趙春風，王有寶，吳 悅，費 逸，龔 昕

(1.巖土與地下工程教育部重點實驗室(同濟大學)，上海 200092； 2.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092)

小孔擴張問題在土體原位測試、壓樁實踐、壓密注漿等方面得到了廣泛應用，國內(nèi)外學者進行了大量的研究[1-13].另一方面小孔收縮問題在大量的工程實踐中存在，比如石油鉆井、樁基鉆孔、隧道開挖掘進等，由于土體卸荷引起的鉆孔失穩(wěn)、樁孔縮徑、隧道沉降等嚴重影響了工程安全.已有文獻就球形孔或者柱形孔的小孔收縮問題進行研究[14-27].Houlsby等[14-15]對砂土中的旁壓儀采用小孔擴張和收縮理論進行了分析；Yu等[16-17]通過小孔收縮理論得到小孔在正常固結土或剪脹性土中的卸荷收縮解，采用的屈服準則為完全彈塑性的Tresca準則、Mohr-Coulomb屈服準則以及修正劍橋模型，并未就中間主應力的具體影響給出詳細的解析解；Chen等[18-20]采用小孔收縮理論結合臨界狀態(tài)的修正劍橋模型、邊界面模型等系統(tǒng)研究了排水和不排水條件下的井壁穩(wěn)定性問題,并給出了嚴格的解析解；Mo等[21]在小孔收縮中運用余海歲提出的統(tǒng)一臨界狀態(tài)模型CASM[32]分析了隧道周邊土體的行為；Vrakas等[22-23]在研究隧道沉降問題時給出了考慮3個主應力的嚴格解析解，詳細闡述了孔壁壓力與孔壁位移的解析解，但參數(shù)較多且采用大量的數(shù)值計算.楊硯宗[24]采用Mohr-Coulomb準則獲取了考慮應變軟化和剪脹性的不同卸荷壓力下孔壁收縮解析解，但仍未就中間主應力對卸荷壓力和縮孔的影響進行闡述.統(tǒng)一強度理論體系下的屈服準則能考慮中間主應力影響[12-13,27-28,31]，可用于研究考慮3個主應力狀態(tài)的小孔收縮問題.范文等[25]基于統(tǒng)一強度理論考慮材料軟化和剪脹的特性分析了有壓隧洞的圍巖壓力、圍巖應力、圍巖位移及圍巖所處狀態(tài)的判別；龔輝等[26]運用統(tǒng)一強度理論得到了樁孔臨界失穩(wěn)壓力的解析解.

但對不同程度中主應力(主要表現(xiàn)為中主剪應力及相應面上的主應力)如何具體影響卸荷縮孔關系并未有闡述，而且對于全應力空間條件和某指定卸荷程度下縮孔半徑的變化，沒有相應的近似解可供預測采用，因此，著重利用統(tǒng)一強度屈服準則引入卸荷因子和縮孔系數(shù)的概念，得到可描述不同中主應力影響的的卸荷縮孔關系近似解析式，并就統(tǒng)一強度理論參數(shù)、土體參數(shù)對卸荷和縮孔關系的影響因素進行分析，得到的解析公式能對柱孔開挖卸荷過程中一定卸荷程度下的縮孔和塑性變形進行量化預測，用于指導隧道支護和開挖、樁基開挖卸荷后的承載特性以及鉆井穩(wěn)定性分析的具體實踐.

1 問題的提出及力學模型、屈服準則的建立

1.1 問題的提出及力學模型的建立

隧道開挖、油井和樁基鉆孔的開挖卸荷過程可以簡化為柱形孔收縮的平面應變問題[17, 29].如圖1所示，設原位初始應力p0，初始半徑為a0.假定p從p0逐步降低，孔壁發(fā)生卸荷，縮孔半徑變?yōu)閍，當卸荷至土體屈服強度py時，孔壁處開始產(chǎn)生彈性-塑性邊界面.隨著p進一步減小，塑性區(qū)逐步擴大，在孔周邊形成a≤r≤R的塑性區(qū).

