部分失效數(shù)據(jù)的大幅值波動，從而可以確保在后續(xù)樣本點抽樣時的數(shù)據(jù)穩(wěn)定。同理，實驗測試發(fā)現(xiàn)，y軸與z軸的切觸點坐標ptsy和ptsz變化在 95%的置信度下，其預測數(shù)據(jù)的波動幅度更小。因此，3個坐標方向的數(shù)據(jù)預測響應值表明其更能反映訓練數(shù)據(jù)的變化趨勢。 圖3 切觸點坐標預測ptsx結(jié)果 圖4 節(jié)點s11模型精度指標變化 表1 實驗過程模型中間參數(shù) 文中模型通過蒙特卡洛法進行N次抽樣后運用指示函數(shù)計算切觸線精度可靠度值R(0,S)。表2所示為文中采用方法和傳統(tǒng)蒙特卡洛法求得的側(cè)銑加工可靠度值，表中節(jié)點區(qū)間為直紋面某母線的離散節(jié)點區(qū)間，Nc為兩種模型調(diào)用狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)。從表中結(jié)果可以看出，文中模型在3種節(jié)點范圍都取得較高的可靠度，同時，與傳統(tǒng)方法相比，其狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)減少了一個數(shù)量級，從而明顯提高了模型的計算效率。 表2 加工精度可靠度對比 圖5為參數(shù)為1的直母線參數(shù)在不同的節(jié)點范圍下兩模型的失效概率變化情況。從圖中可以看出，失效概率值隨著節(jié)點范圍的增大，開始時逐漸增大，后逐漸趨于平緩，其變化規(guī)律與傳統(tǒng)蒙特卡洛方法變化規(guī)律一致，說明文中直紋面?zhèn)茹娔Ｐ蛯崿F(xiàn)了對節(jié)點加工可靠度的有效預測。 圖5 位置節(jié)點的失效概率值 針對不確定因素導致直紋面?zhèn)茹娋阮A測困難及計算效率低的問題，提出了基于刀具切觸點GP模型的精度分析方法。首先以高斯隨機過程描述引入驅(qū)動誤差和參數(shù)不確定性的刀具切觸點坐標誤差，然后基于某型機床的誤差傳遞模型，利用多體理論構(gòu)建直紋面?zhèn)茹娂庸さ木确治瞿Ｐ?；通過帶有隨機常數(shù)Zi的確定函數(shù)的線性組合方式，簡化模型的輸入變量，并根據(jù)重要性指標和精度指標選擇有用樣本和更新模型；最后基于蒙特卡洛法獲得加工精度可靠度。實驗結(jié)果表明，所提方法準確預測了加工精度變化趨勢，具有較高的計算效率和預測精度，為直紋面?zhèn)茹娋阮A測提供了有效的方法。2.2 模型更新與求解
3 算法實驗驗證分析
3.1 基于實測數(shù)據(jù)的模型有效性實驗
3.2 模型性能比較實驗
4 結(jié)語
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