數(shù)學(xué)思維藝術(shù)的啟蒙

數(shù)字和數(shù)學(xué)最初的概念來自于現(xiàn)實(shí)世界，來自于人和動物、石頭、土地——古埃及壁畫中就描繪了記錄官丈量麥田的場景。對古人而言，數(shù)字是實(shí)在的，數(shù)學(xué)也是實(shí)用的。計數(shù)應(yīng)該說是最早的數(shù)學(xué)思維，那么計數(shù)到底指的是什么呢？其實(shí)，早期計數(shù)的概念可能只涉及“質(zhì)”而不涉及“量”，也就是說，它一定會涉及具體形象的實(shí)物，而不像現(xiàn)代數(shù)學(xué)那樣抽象。

古 埃及壁畫中記錄官員丈量麥田的圖景

人類本質(zhì)能力的高峰（漫畫）

史前時代與最初的文明孕育出了數(shù)學(xué)的概念，并被人們運(yùn)用在實(shí)際生活中（如瑪雅人的“結(jié)繩記事”等），因此在人類歷史上，古典時代之前的數(shù)學(xué)主要著眼于數(shù)牲口、丈量土地、糧食稱重以及房屋建筑等。而古代希臘、埃及、巴比倫、中國和印度等文明也共同為算術(shù)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和數(shù)論的形成打下了基礎(chǔ)。左邊這幅漫畫表明，在生物界，也只有進(jìn)化到一定階段的人類，才有可能開始用數(shù)學(xué)表達(dá)對世界的抽象認(rèn)識。

描繪拓?fù)鋵W(xué)開端的畫作——《柯尼斯堡7橋問題》

而右頁左下角這幅中世紀(jì)的版畫，則驗證了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論——“比例”在數(shù)學(xué)與音樂中應(yīng)該是一種共用的形式。作為享譽(yù)世界的古希臘數(shù)學(xué)家、音樂家，畢達(dá)哥拉斯應(yīng)該算作是人類歷史有記載以來的第一位純粹的數(shù)學(xué)家，他 第一個運(yùn)用演繹的數(shù)學(xué)方法證明了千古流芳的數(shù)學(xué)定理：a2+b2=c2（“畢達(dá)哥拉斯定理”又稱“勾股定理”）;同時他也是第一個證明數(shù)字比例既可用來計算又可進(jìn)行音樂創(chuàng)作的人。他在試驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弦的長度之比為整數(shù)，撥動琴弦時會產(chǎn)生和諧的音調(diào)，似乎是一條普適的規(guī)律。他開始意識到撥動不同長度的琴弦時會產(chǎn)生不同的樂感。如果說數(shù)學(xué)中存在美感，那么，將數(shù)學(xué)法則應(yīng)用于音樂，則應(yīng)該會有悅耳之聲響起。一些見解獨(dú)到的研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)是賦予不同事物相同名稱的藝術(shù)——它在其中展現(xiàn)了不同于其他科學(xué)的、創(chuàng)造性的自由。數(shù)學(xué)家的唯美理想甚至蘊(yùn)含著一種連十二音音樂亦不能與之媲美的特殊嚴(yán)謹(jǐn)性。

畢達(dá)哥拉斯的通用數(shù)字比例

數(shù)學(xué)不僅促成了創(chuàng)新，更造就了創(chuàng)新思想所需的自由?！犊履崴贡?橋問題》是一幅描繪瑞士柯尼斯堡含有7橋的畫作，畫中顯示出了7橋中的6座，但畫中右下角的女士遮擋住了第7座橋——在這座城中，7座橋連通大陸和兩個島嶼。這幅畫作的出現(xiàn)，給18世紀(jì)帶來了一個最著名的數(shù)學(xué)問題：如何走過所有7座橋并回到原點(diǎn)，卻不重復(fù)通過某一座橋？瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將這個問題巧妙地簡化成了一張圖（和現(xiàn)代坐標(biāo)系圖不同，他的圖含有被稱為節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)和被稱為邊的直線），并證明這個問題無解，因為此問題含有4個節(jié)點(diǎn)和奇數(shù)個連接。他的證明開創(chuàng)了一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科：拓?fù)鋵W(xué)。作為幾何學(xué)的分支，拓?fù)鋵W(xué)主要是研究幾何圖形如何在連續(xù)彈性可變化情況下保持性質(zhì)不變的數(shù)學(xué)學(xué)科。

數(shù)學(xué)藝術(shù)的表達(dá)者

法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被公認(rèn)為解析幾何之父，他的思想理性但行為藝術(shù)——這正是一位大數(shù)學(xué)家所應(yīng)具備的特質(zhì)。傳統(tǒng)解析幾何對于運(yùn)動的物體無能為力，而在與變量有關(guān)的廣闊天地里，解析幾何卻大有用武之地?，F(xiàn)代許多高新技術(shù)產(chǎn)品的設(shè)計造型都離不開數(shù)學(xué)中曲線方程的應(yīng)用，如飛機(jī)、船舶、航天器等。人們有時都不知道其中優(yōu)美曲線的產(chǎn)生是遵循誰發(fā)明的方程形式去進(jìn)行的。

郵票畫上的兩位享譽(yù)世界的中國古今數(shù)學(xué)家——祖沖之和華羅庚

在右圖中，笛卡兒讓人們知道了他及其所創(chuàng)立的解析幾何之眾多曲線;而另一幅畫描繪的是一位藝術(shù)家筆下的數(shù)學(xué)，“‘雞算”等式，計算結(jié)果竟然得到一個“零‘蛋”，這真是一個絕妙的開方等式，也說明了數(shù)學(xué)家與藝術(shù)家的一體兩面性。

