劉 菊,李 鵬,霍禮勇

(江蘇科技大學 經(jīng)濟管理學院,鎮(zhèn)江212003)

由于經(jīng)濟社會的復雜性,傳統(tǒng)的精確數(shù)已經(jīng)很難解決現(xiàn)實決策問題．文獻[1]中提出以隸屬度表征不確定性信息的模糊集,該理論已被應用于社會的諸多領(lǐng)域．因為模糊集僅用隸屬度一個單維信息來表征模糊信息,難以解決帶有猶豫情況的決策問題．文獻[2]中提出以隸屬度、非隸屬度來表征不確定性信息的直覺模糊理論,使得決策者在刻畫不完全及模糊信息方面更加合理．目前,相關(guān)理論與實踐研究已取得大量的成果[3-10]．

盡管直覺模糊理論得到了深入研究,解決了很多多屬性決策中信息的猶豫性問題,但在實際問題中仍存在其不能表征的不確定性信息．文獻[11]中提出中智集的概念,運用真實程度函數(shù)TA(x)、不確定程度函數(shù)IA(x)和謬誤程度函數(shù)FA(x)來刻畫決策者對客觀事物的看法．其中,TA(x)、IA(x)、FA(x)均屬于] 0-,1+[范圍內(nèi)的標準或非標準實數(shù)子集．雖然中智集泛化了模糊集和直覺模糊集,但由于其范圍問題,難以直接應用于現(xiàn)實科學和工程領(lǐng)域．針對上述問題,文獻[12]中定義了單值中智集的概念．文獻[13]中提出了單值中智集的距離、相似度及熵的測度公式．文獻[14]中提出了一種新的單值中智集加權(quán)距離公式．文獻[15]中參照文獻[16-19]，對單值中智集的記分函數(shù)進行了定義．文獻[20]中針對文獻[15]中提出的記分函數(shù)，引入?yún)?shù)進行改進,定義了新的記分函數(shù)．單值中智集作為刻畫模糊信息的有效工具廣泛應用于多屬性決策中．文獻[21]中定義了單值中智集的相關(guān)系數(shù),并提出了一種多屬性決策方法．文獻[22]中采用加權(quán)平均算子集結(jié)專家意見確定屬性權(quán)重,并與TOPSIS方法結(jié)合，對供應商進行選擇．文獻[23]中定義了一種新的交叉熵公式以確定屬性權(quán)重,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種新的多屬性群決策模型．文獻[24]中基于中智熵確定屬性權(quán)重,利用加權(quán)平均算子集結(jié)群體信息,結(jié)合VIKOR方法處理單值中智集多屬性群決策問題．

上述研究豐富了單值中智集理論,提供了寶貴的理論經(jīng)驗,但是在屬性權(quán)重研究方面,大多數(shù)文獻往往直接給出屬性權(quán)重[14,28],或者僅單方面主觀定權(quán)[22]或客觀定權(quán)[15,23-24]．主觀定權(quán)法是專家基于自身認知對屬性在系統(tǒng)內(nèi)的相對重要程度作出的主觀判斷,可以充分利用專家的自身知識及個人偏好,但不可避免具有一定的主觀隨意性,因而其得出的權(quán)重的可信度可能遭受到質(zhì)疑;客觀定權(quán)法的數(shù)據(jù)直接來自決策矩陣,不依賴于決策主體的主觀判斷,所求得的權(quán)重具有客觀性,但當決策矩陣確定后,無論決策背景如何改變,權(quán)重不變,這完全違背了決策的基本規(guī)律．因此,合理的權(quán)重應綜合考慮決策矩陣和專家偏好,即主客觀綜合定權(quán)．文中通過DEMATEL方法確定主觀權(quán)重,根據(jù)熵權(quán)法確定客觀權(quán)重,采用線性加權(quán)法確定綜合權(quán)重．

由于人們在決策過程中往往難以做到完全理性,決策過程應充分考慮人的有限理性因素．TODIM方法是基于前景理論提出的行為決策方法,該理論自提出以來便引起諸多學者的關(guān)注．文獻[25]中將TODIM方法運用到隨機直覺模糊數(shù)多屬性決策問題．文獻[26]中提出了基于云模型和TODIM方法的多屬性決策模型,該方法通過集結(jié)多個專家的決策信息來處理猶豫語言信息的機器人選擇問題．文獻[27]中考慮到生活中不確定及不精確信息常用直覺模糊語言變量表示,構(gòu)建了基于直覺模糊語言變量的TODIM方法．文獻[28]中將TODIM拓展到區(qū)間數(shù)中,構(gòu)建區(qū)間TODIM多屬性決策方法,解決旅游景區(qū)的應急疏散決策問題．文獻[29]中以互聯(lián)網(wǎng)消費為背景,基于商品評論信息,構(gòu)建概率語言TODIM方法,用以處理互聯(lián)網(wǎng)背景下消費者產(chǎn)品選擇問題．

