◎邵 云 （滁州城市職業(yè)學院，安徽 滁州 239000）

一、懷特海教育節(jié)奏

懷特海認為，教學應當遵循浪漫、精確、綜合運用三階段螺旋式上升的節(jié)奏．在浪漫階段，已有知識作為直接認知，學生此時的知識體系是凌亂的，未加整理和梳理．這個階段是精確階段的基礎，教師應最大限度地調動學生的積極性，把碎片化的知識調出來．精確階段需要對浪漫階段凌亂的知識體系進行梳理，對浪漫階段的一般事實做出揭示和分析，更為重要的是在分析過程中形成思維習慣，提升學習能力．綜合運用階段是在“浪漫”和“精確”之后又重回“浪漫”，它是一個循環(huán)的結束，又是另一個循環(huán)的開始．

二、高等數(shù)學教學現(xiàn)狀

“懷特海三段論”在中小學課程教學中得到了廣泛的應用，很多教師即便不了解這個理論，在實際的教學中也能遵循浪漫、精確、綜合運用的教育節(jié)奏，取得良好的教學效果．而在大學課程教學中，此理論鮮少應用．尤其是在著重計算的微積分部分，有關計算方法的研究論文很多，而對相關概念教學的研究幾乎是空白，也很少有教師深入細致地剖析概念，這在一定程度上導致學生對基本概念認知模糊，造成了思維的混亂，外部表現(xiàn)就是：無法靈活運用知識解決問題，學到的知識只是一個個碎片，無法形成知識體系．

本文以不定積分的概念教學為例，簡要分析如何在教學中靈活運用“懷特海三段論”幫助學生學習知識，形成知識體系．

微積分作為高等數(shù)學的重要組成部分，在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、提升數(shù)學素養(yǎng)方面起著舉足輕重的作用，它也是后續(xù)課程學習的基礎．在實際教學的過程中，教師往往看重計算，花費大量的時間和精力總結和介紹計算方法，對概念只是簡單地按照書本講解，很少進行剖析，更遑論與前、后知識的聯(lián)系和比較．學生雖然知道如何計算不定積分，但對其中的原理和蘊含的數(shù)學思想?yún)s知之甚少，甚至連基本的概念都無法論述清楚．這就導致學生在學習微積分時充滿困惑，也是很多學生覺得微積分難以理解的根本原因．

通常情況下，我們會把不定積分看作導數(shù)（微分）的逆運算，計算定積分的牛頓—萊布尼茨公式也需要借助不定積分，可見不定積分在微積分中占據(jù)著極其重要的位置．對不定積分概念的理解有助于加深對導數(shù)（微分）的認識，同時為定積分的學習奠定基礎．

三、應用“懷特海三段論”的不定積分概念教學

下面先介紹與不定積分相關的兩個定義．

定義1設函數(shù)F（x）和f（x）都在區(qū)間I 內有意義，且對任一x∈I，都有F′（x）＝f（x）或dF（x）＝f（x）dx，則稱F（x）是f（x）在I 內的一個原函數(shù)．

定義2函數(shù)f（x） 在某區(qū)間I 內的全體原函數(shù)稱為f（x） 在區(qū)間I 內的不定積分，記作

（一）浪漫階段

一般情況下，在介紹原函數(shù)的定義時，我們會提醒學生注意原函數(shù)前面的定語“一個”，而忽視對“F′（x）＝f（x）或dF（x）＝f（x）dx”的深入剖析；在介紹不定積分的概念時，我們只是簡單地將幾個符號介紹一下，由定義結合基本求導公式給出基本積分公式，而對于概念的深入分析少之又少．概念的模糊不清導致思維的混亂，混亂的思維導致學習定積分時困難重重．在浪漫階段，需要最大限度地調出與不定積分有關的概念，這些概念可以是混亂模糊的，也可以是精確表述的．為了幫助學生充分了解不定積分的相關信息，我們在這里提出三個問題．

