尹文軍

(南京市浦口區(qū)行知小學(xué)，江蘇南京，210000)

深度學(xué)習(xí)是源于人工智能網(wǎng)絡(luò)的一個概念，后被教育工作者引入教育教學(xué)，一般指在真實復(fù)雜的情境中，學(xué)生運用所學(xué)的知識和技能，對信息進行深度加工，深刻理解和掌握復(fù)雜概念的內(nèi)在含義，并主動建構(gòu)知識體系，進而以知識遷移推進實際問題解決的學(xué)習(xí)過程、狀態(tài)和結(jié)果。[1-2]在教學(xué)中，為實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“深一度”，教師需要超越表層的符號教學(xué)，[3]對學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)路徑、學(xué)習(xí)狀態(tài)做深入細致的思考和探究。

一、研究學(xué)習(xí)材料的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實現(xiàn)本質(zhì)的“深一度”

什么是數(shù)學(xué)本質(zhì)？不同角度的分析可能會有不一樣的理解。不少學(xué)者認為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是探索和研究數(shù)學(xué)所依賴的那些基本思想，也就是“將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西”，主要包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)建模的思想。最近，也有學(xué)者基于數(shù)學(xué)史的沿革，提出數(shù)學(xué)本質(zhì)就藏在數(shù)學(xué)演變的線索中，那些一直保留的并且不斷建構(gòu)和延展的數(shù)學(xué)內(nèi)容，理應(yīng)就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。此話說起來簡單，但尋找起來卻不是一件容易的事。

要想對“什么是數(shù)學(xué)的本質(zhì)”給出一個清晰的、公認的表達，并不是一件容易的事情。問題是一線教師應(yīng)該怎樣凸顯相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進而有效落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的改革目標。筆者認為，天下大事必作于細，天下難事必作于易，教師應(yīng)該從熟悉的教材和課堂入手開展實踐和思考。

“認識面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。面積的本質(zhì)是什么？在古代，為了確定農(nóng)業(yè)收成、計算稅收，必須丈量土地，由此產(chǎn)生了面積的概念。中國古代形象地用“冪”或“積”來表示面積。其中，“冪”指遮蓋物品的方形布，“積”指積累。因此，面積的本質(zhì)是“面的積累”。小面積大面，是物體表面的本質(zhì)屬性，非比較出來的大小，而是積累起來的“多少”。更重要的是，“冪”是測量面積的標準，即單位。所以，人類對面積的認識源于測量。

基于對面積本質(zhì)的認識，教師在設(shè)計教學(xué)時組織學(xué)生進行以下測量活動：(1)用鉛筆盒的面測量書本面，說說書本的面里大約有幾個鉛筆盒的面；(2)用書本的面測量課桌的面，說說一張課桌面里大約有幾個書本面；(3)觀察并說說黑板的面大約有幾個課桌的面；(4)用規(guī)定大小的紙片測量一張A4紙的大小。通過多個測量任務(wù)，學(xué)生運用了不同的標準進行測量，在此過程中感受到面積源于對物體表面的測量，測量面積要有一定的標準，面積的大小是指大面積里含有多少個小面積等本質(zhì)含義。測量活動促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深度認識。

二、適時追問核心問題，實現(xiàn)過程的“深一度”

估算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點和難點。在第一學(xué)段，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》將“能結(jié)合具體情境，選擇適當?shù)膯挝弧弊鳛楣浪愕暮诵?。在人教版三年級“用估算解決實際問題”中有這樣一道例題：“每張門票8元，29位同學(xué)參觀，帶250元夠不夠？92位同學(xué)參觀，帶700元夠不夠？帶800元呢？”在解決此題的過程中，學(xué)生會用“30”和“90”分別作為“29位同學(xué)”和“92位同學(xué)”估算的單位，其估算的結(jié)果是可靠的。但是，在解決“800元夠不夠”的問題時，大多數(shù)學(xué)生仍然以“90人”為單位進行估算，很少有學(xué)生想到用“100人”作估算單位。這種情況下，教師可適時追問兩個問題：(1)以“90人”為單位進行估算，其估算結(jié)果可靠嗎？(2)由“帶800元”和“每張門票8元”這兩個條件，你還能想到什么？通過追問，教師啟發(fā)學(xué)生可以用“100人”做單位進行估算，學(xué)生比較之后發(fā)現(xiàn)，其估算結(jié)果比以“90人”為單位進行估算更可靠。

