顏閩秀, 徐 輝

(沈陽化工大學(xué) a. 信息工程學(xué)院, b. 遼寧省工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)重點實驗室, 遼寧 沈陽 110142)

自Lorenz系統(tǒng)[1]被提出后,混沌及其控制理論研究成為熱點,在通信保密,圖像視頻加密,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都得到一定的應(yīng)用[2-4].為提高混沌同步在保密通信中的安全性能,研究人員致力于復(fù)雜混沌系統(tǒng)的構(gòu)建,因此切換系統(tǒng)構(gòu)建成為一個新的研究方向[5-10].文獻(xiàn)[11-12]將Lorenz系統(tǒng)中第三維的非線性項xy改為x2,進(jìn)而構(gòu)建出有2個子系統(tǒng)的切換混沌系統(tǒng).文獻(xiàn)[13]更改Lorenz系統(tǒng)中的非線性項,同時引入線性反饋項x或y來構(gòu)成含有四子系統(tǒng)的切換系統(tǒng).文獻(xiàn)[14]將Chen系統(tǒng)中第三維的非線性項xy改為x2來構(gòu)建出有2個子系統(tǒng)的切換混沌系統(tǒng).文獻(xiàn)[15]將系統(tǒng)中一個變量的立方項添加到第一個方程中,構(gòu)成有2個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng).

不難發(fā)現(xiàn),上述構(gòu)建切換系統(tǒng)研究中,其核心是對變量進(jìn)行替換.本文基于Liu系統(tǒng)構(gòu)建,利用坐標(biāo)變換和參數(shù)符號切換的方法構(gòu)建多翼切換混沌系統(tǒng).相較于上述文獻(xiàn),本文的方法并不改變原系統(tǒng)的變量,且拓展了系統(tǒng)的機翼數(shù)目,有利于進(jìn)行同步控制.而在研究切換系統(tǒng)的同步控制問題時,文獻(xiàn)[14-15]將自適應(yīng)控制應(yīng)用在切換混沌系統(tǒng)同步中,取得了良好的實驗結(jié)果.但并沒有考慮干擾因素,在實際應(yīng)用中,不可避免地存在干擾.所以,本文針對干擾上下界未知和參數(shù)不確定的切換系統(tǒng)同步控制問題進(jìn)行進(jìn)一步研究,設(shè)計出基于指數(shù)干擾觀測的自適應(yīng)控制器,實現(xiàn)了其同步控制且無須不確定性和干擾的上下界.

1 Liu系統(tǒng)坐標(biāo)變換

Liu混沌系統(tǒng)模型為

(1)

實數(shù)a1,a2,a3在一定范圍內(nèi),式(1)會產(chǎn)生混沌吸引子,這里取a1=10,a2=15,a3=5.對式(1)作(x1,x2,x3)→(x1,x2,-x3)變換,得到式(2).

(2)

令(1,1,1)為式(1)的初始值,(1,1,-1)為式(2)的初始值,繪制它們的吸引子,如圖1所示(見封3).

從圖1中可以很直觀地判斷出式(2)是混沌的.下面,將進(jìn)行參數(shù)切換,使得式(1)和式(2)成為四翼的切換混沌系統(tǒng).

2 四翼切換Liu混沌系統(tǒng)

基于上述分析,提出四翼切換Liu混沌系統(tǒng)模型為

(3)

其中f為參數(shù)的切換函數(shù),用于實現(xiàn)式(1)與式(2)的切換,其表達(dá)式如下:

f=sgn(sin(ρt)).

(4)

式中,ρ≠0為一常數(shù),影響參數(shù)切換的周期.這里取ρ=0.05,則正弦函數(shù)的周期T=2π/ρ.在第1個T/2內(nèi)f=1,式(3)以式(1)的模型運行.在第2個T/2內(nèi)f=-1,式(3)以式(2)的模型運行.如此循環(huán).

為便于分析系統(tǒng)的切換過程,設(shè)置仿真時間為t=1+T.取(1,1,1)為式(3)的初始值,繪制其吸引子相圖,如圖2所示(見封3).

圖2中,圖例數(shù)字1代表第1個T/2,數(shù)字2代表第2個T/2以及下一階段的前1 s.由相圖不難看出,式(3)是混沌的,其吸引子具有4翼,其運行模態(tài)為式(1)→(2)→(1).