問題1F′（x）＝f（x）與dF（x）＝f（x）dx 有無區(qū)別？

兩者的聯(lián)系是學生所熟知的：導數(shù)與微分除了形式上有區(qū)別，在計算上沒有差別．所以這里著重考察兩者之間的區(qū)別．

問題2不管課程的名稱是“高等數(shù)學”“經(jīng)濟數(shù)學”，還是“數(shù)學分析”，該部分內容都叫“微積分”．但是在微分部分，大部分篇幅都在介紹導數(shù)，對微分的介紹很少，那么為何不把該部分稱為“導數(shù)與積分”呢？

問題3探究的異同，以及與的異同．

解答以上三個問題時，需要調出的知識包括基本導數(shù)公式、復合函數(shù)求導數(shù)、微分的計算、鏈式法則等．

（二） 精確階段

我們以函數(shù)y ＝（3x ＋1）2求導數(shù)為例來比較復合函數(shù)求導數(shù)和鏈式法則．

由兩個計算過程我們可以清楚地看到，微分的計算更看重整體代換．因此，熟練掌握微分的計算，可以幫助學生加深對基本積分公式的理解．

在計算復雜函數(shù)的導數(shù)時，使用導數(shù)的符號不能清晰明了地表明導數(shù)是關于哪個變量進行的．函數(shù)不管多么復雜，其表現(xiàn)形式都沒有區(qū)別，這就使得學生在計算過程中會誤認為只能關于x 求導數(shù)．這種缺乏整體觀的慣性思維導致學生在面對積分變量這個概念時束手無策，從而難以靈活地進行積分的計算．

在實際計算微分時，我們通常采用先計算相應的導數(shù)、然后代入微分形式的做法，這對培養(yǎng)學生的整體代換思想是極其有害的．更重要的是，在理解導數(shù)公式和積分公式時，不能將整體代換思想靈活運用，會給理解微積分帶來負面影響．

下面把基本積分公式改寫成類似的形式：

由右側的公式能夠清晰地看到整體，其在應用方面明顯優(yōu)于左側的公式．學生在識記公式時只有把整體的概念代入其中，學習換元積分法時才會水到渠成．

（三）綜合運用階段

現(xiàn)在，我們可以引導學生將導數(shù)基本公式按照上述方法重新進行表述．例如，我們可以將冪函數(shù)的導數(shù)公式（xα）′＝αxα-1寫成（Wα）′＝αWα-1．當然，這種形式不太嚴謹，更嚴格的應該是（Wα）W′＝αWα-1，但這種形式很煩瑣，所以我們在對復合函數(shù)求導數(shù)時通常不采用這種形式．為了清晰明了地表達這個過程，我們借助于微分形式dWα＝αWα-1dW，在這個微分表達式中可以清晰地看到此時的導數(shù)是關于W 進行的，而W 可以是任何一種表達式．這是微分在表現(xiàn)形式上優(yōu)于導數(shù)的地方，也是我們將有關內容稱為“微積分”的一個原因．我們在用語言表述時，可以采用“α 次方求導等于α 倍的（α-1）次方”這樣一種表述方法，將W 或者x 都忽略掉，僅僅把運算表述清楚．從本質上說，導數(shù)或者積分都是一種運算，運算針對的是函數(shù)，函數(shù)主要考察的是對應法則也就是映射關系，而與變量的表現(xiàn)形式?jīng)]有關系．通過對前、后知識的梳理，將導數(shù)運算、微分運算、不定積分運算與函數(shù)和函數(shù)的運算聯(lián)系起來，學生不僅對不定積分的定義有了深入的了解，也對函數(shù)有了更加深刻的認識，從而搭建起了連接初等數(shù)學和高等數(shù)學的橋梁．

結 語

長期以來，數(shù)學教育，尤其是高等數(shù)學教育，只注重對學生計算能力的培養(yǎng)，而忽視了對基本概念的教學．基本概念的模糊不清勢必造成思維的混亂，從而導致學生對高等數(shù)學望而卻步．在概念教學中應用懷特海的教育節(jié)奏理論，能更加有效地幫助學生將已有的知識進行歸納梳理，形成知識體系，鍛煉思維，提升能力．