國內(nèi)外對TODIM方法的研究成果中,TODIM方法在單值中智集多屬性決策問題方面研究較少．文獻[30]中基于單值中智集的距離公式和文獻[15]中提出的記分函數(shù)，將TODIM方法拓展到單值中智集領(lǐng)域,雖然上述模型充分考慮了決策者的決策心理,但該模型引用的記分函數(shù)存在不合理的地方,而且屬性權(quán)重直接給出，并未給予確定屬性權(quán)重的合理方法．因此,文中將TODIM方法進一步拓展到單值中智集領(lǐng)域,解決單值中智集多屬性決策問題．

1 基本概念

1.1 中智集理論

定義1[24]設X為非空集合,x為其中任意元素,X上的中智集A可以由真實程度函數(shù)TA(x)、不確定程度函數(shù)IA(x)及謬誤程度函數(shù)FA(x)表示,其中TA(x)、IA(x)和FA(x)是]0-,1+[的標準或非標準實數(shù)子集,即TA(x):X→] 0-,1+[,IA(x):X→] 0-,1+[,FA(x):X→] 0-,1+[．其中非標準有限數(shù)1+=1+ε,1是它的標準部分,ε>0為無窮小數(shù),是它的非標準部分,且0-≤supTA(x)+supIA(x)+supFA(x)≤3+．

定義2[12]設X為非空集合,x為其中任意元素,X上的單值中智集A可表示為:

(1)

式中,TA(x),IA(x),FA(x)∈[0,1 ],并滿足0≤supTA(x)+supIA(x)+supFA(x)≤3．單值中智數(shù)記為a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉．

(2)

且滿足:

(1)d(A,A)=0;

(2)d(A,B)=d(B,A);

(3) 0≤d(A,B)≤1．

定義4[31]設a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉和b=〈Tb(x),Ib(x),Fb(x)〉是任意兩個單值中智數(shù),其運算規(guī)則如下:

(1)λa=〈1-(1-Ta(x))λ,(Ia(x))λ,

(Fa(x))λ〉;λ>0.

(2)aλ=〈(Ta(x))λ,1-(1-Ia(x))λ,1-(1-Fa(x))λ〉;λ>0.

(3)a?b=〈Ta(x)+Tb(x)-Ta(x)·Tb(x),Ia(x)·Ib(x),Fa(x)·Fb(x)〉.

(4)a?b=〈Ta(x)·Tb(x),Ia(x)+Ib(x)-Ia(x)·Ib(x),Fa(x)+Fb(x)-Fa(x)·Fb(x)〉.

FA(xi)·|IA(xi)-IAC(xi)|)

(3)

1.2 DEMATEL算法

決策試行與評價實驗室(decision making trial and evaluation laboratory,DEMATEL)算法提出是為了解決社會經(jīng)濟中的復雜系統(tǒng)問題[32],算法步驟概述如下:

(1) 構(gòu)造直接影響矩陣．設某復雜系統(tǒng)中有n個因素,專家基于自身知識以及個人偏好依次對因素間的影響強度進行兩兩比較,設因素Ci對Cj的影響強度為aij,其中,當i=j時,aij=0,即直接影響矩陣為:

(4)

(3) 計算綜合影響矩陣．具體算式為:

B(I-B)-1=[tij]n×n

(5)

式中,I為單位矩陣．

(4) 計算中心度和原因度．將綜合影響矩陣按行相加,求得該因素對系統(tǒng)內(nèi)其他因素的影響程度為:

(6)

將綜合影響矩陣按列相加,求得該因素受到系統(tǒng)內(nèi)其他因素的影響程度,公式為:

(7)

則中心度Gj和原因度Uj分別為:

Gj=Rj+Cj

Uj=Rj-Cjj=1,2,…,n

(8)

式中,中心度Gj為第j元素在該系統(tǒng)中的相對重要程度,Gj越大,表示該元素在系統(tǒng)中對其他因素及受其他因素的綜合影響越大,則在系統(tǒng)中重要程度越高;反之,重要程度越低．當原因度Uj<0時,該元素為結(jié)果因素；Uj>0時，該元素為原因因素．

