數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每位公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模就是其中的一種重要素養(yǎng)。因此，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)建模（素養(yǎng)）列入義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。培養(yǎng)和發(fā)展中小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模（素養(yǎng)），既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需，又是學(xué)生未來生存和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。

一、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決問題的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。

在數(shù)學(xué)上，模型即數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）的簡稱。所謂數(shù)學(xué)模型，是指根據(jù)問題實(shí)際和研究對象的特點(diǎn)，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、概括等方法，而形成的用以反映其內(nèi)部因素之間的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式，包括數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則、具體算法或一些特定的數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義之分。廣義地說，數(shù)學(xué)中的許多重要概念（如方程、函數(shù)等）都稱之為數(shù)學(xué)模型，正如張奠宙教授指出的，“加、減、乘、除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的”。比如，加法“a+b”可以理解為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它刻畫了三個(gè)量a、b、a+b之間的特定關(guān)系。狹義地說，只有反映特定問題和特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才可以構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，而且這類數(shù)學(xué)模型大致可分為兩類：一類是描述客體必然現(xiàn)象的確定性模型，其數(shù)學(xué)工具一般是代數(shù)方程、微分方程、積分方程和差分方程等;另一類是描述客體或然現(xiàn)象的隨機(jī)性模型，其數(shù)學(xué)模型方法是科學(xué)研究與創(chuàng)新的重要方法之一。

也就是說，按通行的、比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫作數(shù)學(xué)模型。例如：（1）平均分配物品的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù)，它描述了總量、份數(shù)、一份的量三者之間的關(guān)系“總量=份數(shù)×一份的量”;（2）370人的年級里，一定有兩位同學(xué)同一天過生日，其數(shù)學(xué)模型就是抽屜原理，即如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，n+1個(gè)（或n+1個(gè)以上）元素放到n個(gè)集合中去，其中至少有一個(gè)集合里有兩個(gè)元素。

數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中，以數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。即，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量變化和變量規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

二、數(shù)學(xué)建模的意義和價(jià)值

數(shù)學(xué)建模（素養(yǎng)）的關(guān)鍵在于建立模型數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，而建模的關(guān)鍵在于學(xué)生具備將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)內(nèi)容之間構(gòu)建關(guān)聯(lián)的主動意識和能力。

小學(xué)最重要的兩個(gè)模型是乘法模型與加法模型，即“路程=速度×?xí)r間”“總量=部分量之和”。有了這兩個(gè)模型，就可以建立方程等模型，去闡述現(xiàn)實(shí)世界中的“故事”，進(jìn)而幫助我們解決問題。小學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分問題都可以歸結(jié)為這兩種模型。例如：在高速公路上，學(xué)生小A坐在幾乎勻速前行的大巴車上。他想知道車輛行駛的速度，但是，他坐在車的后排，看不到駕駛室中的車速表。他不想打攪其他乘客與大巴車司機(jī)，而想通過自己的方式解決問題。怎么解決這個(gè)問題呢？想知道速度，必須尋找與此相關(guān)的其他量。小A自然想到“路程=速度×?xí)r間”模型，只要知道路程與時(shí)間就可以了。路程好解決，透過玻璃窗，他可以清楚觀察到高速公路上的里程碑。時(shí)間怎么辦？由于沒有手表、手機(jī)，他想到了自己的脈搏——他平時(shí)的脈搏為68次/分。于是，他從37千米的里程碑開始號脈，到38千米時(shí)，脈搏跳動了34次，也就是汽車大約半分鐘行駛了1千米。因此，車速是每分鐘2千米，即120千米/時(shí)。

在上述問題的解決過程中，小A首先尋找與待解決問題密切相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，而后尋找模型中的已知量，進(jìn)而解決了問題。

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，實(shí)施數(shù)學(xué)建模的教學(xué)就是要幫助學(xué)生理解性掌握數(shù)學(xué)中的重要概念、原理等所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，并在問題解決過程之中主動聯(lián)想相關(guān)的模型，進(jìn)而分析解決問題。

三、如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模（素養(yǎng)）

1.讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程

數(shù)學(xué)建模的一般過程可以簡化為現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、模型求解、數(shù)學(xué)模型解答、現(xiàn)實(shí)問題解答驗(yàn)證4個(gè)階段。這4個(gè)階段實(shí)際上是完成從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)問題的不斷循環(huán)、不斷完善的過程（如圖1）。