以“華氏定理”“華氏不等式”等享譽(yù)國際數(shù)學(xué)界的中國現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚在《從祖沖之的圓周率談起》中說道：“祖沖之不僅是一位數(shù)學(xué)家，同時還通曉天文歷法、機(jī)械制造、音樂，并且還是一位文學(xué)家。祖沖之制定的《大明歷》，改革了歷法，他將圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后7位，是當(dāng)時世界上最精確的圓周率數(shù)值，而他創(chuàng)造的‘密率聞名于世?！?p>

笛卡兒幾何下的諸多美妙曲線（繪圖/ 劉夕慶）

藝術(shù)家筆下的“雞”算等式

計算圓周率是一件需要智慧的事，同時也需要技藝，我們知道，在一個圓里畫內(nèi)接正多邊形，計算這個正多邊形的總邊長，就可以得到圓周長的近似值——這種方法稱為“割圓術(shù)”。才藝雙全的祖沖之當(dāng)時因?qū)⑦@種計算演繹到了極致，因此創(chuàng)造了密率。而只有博學(xué)多才，才能讓身為文學(xué)家、音樂家的祖沖之取得如此偉大的成就。

題圖為數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家約翰·馮·諾伊曼科學(xué)肖像。他曾于1947年發(fā)表過著述，將理論物理和數(shù)學(xué)加以比較。據(jù)他稱，這兩門學(xué)科都研究所謂的客觀問題，但“即便在這種情況下，數(shù)學(xué)家在總體上有著改變研究對象的自由，而在理論物理中，重要的問題通常是必須解決的沖突和矛盾。數(shù)學(xué)家有許多領(lǐng)域可以研究，他們幾乎可以完全自由地決定在研究中做些什么”。也就是說，數(shù)學(xué)家就像從事繪畫、作曲的藝術(shù)家們一樣自由，可以隨時由他們的直覺自行地決定創(chuàng)新主題——例如，中世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多所研究的成果，后來竟然揭示了天文學(xué)中的一些數(shù)學(xué)奧秘。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的藝術(shù)

應(yīng)用數(shù)學(xué)是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一門學(xué)科，在經(jīng)濟(jì)金融、工程科技等領(lǐng)域都有廣泛運(yùn)用。它的誕生實(shí)際上是一種所謂純粹數(shù)學(xué)思維被巧妙實(shí)際運(yùn)用的藝術(shù)。很多時候，自由的藝術(shù)開始創(chuàng)新了數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)應(yīng)用依然得靠這種“藝術(shù)形式”獲得它應(yīng)有的內(nèi)在價值。

現(xiàn)代學(xué)者普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)中一些最重要的創(chuàng)新可以被形容為對既有范式的突破。人們突然意識到，可以用另一種眼光看待已知事物而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)進(jìn)步，比如把變量引入計算就是一種創(chuàng)新。這種自由大膽的思維轉(zhuǎn)變正是數(shù)學(xué)所倡導(dǎo)的，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)呈現(xiàn)給工程師、物理學(xué)家或其他使用者的東西。所以，數(shù)學(xué)的自由創(chuàng)新與實(shí)際運(yùn)用都是藝術(shù)與科學(xué)聯(lián)手的結(jié)果。

“會計之父”帕喬利（左）教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的畫作

意大利人帕喬利憑借經(jīng)典數(shù)學(xué)應(yīng)用之作《計算與寫作》，被尊稱為“會計之父”。他在這本著作中描述了許多沿用至今的會計學(xué)要點(diǎn)，比如試算平衡表。在這種方法中，前一年分類賬中借方的金額被記錄在平衡表的左邊，而貸方金額則記錄在右邊。如果總數(shù)能夠平衡，那么這本賬就被認(rèn)為是平衡的，否則就是不平衡的。

印度的婆羅摩笈多在自由地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究

南丁格爾利用玫瑰圖更加直觀地統(tǒng)計不同類別傷員數(shù)

長得像餅圖又不是餅圖，長得像堆積簇狀圖又非簇狀圖，這種有著極坐標(biāo)的怪異統(tǒng)計圖，有著一個美麗的名字——南丁格爾玫瑰圖。它的發(fā)明者是護(hù)士行業(yè)的創(chuàng)始人兼統(tǒng)計學(xué)家南丁格爾。在南丁格爾護(hù)士生涯中，為了讓數(shù)據(jù)能夠更加形象生動，令人印象深刻，她創(chuàng)造了一種色彩繽紛的圖表形式。圖表的展現(xiàn)形式，存在一個圓心，以扇區(qū)來展示數(shù)據(jù)的大小或比重。其與傳統(tǒng)餅圖的區(qū)別在于，南丁格爾玫瑰圖既可以使用扇區(qū)的面積來區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)的大小，也可以使用不同扇區(qū)半徑的長短來區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)的大小，因而比普通餅圖更直觀易讀。

德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人康托爾曾經(jīng)對自己的研究頗有感觸，他認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于自由”。自由為思維創(chuàng)造了起步條件，另一方面，自由反過來又讓數(shù)學(xué)成為了一種創(chuàng)新的藝術(shù)，而藝術(shù)則又顯現(xiàn)出了臨界性，這種可預(yù)測和不可預(yù)測的結(jié)合讓我們篤信了著名華裔數(shù)學(xué)家陳省身為青少年的題詞：“數(shù)學(xué)好玩”。