2 新的記分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有記分函數(shù)缺陷

單值中智數(shù)通過運用真實程度函數(shù)TA(x)、不確定度函數(shù)IA(x)及謬誤程度函FA(x)表征不確定性信息,記分函數(shù)是對單值中智數(shù)進行大小比較的有效工具．

文獻[15]在文獻[16-19]的基礎(chǔ)上,對單值中智數(shù)的記分函數(shù)定義為:

S(a)=(Ta(x)+1-Ia(x)+1-Fa(x))/3

(9)

文獻[15]認為真實程度越大，且不確定程度及謬誤程度越小,則記分函數(shù)越大．該記分函數(shù)雖然對單值中智數(shù)中的Ta(x)、Ia(x)及Fa(x)進行了充分考慮,但仍存在不合理之處．下面給出一個反例證明其不足之處:

例1設單值中智數(shù)a=〈0,1,0〉,b=〈0,0,1〉,顯然a優(yōu)于b．但通過上述記分函數(shù)計算得:

即S(a)=S(b)．

文獻[20]對文獻[15]的記分函數(shù)進行了修正,加入了參數(shù)α,β(0<α<β≤1),定義記分函數(shù)為:

(10)

文中規(guī)定α=0.3,β=0.4,該記分函數(shù)盡管通過參數(shù)調(diào)節(jié)不確定程度及謬誤程度,但是對參數(shù)取值缺乏理論依據(jù)．

2.2 新的記分函數(shù)

在直覺模糊數(shù)的研究中,文獻[33-34]運用不同方法確定了隸屬度與非隸屬度之間的比例關(guān)系,對猶豫度進行了客觀合理的分配,分別提出了基于直覺模糊數(shù)的記分函數(shù)公式．文中借鑒以上思想,定義了基于單值中智數(shù)的新記分函數(shù)公式．

定義6設X為非空集合,x為對象集X中的元素,單值中智數(shù)a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉,則a的記分函數(shù)式為:

SNEW(a)=Ta(x)-Fa(x)+

(11)

式中：Ta(x)為真實程度；Ia(x)為不確定程度；Fa(x)為謬誤程度；Ta(x)-Fa(x)為凈真實程度．根據(jù)文獻[35],a+=〈1,0,0〉為絕對真實,a-=〈0,1,1〉為反真實．d(a,a+)為中智數(shù)a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉與a+=〈1,0,0〉的距離,即a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉到絕對最大值的距離．因此,d(a,a+)越小,1-d(a,a+)越大,則a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉與絕對真實的接近程度越高,即不確定程度Ia(x)中屬于真實部分越多．Ta(x)=1,Ia(x)=0,Fa(x)=0時,d(a,a+)=0,1-d(a,a+)=1．同理,d(a,a-)為中智數(shù)a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉與a-=〈0,1,1〉的距離,d(a,a-)越小,1-d(a,a-)越大,則表示a=〈Ta(x),Ia(x),Fa(x)〉與反真實的接近程度越高,即不確定程度Ia(x)中屬于謬誤部分越多．因此,真實程度與謬誤程度的比例之差為:

采用例1的數(shù)據(jù)來驗證文中提出的記分函數(shù)的合理性．根據(jù)式(2)分別求出d(a,a+)、d(a,a-)、d(b,a+)、d(b,a-),具體過程:

由上述結(jié)果可知S(a)>S(b),因此a優(yōu)于b,符合常理．

文中提出的新的記分函數(shù)利用中智數(shù)中的真實程度與謬誤度之間的比例關(guān)系對不確定程度進行分配,充分挖掘了不確定部分的真實信息和謬誤信息,并將這些信息與原真實信息和謬誤信息充分融合,實現(xiàn)了中智數(shù)間的有效比較．

3 基于主客觀綜合定權(quán)法的單值中智TODIM決策方法

對于某單值中智集多屬性決策問題,有m個方案Ai={A1,A2,…,Am},n個屬性Cj={C1,C2,…,Cn},決策者給出的決策矩陣為D=[dij]m×n,其中,dij=〈Tij(x),Iij(x),Fij(x)〉為方案Ai在屬性Cj下的評估值,以單值中智數(shù)形式表征．

3.1 權(quán)重確定

3.1.1 主觀權(quán)重確定

由于專家在給出直接影響矩陣時,不僅基于嚴密的邏輯推理,還依靠專家的自身知識、個人偏好等非理性因素,因此專家基于實數(shù)對兩屬性之間的影響強度進行判斷的過程帶有不確定性．在單值中智集理論中,決策者使用TA(x)、IA(x)及FA(x)來表征其對客觀事物的看法,更貼切刻畫出決策者對決策信息的認識,因而將單值中智集運用到DEMATEL方法中對屬性間的影響強度進行判斷,確定屬性權(quán)重更加符合實際決策情況．基于中智集的DEMATEL主觀定權(quán)法:

(1) 確定直接影響矩陣．根據(jù)專家打分法對元素之間的影響強度進行判斷,設屬性Ci對屬性Cj的影響強度為aij=〈Taij(x),Iaij(x),Faij(x)〉,其中當i=j時,aij=0,即直接影響矩陣為:

(2) 利用文中提出的新記分函數(shù)式(11),將基于單值中智集的直接影響矩陣A轉(zhuǎn)化為實數(shù)矩陣A′；

(3) 根據(jù)DEMATEL算法,通過式(4～8)求出各個屬性的中心度Gj；

(4) 中心度即表示屬性在系統(tǒng)中的相對重要程度,中心度越大,則表示屬性在系統(tǒng)中越重要,這與屬性權(quán)重的意義相同．因而,主觀權(quán)重公式為:

(12)

3.1.2 客觀權(quán)重確定

自信息熵提出后,熵成為衡量信息不確定性的重要依據(jù),熵權(quán)法的原理是:如果指標間差異越大,則賦予的權(quán)重就越大,反之越小[36]．單值中智集熵的計算步驟為:

(1) 對決策矩陣D=[dij]m×n進行標準化,得到R=[rij]m×n．對于效用型指標,對應決策信息不用改變,對于成本型在綜合權(quán)重中所占的比例,α∈[0,1 ],決策者根據(jù)主觀意愿可以對α取不同值,以調(diào)整主客觀權(quán)重在綜合權(quán)重中的占比,對于成本型指標,取其補集,根據(jù)文獻[12],計算公式如下:

Ac=〈FA(x),1-IA(x),TA(x)〉

(13)

(2) 根據(jù)式(3),計算出對應各個屬性的中智熵E(xj),其中1≤j≤n；

(3) 根據(jù)熵權(quán)法得到屬性的客觀權(quán)重:

(14)

3.1.3 綜合權(quán)重確定

由于在實際決策中,不同決策環(huán)境可能導致主觀權(quán)重和客觀權(quán)重的占比不同,因此在綜合主客觀權(quán)重時應強調(diào)靈活性．而線性加權(quán)法通過調(diào)整參數(shù)α可靈活確定主客觀權(quán)重在綜合權(quán)重中的占比,是一種基于決策者意愿的有效綜合定權(quán)法．文中定義綜合權(quán)重公式如下:

ωj=αωj(1)+(1-α)ωj(2)j=1,2,…,n

(15)

3.2 決策流程

步驟如下：

(1) 根據(jù)直接影響矩陣A與式(12)確定屬性的主觀權(quán)重ωj(1).

(2) 根據(jù)式(13)對決策矩陣D標準化得到矩陣R,根據(jù)式(14)得到客觀權(quán)重ωj(2).

(3) 根據(jù)決策問題選擇合適的參數(shù)α,運用式(15)得到綜合權(quán)重ωj.

(4)設ω*=max{ω1,ω2,…,ωn},則相對屬性權(quán)重為:

(16)

(5) 計算屬性Cj(j=1,2,…,n)下方案Ai相對于方案Aj的優(yōu)勢度:

φj(Ai,Ak)=

(17)

式中,Sir(α)和Sjr(α)分別為屬性Cj下方案Ai和Aj的記分函數(shù)；參數(shù)θ表示損失的衰減因子,可根據(jù)決策者的偏好改變,選取不同的θ將形成不同的前景理論函數(shù)，一般θ>0.當0<θ<1時,表示損失的影響將增加,當θ>1時,表示損失的影響將減小．

(6) 計算方案Ai相對于方案的Aj的優(yōu)勢度:

(18)

(7) 計算各方案的綜合排序值:

(19)

式中,π(Ai)越大,方案Ai越優(yōu)．

基于主客觀綜合定權(quán)法的單值中智TODIM決策模型流程圖:

圖1 決策模型流程Fig.1 Flowchart of decision model

4 案例分析

中小企業(yè)是國家發(fā)展的中堅力量[37]．2016年世界貿(mào)易報告指出中小企業(yè)占經(jīng)合組織企業(yè)數(shù)的95%以上[38],是穩(wěn)定我國經(jīng)濟增長的重要保障．在大眾創(chuàng)業(yè)的背景下,催生了很多中小企業(yè),創(chuàng)業(yè)者們或有新穎的理念或有先進的技術(shù),但往往資金匱乏,在企業(yè)運行過程中需要外部資金支持,資金來源主要是外部投資人．在決策是否投資某個中小企業(yè)項目的過程中,投資人不僅會對中小企業(yè)發(fā)展?jié)摿ψ鞒鲎约旱呐袛?還會參照專家團隊的意見,本部分將中小企業(yè)的發(fā)展?jié)摿ψ鳛橹饕芯繉ο筮M行決策評價．