柱形孔收縮的平面應變解析解的推導，需要滿足以下假定：

1)土體初始應力場是均勻的、各向同性的；

2)孔壁壓力逐步卸荷過程中，遠場應力一直保持為初始應力；

3)土體假定為理想彈塑性體，并滿足統(tǒng)一強度理論屈服準則；

4)在整個卸荷縮孔過程中，出平面方向始終保持為中主應力方向；

5)彈性區(qū)的應變很小且塑性區(qū)的彈性應變可以忽略.

定義卸荷因子為λrel，縮孔系數(shù)為λcon，其表達式分別為

(1)

(2)

為研究方便，受力分析符號以應力、應變受壓為正，受拉為負.孔周邊土體的平衡微分方程、彈性階段的物理方程和幾何方程分別滿足：

(3)

(4a)

(4b)

(5)

式中：σr為徑向正應力,σθ為環(huán)向正應力,ur為半徑為r點處的徑向位移,ν為泊松比,E為楊氏模量.

應力邊界條件滿足：

σr(r=a)=p，

(6a)

σr(r=∞)=p0.

(6b)

圖1 土體開挖卸荷的圓孔收縮示意

1.2 統(tǒng)一屈服準則的建立

統(tǒng)一強度理論下的屈服函數(shù)[31]需滿足：

(7a)

(7b)

統(tǒng)一強度理論參數(shù)b為反映中間主剪應力以及相應面上的主應力對材料破壞程度影響的系數(shù)，稱為中間主應力影響系數(shù)；σ1,σ2,σ3分別為最大主應力、中主應力以及最小主應力；φ0為土體摩擦角，c0為黏聚力，兩參數(shù)可由三軸試驗得到.

與前述研究問題受力符號定義原則相同，將式(7)改寫為

(8a)

(8b)

且滿足

(9)

其中m為統(tǒng)一強度理論下表征中間主應力影響程度的參數(shù),平面應變問題中，在彈性狀態(tài)下m=2ν<1,在塑性狀態(tài)下m接近1[31]，因此，在塑性狀態(tài)下:

(10)

將式(7)的α代入式(8b)條件中發(fā)現(xiàn)

(11)

式(8b)即為滿足問題的屈服函數(shù).將式(7)的α,σt代入式(8b)中，整理得

(12)

F=σθ-ζσr-σ0=0.

(13)

其中

(14)

2 鉆孔卸荷收縮的解析解

2.1 彈性響應與初始屈服解

當孔周土體處于彈性狀態(tài)時，聯(lián)立式(3)～(6)容易求得孔周土體應力與位移的彈性解為

(15)

(16)

隨著小孔壓力p逐步降低，當小孔壁首次達到屈服強度時，孔壁開始屈服，此時初始屈服壓力為py.將式(15)代入屈服方程式(13)中，得

(17)

2.2 彈塑性分析

孔壁發(fā)生初始屈服后，p進一步降低，將會在小孔壁周邊區(qū)域產(chǎn)生a≤r≤R的塑性區(qū)，在塑性區(qū)外是彈性區(qū)，彈性區(qū)的應力及位移應滿足：

(18)

(19)

塑性區(qū)應力需滿足平衡方程和屈服方程，將式(13)代入式(3),得

(20)

積分得

(21)

K為積分常數(shù)，將式(6a)、(17)分別代入式(21),得

(22)

將式(21)代入式(20),并代入屈服方程(12),得塑性區(qū)應力解：

(23a)

或

(23b)

式(18)、(23)即為整個孔周土體的彈塑性應力表達式.

Mair等[33]在預測隧道周圍地層運動時給出了軸對稱條件下卸載柱形孔周半徑為r的塑性區(qū)超孔隙水壓力公式為

(24a)

其中su為不排水抗剪強度.

應注意該公式的局限性，其是預測公式且僅在塑性區(qū)有效，從而塑性區(qū)的有效應力可表示為

(24b)

將式(22)進行整理，得到孔壓與塑性區(qū)半徑、擴孔半徑的關系：

(25)

將式(17)代入(25),得

(26)

將式(17)代入式(19)，并令r=R, 得彈塑性邊界的位移為

(27)

其中R0為收縮前彈塑性邊界.