數(shù)學(xué)化是指根據(jù)數(shù)學(xué)建模的目的和所具備的數(shù)據(jù)、圖表、過程、現(xiàn)象等信息，將現(xiàn)實(shí)問題翻譯轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言將其準(zhǔn)確地表述出來。求解是指利用已有的數(shù)學(xué)知識，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)解題策略，求出數(shù)學(xué)模型的解答。解釋是指把用數(shù)學(xué)語言表述的解答翻譯轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實(shí)問題，給出實(shí)際問題的解答。驗(yàn)證是指用現(xiàn)實(shí)問題的各種信息檢驗(yàn)所得到的實(shí)際問題的解答，以確認(rèn)解答的正確性和數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖1直觀地揭示了現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實(shí)問題的信息加以數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型來源于現(xiàn)實(shí)又超越現(xiàn)實(shí)，它用精確的數(shù)學(xué)語言揭示了現(xiàn)實(shí)問題的內(nèi)在特性。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過求解得到數(shù)學(xué)形式的解答，再經(jīng)過一次轉(zhuǎn)化回到現(xiàn)實(shí)問題，給出現(xiàn)實(shí)問題的決策、預(yù)報(bào)、分析等結(jié)果，最后這些結(jié)果還要經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)，完成由實(shí)踐到理論再到實(shí)踐這樣一個(gè)不斷循環(huán)、不斷完善的過程。如果檢驗(yàn)結(jié)果基本正確或者與實(shí)際情況的擬合度非常高，就可以用來指導(dǎo)實(shí)踐，反之，則應(yīng)重復(fù)上述過程，重新建立模型或者修正模型。

數(shù)學(xué)建模多以現(xiàn)實(shí)生活中的問題、其他學(xué)科中的問題作為問題情境，這些問題的解決必須借助于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識方法和數(shù)學(xué)解題策略。通過數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生會切身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)并非只應(yīng)用于數(shù)學(xué)自身，它可以解決現(xiàn)實(shí)生活中和其他學(xué)科中的問題，在現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中找到用武之地。

“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合適的”是一個(gè)非?，F(xiàn)實(shí)的問題。對大多數(shù)亞洲女士而言，遺傳原因往往導(dǎo)致為數(shù)甚多的女士上身長而下身短，產(chǎn)生視覺上的不協(xié)調(diào)。“先天的遺憾”需要“后天的彌補(bǔ)”。古希臘人研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)人的肚臍眼處在身體的黃金分割點(diǎn)時(shí)，視覺效果最好。這就是一個(gè)典型的模型，將其抽象為數(shù)學(xué)模型就是“黃金比線段”，即，尋找給定線段的黃金分割點(diǎn)，形成黃金比例線段。于是，對于現(xiàn)實(shí)問題“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合適的”進(jìn)行數(shù)學(xué)化，可以將其抽象為：

如圖2所示，在線段的下部“接”多長的線段x，使得“接上”線段x之后，在線段a+x中，b+x剛好符合黃金比，即[b+x=5-12·（a+x）]。在小學(xué)，這個(gè)式子簡寫為[b+x]=0.618[（a+x）]。亦即，滿足上述方程的未知數(shù)x為多少時(shí)，方程成立。解這個(gè)方程得到x，就是數(shù)學(xué)模型的解。但是，這個(gè)解是否符合實(shí)際意義，例如x的值為28厘米，就是不切合實(shí)際的，因?yàn)?8厘米的高跟鞋幾乎是不能穿的。

解決問題所需要的模型有兩個(gè)：一個(gè)是“黃金比線段”，另一個(gè)是“一元一次方程”。對于前者，在解決問題的過程中，需要學(xué)生在心中事先擁有這個(gè)模型，需要將現(xiàn)實(shí)問題抽象為“黃金比線段”模型;后者是作為工具出現(xiàn)的模型——一元一次方程模型，但其建立模型的過程被簡化了。上述問題的實(shí)際教學(xué)中，不僅需要幫助學(xué)生親身經(jīng)歷建立模型、解決問題的過程，更要明晰其中的兩個(gè)模型——“黃金比線段”“一元一次方程”，而不僅僅為了解決這一問題，其最終目的在于不斷提升學(xué)生問題解決的綜合能力。

2.將數(shù)學(xué)建模的教學(xué)融入方程、函數(shù)、不等式等核心概念的教學(xué)之中

“方程”概念的形成過程，可以充分體現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的模型思想。

例如：樂樂用72元買了10份漢堡包和爆米花，如果漢堡包每份8元，爆米花每份6元，那么，她買了幾份漢堡包呢？

第一步，分析問題，尋找關(guān)系，并用自然語言刻畫。問題中存在多個(gè)量，這些量之間存在一些關(guān)系，其中存在的相等關(guān)系是：

買漢堡包所需錢數(shù)+買爆米花所需錢數(shù)=總錢數(shù)

