馮尤嘉

肉眼可見的數(shù)字和音樂

音符與數(shù)字

在簡譜中，我們最為熟悉的音符do至si被表示為數(shù)字1～7。在數(shù)學(xué)中，數(shù)字0～9組成了千奇百怪的算式，因此，音樂中的1～7也能構(gòu)成千變?nèi)f化的樂章。

值得一提的是，鋼琴鍵在一個(gè)八度中共13個(gè)鍵，由8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵組成。其中5個(gè)黑鍵又分成2個(gè)一組和3個(gè)一組，正好和斐波那契數(shù)列（黃金分割數(shù)列）中連續(xù)的5個(gè)數(shù)字——2、3、5、8、13重合，不得不說是一個(gè)美妙的巧合。

節(jié)拍與分?jǐn)?shù)

鋼琴黑白鍵上的音名、唱名、簡譜

在一首音樂中，我們時(shí)常會(huì)聽到幾個(gè)樂章，樂章中又分成小節(jié)，小節(jié)又能細(xì)分成不同的音符。每個(gè)音符所對(duì)應(yīng)的節(jié)奏都能夠用分?jǐn)?shù)來表示，例如八分音符代表著1/8，即8個(gè)八分音符能夠組成一拍。利用不同長度的音符，自然就能組成各式各樣的節(jié)拍，而這些都能夠用分?jǐn)?shù)來表示。以民族樂曲《茉莉花》舉例，第一個(gè)小節(jié)分別由1個(gè)四分音符和6個(gè)八分音符組成，寫作算式就是：1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/4，正好是一個(gè)小節(jié)。在更復(fù)雜的編曲中，要用到各種長短不一的音樂符號(hào)，涉及各種附點(diǎn)音符和休止符，可以說要想編出精妙而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那?，還需要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)才行。

旋律與幾何

在編曲中，比較常用的一種手法是將一段旋律以相同的節(jié)奏，但整體向上或向下挪動(dòng)幾個(gè)音符。用數(shù)學(xué)幾何來解釋的話就是“平移”。例如貝多芬著名的《命運(yùn)交響曲》（又名《c小調(diào)第五交響曲》），樂曲開頭充滿了震懾力，再細(xì)看樂譜，我們能夠清晰地看出，后兩個(gè)小節(jié)是將前兩個(gè)小節(jié)的音符進(jìn)行了垂直平移，使得后兩個(gè)小節(jié)的音調(diào)整體變得更為深沉和強(qiáng)烈。

《命運(yùn)交響曲》樂譜進(jìn)行的幾何平移

還有一種編曲手法被稱為“逆行”，即將一段旋律從后向前重復(fù)一遍，使旋律形成左右對(duì)稱的“鏡像”。這一手法在譜面上的表現(xiàn)，不正像在平面直角坐標(biāo)系上的水平翻轉(zhuǎn)嗎？

在編曲中用到的“逆行”手法，使旋律形成左右對(duì)稱的“鏡像”

編曲美學(xué)與黃金分割

黃金分割可以說是數(shù)學(xué)在藝術(shù)領(lǐng)域上的一個(gè)突出體現(xiàn)。在一個(gè)線段AB中，取一點(diǎn)C，使得AC∶BC = BC∶AB，而這個(gè)比值就是0.618。

黃金分割線

有趣的是，在許多著名的音樂作品里，高潮往往安排出現(xiàn)在一首曲子中心點(diǎn)偏后的位置，從而在樂曲中形成了“黃金分割”比例。例如肖邦的《降D大調(diào)夜曲》，不計(jì)算前奏的話共有76小節(jié)。76x0.618=46.97，按照黃金分割的理論，高潮部分應(yīng)該出現(xiàn)在46小節(jié)。而《降D大調(diào)夜曲》力度最強(qiáng)的高潮正是出現(xiàn)在46小節(jié)，可謂是對(duì)黃金分割的絕佳詮釋。另據(jù)美國數(shù)學(xué)家喬巴茲統(tǒng)計(jì)，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，不禁令人感嘆這是多么奇妙的巧合。

藝術(shù)之美都是貫通的，無論是我們熟知的繪畫、雕塑作品，還是音樂作品，只要其中運(yùn)用了黃金分割，

弦振動(dòng)頻率示意圖

那這樣的作品往往更受人青睞，這無疑是數(shù)學(xué)在音樂乃至藝術(shù)中的體現(xiàn)。

優(yōu)美的弦振動(dòng)公式

提到音樂，就不得不提樂器。在樂器中，具有一定的規(guī)格是十分重要的。樂器的每根弦、每個(gè)氣孔、琴碼或踏板的位置都要根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)精心調(diào)試，達(dá)到分毫不差。否則，一件樂器在不同的師傅手中，就會(huì)出現(xiàn)不同的調(diào)式。如樂團(tuán)中常見的樂器長笛，通過向管內(nèi)吹氣，氣流在管中碰撞，并通過共鳴管產(chǎn)生共鳴，按下按鍵則能夠改變笛聲的音色音調(diào)。這樣精妙的設(shè)計(jì)，自然需要統(tǒng)一的制作，因此我們看到在市面出售的長笛也會(huì)標(biāo)明笛子的規(guī)格。