對不可壓縮、不排水的土體或干土，考慮卸荷前后土體體積保持不變，得到卸荷收縮前后的任意點(r0,r)有以下關系：

(28)

在半徑為r處，滿足

ur=r-r0.

(29)

聯(lián)立式(27)、(28)、(29),得

(30)

式(30)即為塑性區(qū)的彈塑性位移表達式.

聯(lián)立式(26)、(27)、(28)得

(31)

(32)

將式(32)改寫為以下兩種形式：

(33)

(34)

此二式即為卸荷壓力、初始半徑、縮孔半徑之間的關系.其中

(35)

引入初始定義的卸荷因子λrel和縮孔系數(shù)λcon，并依據(jù)Yu等[17]采用的正則化方法，將卸荷縮孔關系進行無量綱表達：

(36a)

(36b)

將式(36)代入式(33)、(34)得

(37a)

(37b)

其中

(38)

3 算例研究及參數(shù)化分析

文獻[27-28,30-31]證實了考慮統(tǒng)一強度理論得到的力學參數(shù)受中間主應力影響系數(shù)b的影響，且該參數(shù)可由試驗得到.采用同Yu等[17]相似的正則化方法無量綱化后，對本文提出的考慮中間主應力影響參數(shù)b的小孔卸荷收縮解進行了參數(shù)化分析，并同Yu的解答進行了對比；考察了土體剛度指標δ2、黏聚力和內(nèi)摩擦角對于采用統(tǒng)一屈服準則的完全卸荷時的孔周位移、縮孔效應的影響.

3.1 中間主應力影響參數(shù)b對卸荷因子與縮孔系數(shù)的影響

圖2顯示，隨著中間主應力影響參數(shù)b的增大，縮孔系數(shù)逐漸減小，完全卸荷時，b=1時的縮孔系數(shù)較不考慮中主應力影響情況增大約5%，表明不考慮中間主應力影響的Mohr-coulomb準則(Yu解[17])得到的卸荷產(chǎn)生的縮孔效應解析解相對保守.

圖2 不同b值時的卸荷縮孔曲線

3.2 中間主應力影響參數(shù)b對卸荷引起孔周位移、應力的影響

圖3表明，中間主應力會減緩塑性區(qū)的出現(xiàn)，且b值越大，塑性區(qū)越小，b=1相較b=0時，屈服時的臨界卸荷因子由0.49減小為0.43，其本質(zhì)表現(xiàn)為初始屈服卸荷壓力的減小改善了塑性變形.圖4顯示，b值越大，孔周位移越小.圖5描述了孔周不同距離處徑向應力與環(huán)向應力隨b值的變化.相較本文解與Yu解在位移上的較大不同，考慮中主應力影響的徑向應力與采用Mohr-Coulomb準則的徑向應力基本相同，峰值環(huán)向應力也基本相同，只是由于采用b值，考慮了不同中主應力的影響，從而推遲了峰值環(huán)向應力的出現(xiàn)，使峰值環(huán)向應力出現(xiàn)的位置向孔壁靠近.

圖3 不同b值時塑性半徑隨卸荷變化

圖4 不同b值時的孔周位移場變化

圖5 不同b值時孔周應力場變化

Yu解受黏聚力變化影響較大，黏聚力越小時，其塑性區(qū)迅速向左移動，表明塑性區(qū)迅速增大，而本文解變化較小，可以理解為未考慮中間主應力影響的Yu解更為保守.