漢堡包份數(shù)+爆米花份數(shù)=總份數(shù)

漢堡包單價(jià)×漢堡包數(shù)量=買漢堡包所需錢數(shù)

爆米花單價(jià)×爆米花數(shù)量=買爆米花所需錢數(shù)

第二步，用半符號語言表達(dá)關(guān)系。如果我們用●表示漢堡包的份數(shù)，用■表示爆米花的份數(shù)，那么，上面的關(guān)系可以表示成：

●份+■份=總份數(shù)（10份）

8元/份×●份+6元/份×■份=總錢數(shù)（72元）

學(xué)生從一份漢堡包開始，分組驗(yàn)證;……

第三步，用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)關(guān)系。設(shè)買漢堡包x份，那么，上述關(guān)系可表示為：

x份+■份=10份

8元/份×x份+6元/份×■份=72元

于是，可以用（10-x）份表示爆米花的份數(shù)，從而，可將上面的關(guān)系式簡寫為：8x+6（10-x）=72。

上述過程可以用圖表示，如圖3所示：

在上述過程中，我們首先發(fā)現(xiàn)用自然語言描述的關(guān)系，而后用半符號語言、數(shù)學(xué)符號語言逐次表示關(guān)系，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，簡稱數(shù)學(xué)建模。像8x+6（10-x）=72這樣含有未知數(shù)的等式叫作方程。

至于解方程，其基本思路就是，將含有未知數(shù)的項(xiàng)放在方程的一邊，將不含未知數(shù)的項(xiàng)放在另一邊，進(jìn)行代數(shù)式化簡和計(jì)算，即可將方程化為ax=b的形式，進(jìn)而求出方程的解。

利用一元一次方程解決問題，核心在于方程的建模過程，即：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系[？]用等式表達(dá)關(guān)系[？]用符號語言表達(dá)關(guān)系[？]用含有未知數(shù)的方程表達(dá)關(guān)系[？]一元一次方程。解方程的要點(diǎn)在于“化繁為簡、化生為熟”的化歸思想。

對初中生而言，方程學(xué)習(xí)的核心，一方面在于數(shù)學(xué)建模，另一方面在于解方程：一元一次方程比較全面地展示了其中所蘊(yùn)含的模型，即用等號將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊相互等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用自然語言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。對于后者（即解方程），關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，即將新問題劃歸為以前可以解決的問題，利用已掌握的算法加以解決。這種化歸、迭代的思想正是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基本思想。

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們必須幫助學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的聯(lián)系，體會方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一種提煉過程，是用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的一種過程。

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，方程、函數(shù)（小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含函數(shù)的完整內(nèi)容，只是沒有出現(xiàn)“函數(shù)”一詞）、不等式等核心數(shù)學(xué)內(nèi)容，都可以有效體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。即：由數(shù)量抽象到數(shù)，由數(shù)量關(guān)系抽象到方程、函數(shù)（如正反比例）等;通過推理計(jì)算可以求解方程;方程模型構(gòu)建必須經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問題中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系并用自然語言表達(dá)，而后采取恰當(dāng)?shù)陌敕栒Z言表達(dá)等量關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換成符號語言表達(dá)等量關(guān)系并將已知與未知聯(lián)系在一起，形成刻畫等價(jià)關(guān)系的方程（模型）的過程。有了方程等模型，就可以把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，而不同的模型所表達(dá)的內(nèi)容不盡相同，各自有所側(cè)重。

將數(shù)學(xué)建模的教學(xué)融入基本概念的日常教學(xué)之中，采取滲透、專題和系統(tǒng)梳理等途徑，是數(shù)學(xué)模型的課程教學(xué)實(shí)施的成功策略。

總之，通過義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn);認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在社會、科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

責(zé)任編輯? 姜楚華

孔凡哲

教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院副院長、二級教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學(xué)教育碩士學(xué)位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數(shù)學(xué)命題專家，國家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組核心成員，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組成員，教育部中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測專家、教育現(xiàn)代化縣級示范區(qū)評估專家、哲學(xué)社會科學(xué)重大重點(diǎn)項(xiàng)目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項(xiàng)目12項(xiàng);出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學(xué)?？茖W(xué)研究（人文社會科學(xué)）優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎等獎項(xiàng)。