張旭穎 靳銘宇

周期性密鋪與非周期性密鋪

重復排列某一單元形，使其能夠不留任何縫隙且完全無重疊的填滿自身所在的整個空間，叫做圖形的密鋪。顯然，正方形、正三角形和正六邊形是可以的。首先，正方形、正三角形、正六邊形的邊長具有等長性。除此以外，正方形四個內角均為90度;正三角形三個內角均為60度，正六邊形六個內角均為120度。它們的內角都是360度的約數。但通過正五邊形在進行平鋪時，不能做到無縫拼接，因為正五邊形的每個角的度數為108度，如果3個正五邊形進行拼接，那這3個正五邊形的角度之和為324度，而4個正五邊形進行拼接的話，度數之和就變成為432度，均不等于360度，因此，只用單純的正五邊形無法進行平面的無縫的周期性密鋪。

正多邊形的密鋪

但如果我們用另一種形狀來補全正五邊形拼接圖案缺口的話，就可以得到密鋪的平面。實際上，若采用多種形狀的瓷磚互相組合，無窮盡的密鋪圖案就會隨之出現。值得注意的是，這種方法得出的圖案與正方形密鋪的圖案有所不同，正方形所組成的圖案具有平移對稱性，例如若將正方形密鋪平移一個正方形的長度，則可以得到相同的圖案，它存在正方形這個可自我重復的單元形，即它是周期性的;而采用多種形狀互相組合的圖案則可能是非周期性的，如果將圖案分割無窮次，它們就可以被看做是鋪展在無窮平面上，由此便能算出兩種貼磚數量的整體比例，對于這種計算，重復圖案的比例一定是有理數，如果不是，就說明圖案永遠不會完全重復。

彭羅斯鑲嵌不重復的奧秘

1973年，英國數學家和物理學家羅杰·彭羅斯提出了一種具有五次旋轉對稱的拼圖。正五邊形可以分割為六個小的正五邊形和五個三角形，而對小五邊形進行再分割后，就產生了一個五角星形和一個類似帆船的形狀。這4種形狀以不規(guī)則、非周期的方式延展，只利用這4個形狀，就能對平面進行密鋪，而不存在一個可重復的單元形。這就是非周期性的鑲嵌圖案。隨即，這種密鋪圖案被命名為P1型彭羅斯鑲嵌。

正五邊形的分割

第二年，彭羅斯又對這些形狀進行修改，他將一個菱形分割成兩部分，他運用這分離的兩部分，創(chuàng)造出了一種新型的拼接方式。這兩種圖案分別形象地被稱為“風箏”和“飛鏢”。這便是P2型彭羅斯鑲嵌。

但無論是風箏形還是飛鏢形，這些角的度數，都是36度的整數倍，而這幾種度數通過不同的組合方法，都可以組成360度，此外，菱形的四條邊具有等長性，且分割出的飛鏢和風箏的邊都有互相對應的等長的邊。邊緣可以完全對應，角度也可以完全對應，因此，飛鏢形和風箏形可以進行平面的無縫拼接。

P2 型彭羅斯鑲嵌，由風箏形和飛鏢形構成

而彭羅斯創(chuàng)造出的第三種非周期平面圖形密鋪方案（P3型彭羅斯鑲嵌）是由一個36度、72度菱形和一個72度、108度菱形構成的。這三種鑲嵌方式本質上都是五重旋轉，只是表現形式不同。

暗藏玄機的彭羅斯鑲嵌

彭羅斯發(fā)明的圖案的拼接方式，實際上是把人工發(fā)明的黃金比例的數學概念與日常生活中的數學關聯到了一起。 P1型的彭羅斯鑲嵌通過五邊形的不斷膨脹、不斷延伸而成，它的膨脹率為黃金分割值的平方;P2型彭羅斯鑲嵌中，兩個飛鏢與風箏圖案膨脹一次后其風箏圖案和飛鏢圖案的數量之比等于黃金分割值; P3型的基礎圖形為菱形，經過一次延伸后，面積為原來的黃金分割值的平方倍，它們都和黃金分割有著密不可分的聯系。也許這也是它們看起來如此美妙的原因。

由“風箏”和“飛鏢”組成的圖案，看似規(guī)律，其實永遠不會自我重復

彭羅斯鑲嵌在建筑上的應用——美國舊金山公交樞紐大樓

數學的吸引力就在于此，它將思維滲透至身邊不起眼的事物中，又蔓延至浩瀚無邊的宇宙。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基曾說：“不管數學的任一分支是多么抽象，總有一天會應用在這實際世界上?！庇盟伎嫉难酃饪词澜纾銜l(fā)現，從不起眼的地磚到飛在天空的風箏都蘊含著數學的魅力。