為進(jìn)一步驗證式(3)的混沌特性,使用MATLAB運算得到系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)為:λL1=0.862,λL2=0,λL3=-15.835,進(jìn)而計算出李雅普諾夫維數(shù)DL.

DL=2+(λL1+λL2)/λL3=2.054.

(5)

因λL1為正數(shù),DL為分?jǐn)?shù),所以可準(zhǔn)確判斷出切換式(3)是混沌的.

3 切換混沌系統(tǒng)的電路仿真

設(shè)計式(3)的混沌電路如圖3所示.

圖3中,x=x1,y=x2,z=x3,運算放大器為LM324,模擬乘法器的增益為0.1,脈沖電壓源F用來實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)切換.

圖3 切換Liu系統(tǒng)混沌電路Fig.3 Chaotic circuit of switching Liu system

由電路理論可得式(3)的實現(xiàn)方程為

(6)

切換函數(shù)f由脈沖電壓源實現(xiàn),脈沖電壓源F內(nèi)部參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 脈沖電壓源參量Table 1 Parameters of pulse voltage source

將式(6)與式(3)比較,對電容和電阻可作如下取值:

(7)

基于上述數(shù)據(jù)進(jìn)行電路仿真實驗,實驗結(jié)果如圖4所示.

圖4 吸引子平面圖Fig.4 Plane phase diagram of attractor

從圖4中可以看出,電路仿真結(jié)果與上文數(shù)值仿真的結(jié)果基本一致,這驗證了切換系統(tǒng)實現(xiàn)的可能性.

4 切換系統(tǒng)的同步控制

4.1 理論分析

取式(3)作為驅(qū)動系統(tǒng),并取如下響應(yīng)系統(tǒng):

(8)

(9)

針對參數(shù)不確定和干擾上下界未知的混沌系統(tǒng),為實現(xiàn)其同步控制,將首先設(shè)計指數(shù)干擾觀測器,實現(xiàn)對干擾的補償,加快系統(tǒng)的同步響應(yīng)速度.觀測器設(shè)計的基本思想是用估計輸出與實際輸出的差值對估計值進(jìn)行修正,因此設(shè)計輔助指數(shù)干擾觀測器為

(10)

(11)

將式(9)代入式(10)可以得到

(12)

將式(12)代入式(11),得到指數(shù)干擾觀測器為

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(14),則

由式(16)可得到觀測誤差方程并求其解,則

(17)

可見通過取適當(dāng)?shù)膋值,可使觀測誤差按指數(shù)速率逼近于0.針對不確定參數(shù),設(shè)計其自適應(yīng)律為

(18)

(19)

(20)

(21)

定理1 在觀測器式(13)、自適應(yīng)律式(18)和式(20)、及控制器式(21)的作用下,響應(yīng)系統(tǒng)式(8)將與驅(qū)動系統(tǒng)式(3)實現(xiàn)同步.

證明1 構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù)

(22)

對式(22)求導(dǎo),則

(23)

將式(9)代入式(23),有

(24)

將式(18),式(21)代入式(24)計算并化簡,則有

將式(16),式(20)代入式(25),計算得

因為k>0,那么對式(26)進(jìn)行放縮計算,則有

因為ei≤|ei|,將式(19)代入式(27)進(jìn)行放縮計算,則有

綜上,定理1證畢.

4.2 數(shù)值仿真

綜上所述,文中設(shè)計的基于干擾觀測的自適應(yīng)控制器能夠?qū)崿F(xiàn)切換混沌系統(tǒng)的同步控制且無須不確定參數(shù)和外加干擾的上下界,具有有效性和可行性.

5 結(jié) 論

本文提出了坐標(biāo)變換后切換參數(shù)符號的方法來構(gòu)建多翼切換混沌系統(tǒng),并成功構(gòu)建出四翼的切換Liu系統(tǒng),通過動力學(xué)特性研究驗證了其混沌特性.針對不確定參數(shù)和未知上下界干擾的混沌系統(tǒng)同步控制問題,設(shè)計了基于指數(shù)干擾觀測器的自適應(yīng)同步控制器,實現(xiàn)了四翼切換混沌系統(tǒng)的同步控制.該構(gòu)造方法和同步控制方法在通信保密領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用性.