某投資人確定投資一個中小企業(yè),經(jīng)過投資人考察有6家企業(yè)(A1,A2,A3,A4,A5,A6)具有較高的發(fā)展?jié)摿?在投資選擇中主要考慮企業(yè)的創(chuàng)新能力C1、企業(yè)文化C2、企業(yè)領(lǐng)導者能力C3和業(yè)內(nèi)競爭情況C44個屬性,現(xiàn)需從上述6家企業(yè)選出最優(yōu)的投資對象．經(jīng)過對6家企業(yè)進行分析,投資者對企業(yè)Ai的屬性Cj進行評價,得到?jīng)Q策矩陣D，如表1．

表1 決策矩陣DTable 1 Decision matrix D

決策者邀請專家團隊對屬性之間的影響關(guān)系作判斷,得到直接影響矩陣A，如表2．

表2 直接影響矩陣ATable 2 Matrix A of direct affection

基于主客觀綜合定權(quán)法的單值中智TODIM決策方法過程步驟:

(1) 根據(jù)表2的直接影響矩陣A與式(12),求得屬性的主觀權(quán)重:

ω1(1)=0.242,ω2(1)=0.324,ω3(1)=0.168,ω4(1)=0.266

(2) 根據(jù)表1的決策矩陣D和式(13)得到標準化決策矩陣R(表3),根據(jù)式(14),求得客觀權(quán)重:

ω1(2)=0.357,ω2(2)=0.142,ω3(2)=0.336,ω4(2)=0.165

表3 標準化決策矩陣RTable 3 Matrix R of standardized decision

(3) 取α=0.5,根據(jù)式(15)線性加權(quán)綜合定權(quán)法,求得綜合權(quán)重:

ω1=0.300,ω2=0.233,ω3=0.252,ω4=0.215

(4) 根據(jù)式(16)與步驟(3)求得的綜合權(quán)重,得到屬性相對權(quán)重:

ω1′=1,ω2′=0.777,ω3′=0.840,ω4′=0.717

(5)根據(jù)式(17),計算屬性Cj的優(yōu)勢度矩陣φj,其中θ=1,求得結(jié)果:

(6) 根據(jù)式(18),求得方案Ai相對于方案的Aj的優(yōu)勢度:

(7) 根據(jù)式(19),求得各方案的綜合排序值,并對方案排序:

π(A1)=0.320,π(A2)=0.408,π(A3)=1,

π(A4)=0.861,π(A5)=0,π(A6)=0.594

根據(jù)π(Ai)的大小進行排序,求得結(jié)果:π(A3)?π(A4)?π(A6)?π(A1)?π(A2)?π(A5),即A3?A4?A6?A1?A2?A5．

將文中方法與文獻[39]所提的TOPSIS方法進行對比分析,運用 TOPSIS方法求得的排序結(jié)果如表4.排序結(jié)果為:A3?A1?A4?A6?A2?A5．可見文中提出的方法與TOPSIS方法求得的最優(yōu)方案相同,但順序仍然存在差異,主要是因為文中所使用的TODIM方法考慮了不同投資人的風險偏好,因而決策結(jié)果更加符合實際決策情況,而TOPSIS法未考慮人的主觀情感因素,所得結(jié)果可能與實際有所不同．

5 結(jié)論

(1) 在分析現(xiàn)有單值中智數(shù)記分函數(shù)缺陷的基礎(chǔ)上,文中提出了一種新記分函數(shù),實現(xiàn)了單值中智數(shù)的快速比較．

(2) 利用DEMATEL中心度的含義,建立基于DEMATEL的主觀定權(quán)模型,并根據(jù)熵權(quán)法建立客觀定權(quán)模型,進而運用線性加權(quán)法將主觀權(quán)重和客觀權(quán)重集結(jié),建立綜合定權(quán)模型,所得綜合權(quán)重既利用了客觀數(shù)據(jù)信息,又反映了專家的主觀認知．

(3) 考慮到人們的決策過程并非完全理性,決策過程應充分考慮人的有限理性因素,構(gòu)建了基于有限理性的單值中智TODIM決策模型,對方案進行排序．最后,通過案例分析說明了文中方法的合理性與有效性．