謝艷云 蔡文良

（1.2.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶 永川 402160）

自1990 年P(guān)ecora 等提出的混沌控制和混沌同步以來，混沌的研究已成為科學(xué)界的熱點(diǎn)之一，許多學(xué)者已廣泛關(guān)注對(duì)混沌和超混沌系統(tǒng)的控制研究，文獻(xiàn)[3]采用比例微分控制器實(shí)現(xiàn)了非自治系統(tǒng)和自治系統(tǒng)的混沌控制；文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步提出一類嚴(yán)格反饋型非線性系統(tǒng)的變比例增益的混沌控制；文獻(xiàn)[6]采用微分反饋控制法和控制法消除了一個(gè)新非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，文獻(xiàn)[7]采用單變量脈沖控制法實(shí)現(xiàn)了超混沌的控制。

本文在文獻(xiàn)[8-9]的基礎(chǔ)上，對(duì)四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng) 的超混沌控制問題進(jìn)行了研究，分別采用控制和比例微分控制兩種超混沌控制法消除了系統(tǒng)中的超混沌現(xiàn)象，對(duì)比這兩種控制方法，受控后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有明顯的區(qū)別，為該系統(tǒng)在工程上的實(shí)施提供理論依據(jù)，也為其他系統(tǒng)的超混沌控制提供了經(jīng)驗(yàn)。

一、四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[8]在三維耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)非線性控制器，構(gòu)成了一個(gè)新的四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)，該方程的狀態(tài)方程表示為:

文獻(xiàn)[9]對(duì)上述四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(1)進(jìn)行了詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)分析，采用MATLAB 軟件，利用四階龍格-庫塔方法對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值仿真，選取初始點(diǎn)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(1)于超混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，圖1 為系統(tǒng)的吸引子在X1-X2面上的投影圖。

圖1 系統(tǒng)(1)的吸引子圖

圖2 施加控制后系統(tǒng)(2)的分岔圖

在耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(1)中的第一個(gè)方程加入負(fù)反饋控制器，其中變量為k反饋增益，就可以得到受控系統(tǒng)的為：

這樣只要稍微改變受控系統(tǒng)中的反饋增益就可以將耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(1)中的超混沌運(yùn)動(dòng)控制到周期運(yùn)動(dòng)。數(shù)值仿真采用MATLAB 軟件和四階Runge-Kutta方法，得到受控系統(tǒng)(2)關(guān)于K 的全局分岔圖，如圖2 所示，從圖2 可以看出，隨著反饋增益的增大，受控系統(tǒng)(2)可以穩(wěn)定到周期軌道。選取反饋增益K=3.5 時(shí)，可以將受控系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到周期一軌道，圖3 為受控系統(tǒng)(2)穩(wěn)定到周期一軌道的吸引子在X1-X2和X1-X4面上的投影圖.

圖3 施加控制后系統(tǒng)(2)的吸引子圖

三、比例微分控制

現(xiàn)選取耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(1)中的狀態(tài)變量為X2受控變量，取比例微分得：

其中K1和K2是比例微分控制方法中的兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，可以通過調(diào)整K1和K2這兩個(gè)參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn)超混沌控制.現(xiàn)將耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(1)按如下方式進(jìn)行反饋

為了方便討論，不失一般性，令K1=1，對(duì)于實(shí)施反饋后的系統(tǒng)(3)，通過數(shù)值仿真，采用MATLAB 軟件，選取不同的K2，可以使實(shí)施反饋后的系統(tǒng)(3)穩(wěn)定到周期軌道。當(dāng)時(shí)K2=1.81 時(shí)，可將實(shí)施反饋后的系統(tǒng)(3)穩(wěn)定到單周期軌道，其吸引子在X1-X2、X1-X3、X1-X2-X3和面上的投影圖如圖4 所示。

圖4 系統(tǒng)(3)的相圖

四、結(jié)論

基于四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)模型，采用了兩種超混沌控制方法，選取合適的反饋增益和比例微分參數(shù)，能有效的使四維超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定到周期軌道，同時(shí)通過數(shù)值模擬驗(yàn)證，驗(yàn)證了這兩種超混沌控制方法的有效性，且為該系統(tǒng)的在實(shí)際工程應(yīng)用中提供理論依據(jù)。