三、追求數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化認識，實現(xiàn)認識的“深一度”

平移是物體運動的一種形式。在蘇教版四年級下冊“圖形的平移”中，教師一般通過數(shù)格子的方式讓學(xué)生體會運動的方向、距離以及圖形平移前后的大小、形狀及位置關(guān)系。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生對平移的認識往往是零碎的。為了幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識體系，教師可以嘗試以下學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)畫，畫出金魚圖平移的路線；(2)數(shù)，金魚圖向( )平移( )格。該任務(wù)具有一定的開放性，學(xué)生可以采用不同的方式進行探索、解答，呈現(xiàn)出多種不同的畫法和數(shù)法，如圖1—圖3。

圖1 生1

圖2 生2

圖3 生3

在學(xué)生交流平移想法之后，教師可以把學(xué)生的幾幅平移路線放在同一張圖上，幫助學(xué)生通過觀察、比較、分析，提煉出平移運動的元素和特征，如圖4所示。

圖4 平移運動的元素和特征

從圖4可知，以平移的路線為核心，學(xué)生動態(tài)地認識了平移的本質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行且相等。

四、尋求關(guān)聯(lián)、溝通的數(shù)學(xué)方法，實現(xiàn)方法的“深一度”

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)。由于思維方式和思維能力的差異，在解決具體數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生采用的方法也不盡相同。以人教版四年級“雞兔同籠”問題為例?！盎\子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”為了解決這個問題，學(xué)生采用了多種方法，其中，比較典型的有畫圖法、列表法、直接計算法等。

生1：我是畫圖的，我先畫8個頭，每個先畫兩只腳，再一個一個添上兩只，邊畫邊數(shù)，數(shù)到26只，發(fā)現(xiàn)雞有3只，兔有5只。

生2：我是列表的，從雞有8只，兔有0只開始，一個一個推算出雞有3只，兔有5只。

生3：我是列式計算的，如果都是雞，就有8×2=16只，……

圖5 解題思路

當學(xué)生匯報完各自的想法后，教師對這幾種想法進行關(guān)聯(lián)和溝通，繪制出如圖5的解題思路。通過關(guān)聯(lián)，學(xué)生意識到，雖然表達形式不同，但它們的共同點都是先假設(shè)這8只全是同一種動物(雞或兔)，再根據(jù)題中條件進行調(diào)整。如此，學(xué)生對方法的認識得到升華，思維得以進階。

五、進行有效的容錯、化錯，實現(xiàn)思維“深一度”

基于小學(xué)生的認知特點，在帶著問題和任務(wù)自主探索的過程中，學(xué)生會出現(xiàn)多種既有共性又有個性的結(jié)果，也會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤的結(jié)果。對于錯誤的結(jié)果，教師更多的應(yīng)應(yīng)是包容和合理利用。蘇教版五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”的計算一課中，學(xué)生計算3.8×3.2時出現(xiàn)了下面兩種典型錯誤：

圖6 學(xué)會繪制的解題圖形

錯誤1：

錯誤2：

3.8×3.2=9.16(平方米)

此時，教師不必急于判斷對錯，而是放手讓學(xué)生嘗試用不同的方法畫一畫、算一算房間的面積。在此過程中，部分學(xué)生畫出了如圖6的圖形?！跋裆厦娴乃惴?，哪幾塊面積沒有算出來呢？”通過畫、質(zhì)疑、爭辯、解釋，教師讓學(xué)生明晰錯誤，進而真正理解小數(shù)乘法的算理。