制作樂器利用的就是聲音的振動(dòng)原理。18世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了弦振動(dòng)頻率的公式：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中f表示頻率;l表示弦的長度;T表示弦的張力;ρ表示弦的密度。

這表明對(duì)于材質(zhì)與粗細(xì)均相同的一根弦，頻率與長度成反比;相差一個(gè)八度的兩個(gè)音振動(dòng)頻率之比為2∶1。按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，我們就能夠準(zhǔn)確地測量樂器的音高了。假定一根空弦發(fā)出的聲音是do，則1/2長度的弦發(fā)出的是高八度的do;以此類推，8/9長度的弦發(fā)出re的音，64/81長度的弦發(fā)出mi的音，3/4長度的弦發(fā)出fa的音，2/3長度的弦發(fā)出so的音，16/27長度的弦發(fā)出la的音，128/243長度的弦發(fā)出si的音。若要發(fā)出高八度或低八度的音，也可以通過此公式來推理得出。

樂器是按照一定的規(guī)格制定的，而規(guī)格的統(tǒng)一就是標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化其實(shí)就是數(shù)學(xué)化。這樣統(tǒng)一化的生產(chǎn)過程，就是數(shù)學(xué)參與在音樂中的最好證據(jù)之一。

熱愛音樂的數(shù)學(xué)家

數(shù)學(xué)家與音樂的關(guān)系可以追溯到古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，該學(xué)派信奉“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為世界是嚴(yán)整的宇宙，整個(gè)天體體現(xiàn)著數(shù)的和諧，這種和諧使浩瀚無垠的宇宙處于一種紛繁有序的永恒運(yùn)動(dòng)之中。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派強(qiáng)調(diào)宇宙天體、音樂、數(shù)字、神和人的心靈之間的和諧關(guān)系，提出了“美是和諧”的概念。一次，畢達(dá)哥拉斯路過一個(gè)鐵匠鋪，悅耳的打鐵聲引起了他的注意。于是他走入店中仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)有4個(gè)鐵錘的重量比恰為12∶9∶8∶6，將它們分成兩兩一組來敲打，都能發(fā)出和諧的聲音。他們的組合包括12∶6=2∶1的組合，12∶8=9∶6=3∶2的組合，12∶9=8∶6=4∶3的組合。畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步用單弦琴加以驗(yàn)證，最終經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)，他將這幾種美妙的音調(diào)歸結(jié)為：八度音、五度音和四度音，對(duì)應(yīng)2∶1、3∶2和4∶3。這可以說是最早用數(shù)學(xué)方法研究和諧美的實(shí)例了。

畢達(dá)哥拉斯用單弦琴反復(fù)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造出八度音、五度音和四度音

畢達(dá)哥拉斯還曾提出十二等程律（又稱十二平均律）的概念。在之前我們已經(jīng)了解到音是由振動(dòng)產(chǎn)生的，十二等程律指的就是將一個(gè)八度的頻率平均分成十二等分，每分相差一個(gè)半音，也就是100音分，是最主要的調(diào)音法。用數(shù)學(xué)的方法表示，就相當(dāng)于一個(gè)有12項(xiàng)的等比數(shù)列。每個(gè)音的頻率都為前一個(gè)音的2的12次方根。而明朝數(shù)學(xué)家朱載堉則在1584年將其理論化，他是世界上首位推算并制造出十二音律樂器的人。在當(dāng)時(shí)常用五聲音階“宮、商、角、徴、羽”的中國，是他力排眾議，創(chuàng)造了十二音律，也就是我們現(xiàn)在常用的七聲音階。他用竹子制造而成的36根律管，分別為倍率管12根，正律管12根與半律管12根;其口徑、長度都經(jīng)由嚴(yán)密的測算得出，是世界上最早的十二音律樂器。

朱載堉設(shè)計(jì)制造的律管分別為倍、正、半三種規(guī)格

無獨(dú)有偶，德國著名作曲家巴赫所著的《平均律鍵盤曲集》，根據(jù)名稱來看，可能就是為了十二音律樂器所設(shè)計(jì)。東西方的數(shù)學(xué)家們刻苦鉆研十二音律，努力算出更精確的比率來使樂器的音調(diào)達(dá)到完美。最精確的比率換算成小數(shù)大約為1.059464094，即100音分。

古往今來，數(shù)學(xué)界的許多偉人也被音樂的魅力深深打動(dòng)。英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特曾說：“難道不可以把音樂描述為感覺的數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)描述為理智的音樂嗎？”，來自法國的傅立葉則認(rèn)為，所有的樂聲都能夠由數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。

創(chuàng)立了笛卡爾坐標(biāo)系的笛卡爾不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是一位音樂天才。笛卡爾曾說過：“音樂之美就是數(shù)學(xué)之美?！彼趯ふ覕?shù)學(xué)中的靈感時(shí)，將自己的想法融入音樂，音樂與數(shù)學(xué)相得益彰，給了他無數(shù)啟發(fā)。

音樂是感性的美，數(shù)學(xué)是理性的美。但無形中，二者又彼此糾纏，看似不同，實(shí)際密切聯(lián)系。為了體驗(yàn)它們的魅力，人們?cè)跀?shù)學(xué)和音樂的世界里不斷探索。