徐丁點

π可以這樣來計算

在探索π的道路上，不同國家的數(shù)學(xué)家們采取了不同的方法。中國人對π值的計算當(dāng)屬劉徽和祖沖之兩位數(shù)學(xué)家，他們用割圓術(shù)的方法計算出了π值;國外的一些數(shù)學(xué)家則利用一些數(shù)學(xué)公式計算出了π值，這些美妙的公式讓眾多數(shù)學(xué)愛好者趨之若鶩。就連當(dāng)代的數(shù)論大師阿特勒·塞爾伯格都表示之所以喜歡數(shù)學(xué)，是因為德國的萊布尼茨給出的公式深深地打動了他，奇數(shù)1、3、5、7……以如此簡潔的形式組合在一起竟可算出神秘的π，這就宛如一幅優(yōu)美的畫卷或是一首動聽的歌曲，激起了人們對數(shù)學(xué)研究的熱情。

如果說π的精確公式讓人感受到數(shù)學(xué)的簡潔和精妙，那么法國科學(xué)家蒲豐的投針實驗則開啟了用統(tǒng)計思維觀察和分析世界的大門。這個實驗操作很簡單：找一根粗細均勻、長度為d的細針，并在一張白紙上畫一組間距為l的平行線，然后反復(fù)將針任意投擲在白紙上，記錄下針與任意平行線相交的次數(shù)，通過分析可以得到針與任意平行線相交的概率為 ，將此公式變形可得到圓周率的估計公式 。如果n次中有k次與平行線相交，概率p就可以用近似，當(dāng)投擲的次數(shù)越多，近似程度就越高。

韋達（16 世紀(jì)） 法國利用倍角公式和數(shù)列極限給出根式形式公式

萊布尼茲（17 世紀(jì)） 德國從一個簡單的反三角函數(shù)恒等式出發(fā)，借助求導(dǎo)、級數(shù)展開和定積分等工具得出

蒲豐實驗是人類首次使用隨機方法處理確定性問題，開辟了π值估計的一條全新的道路。在此基礎(chǔ)上，人類依托計算機技術(shù)的進步，孕育出一種全新的數(shù)學(xué)方法——隨機模擬法（又稱蒙特卡洛法），這種方法已成為現(xiàn)代社會解決復(fù)雜實際問題的一種強大工具之一。

π的妙用

人們對π的小數(shù)位數(shù)字追求的動力，一方面來自于破記錄的好勝心，另一方面也源于現(xiàn)實生活的實際需要。在計算機技術(shù)高度發(fā)達的今天，如何檢測一臺計算機的性能以及比較兩臺計算機的性能差異是很現(xiàn)實的問題。而π作為一個無限不循環(huán)小數(shù)，又擁有眾多的計算方法，自然適合于計算機進行運算并作為檢測指標(biāo)。

利用對π位數(shù)的計算已經(jīng)成為工程師檢驗計算機可靠性、精確性、運算速度以及容量的有力手段。讓檢驗過的π值計算程序在待測機上運行，看是否能夠多次準(zhǔn)確無誤地計算到預(yù)估的精度，從中發(fā)現(xiàn)計算機硬件或軟件中存在的故障，這對于投入使用之前的新機測試具有重要意義。例如1986年，一個π的計算程序成功檢驗出一批“克雷-2（CRAR-2）”型電子計算機中的一臺有某些模糊的硬件問題;又例如當(dāng)英特爾公司推出奔騰CPU時，就通過對π的計算找到程序設(shè)計上的一個小問題。到了1995年，日本東京大學(xué)計算機專家更是制作出世界上第一個計算π的軟件——Super π，可用于測試計算機CPU的穩(wěn)定性和運算速度。

中國人用割圓術(shù)計算π 值

高效地算出更多位數(shù)的π值，推動著計算機技術(shù)和制造業(yè)不斷向前發(fā)展。正如屢次創(chuàng)造計算π值記錄的日本計算機專家金田康正所說：“挑戰(zhàn)圓周率的計算記錄對于計算機的性能和改進是非常有益的?！迸c此同時，計算機也能幫助檢驗π值計算公式的優(yōu)劣。用一臺計算機在相同條件下采用不同公式計算π到相同位數(shù)，哪一個公式所需時間少，則哪一個公式就更優(yōu)越。1991年，兩位中國工程師李文軍和梁建平在同一臺計算機上，分別用高斯的公式? 和李文軍的公式? 進行前20位π值計算，發(fā)現(xiàn)后者所用時間更短，所以更優(yōu)越。

沃利斯（17 世紀(jì)） 英國將萊布尼茲的公式通過簡單的代數(shù)轉(zhuǎn)換，形成連分?jǐn)?shù)形式

歐拉（18 世紀(jì)） 瑞士利用多項式理論給出無窮級數(shù)形式公式

在信息傳播領(lǐng)域，為保證信息交換過程中的安全，就需要研制安全可靠的加密機制，密碼學(xué)隨之誕生和發(fā)展。由于π擁有無限數(shù)位，并且其數(shù)位數(shù)字的排列具有隨機性和均勻分布的特點，所以能夠提供安全而充足的加密編碼，同時消除被統(tǒng)計分析方式破解的風(fēng)險，因此常數(shù)π在密碼學(xué)中也發(fā)揮著獨特的作用?；讦械乃惴ㄓ泻芏喾N，例如有一種矩陣加密算法是從π的數(shù)位數(shù)字中提取加密矩陣元素，得到的矩陣沒有任何規(guī)律性，加密后的密文也沒有規(guī)律性。密文的解密只有選擇相同的加密矩陣，算出逆矩陣，用逆矩陣左乘密文即可。對于不同保密等級的信息，可以通過設(shè)定加密矩陣的階數(shù)來實現(xiàn)密碼復(fù)雜度的變化。而π作為一個取之不盡的“碼源”，保證了任意階矩陣構(gòu)造的可能。

圓周率π自從誕生之日起，便與人類一起同行。它所包含數(shù)字的無窮性和均勻分布性為其增添了神秘色彩，它的精確表達公式展現(xiàn)出清晰深刻的一面，它的廣泛應(yīng)用又拉近了與人們的距離。π就像一個精靈，自由地跳動在理想和現(xiàn)實兩個世界中，你是否會愛上這個神奇的精靈呢？