3.3 土體剛度指數(shù)對縮孔系數(shù)的影響

Yu等[17]引入了式(36b)的土體剛度指數(shù)δ2將土體剪切剛度正則化，研究土體剛度對縮孔的影響.表1～3列出了孔壁完全卸荷時土體剛度指數(shù)與縮孔系數(shù)的對應關系.當δ2=10時，土體剛度較小，黏聚力為0.334p0，b由0.1增大為1時，縮孔系數(shù)維持在0.946，基本保持不變；而當b=0.1, 黏聚力保持為0.334p0，而δ2由10增大到50時，縮孔系數(shù)由0.945增大到0.988.而且，δ2=10，隨著黏聚力減小，縮孔系數(shù)由0.946減小至0.795，變化幅度為16%；δ2=50時，縮孔系數(shù)由0.988減小為0.947，變化幅度僅為4.1%.這表明剛度越大，中間主應力效應越大，縮孔效應越??；剛度較大時，中間主應力效應對縮孔的影響較小，土體剛度對縮孔有至關重要的減弱效應，此時，b的影響較土體剛度的影響很小.

表1 完全卸荷時不同δ2、c0值的縮孔系數(shù)

表2 完全卸荷時不同δ2、c0值的縮孔系數(shù)

注:b=0.5,φ0=20°.

表3 完全卸荷時不同δ2、c0值的縮孔系數(shù)

注:b=1,φ0=20°.

3.4 c0,φ0對卸荷縮孔關系和孔周位移的影響

如圖6，7所示，在較軟的土體中(δ2較小)時，φ0,c0的增大，均可有效減小卸荷引起的縮孔效應；圖8，9表明，φ0,c0的增大，有助于減小孔周位移，推遲大變形在近孔壁周圍的出現(xiàn).這與砂土的孔壁穩(wěn)定性很差而硬塑性黏性土的孔壁穩(wěn)定性較好的實際狀況相符.

圖6 不同φ0時的孔壁卸荷縮孔曲線

圖7 不同c0時的孔壁卸荷縮孔曲線

圖8 不同φ0時的孔周位移

圖9 不同c0值時的孔周位移

4 工程案例

為描述中主應力系數(shù)在工程實踐中的具體影響，以文獻[34]中Gotthard Base隧道開挖為例說明.土體具體參數(shù)為：彈性模量E=2 000 MPa, 泊松比ν=0.25，原位初始應力為p0=22.5 MPa，黏聚力為0.25 MPa，摩擦角為23°，剪脹角ψ=3°.

圖10為對應不同b時孔壁位移隨卸荷變化關系.對于設計要求的隧道支護壓力σp=0.75 MPa,對應的卸荷因子λrel為0.033,對應要求實現(xiàn)的隧道半徑a=5 m.當b=0，0.5，1時，根據(jù)公式a=a0-ua，可得到a0分別為6.25，5.7，5.55 m.其對應單位長度的超開挖量為44.2，23.5，18.2 m3.考慮不同程度的中主應力，造成土方超開挖可能超過一倍的影響.由此可見,中主應力對于隧道設計與施工具有重要的影響，在隧道支護設計與施工中考慮土體中主應力的影響是必要的.

圖10 不同b時的孔壁位移隨卸荷變化關系

5 結 論

1)推導得到了基于統(tǒng)一強度理論的考慮中主應力影響系數(shù)b的無量綱化的柱孔卸荷收縮公式(33)、(34)或(37)、(38)，通過該式可對指定卸荷程度下的柱孔縮孔系數(shù)進行定量預測.

2)采用考慮不同中間主應力效應得到的柱孔收縮解較Mohr-Coulomb準則大，說明不考慮中主應力影響的解答偏于保守，其本質(zhì)為：b的增大，減小了初始屈服卸荷壓力，推遲了臨界彈塑性區(qū)峰值環(huán)向應力的出現(xiàn)，降低了孔周塑性區(qū)擴展.

3)中間主應力影響參數(shù)b越大，卸荷縮孔效應越?。恢虚g主應力影響參數(shù)對孔周徑向位移的影響不可忽略；孔周徑向應力受其影響較小而環(huán)向應力影響較大，b越大，推動峰值環(huán)向應力逐漸向孔壁移動，表明中主應力有利于減小孔周塑性區(qū).

4)土體剛度對卸荷與縮孔關系的影響很大，而且當剛度較大時，中間主應力影響系數(shù)b對卸荷縮孔的影響相對減小.