李文靜 邵燕靈

摘 要：針對三圈圖種類較多且路矩陣復雜度較高的問題，運用矩陣分析方法、根的存在性定理及不等式的放縮，研究了2類三圈圖有無懸掛點時的路能量。首先，分別給出2類三圈圖有無懸掛點時的4種路矩陣，利用矩陣分析方法對實對稱矩陣分塊得出對應的特征多項式，由根的存在性定理及韋達定理判定出正負特征值的個數(shù)并估計出取值范圍;其次，通過不等式的放縮求出2類三圈圖有無懸掛點時的路能量。結(jié)果表明，2類三圈圖在有無懸掛點時路矩陣負特征值的個數(shù)及取值范圍是不一樣的，對應的路能量也是不一樣的。所得結(jié)果對后續(xù)三圈圖的路能量極值問題研究具有一定的借鑒價值，也有利于推測相關(guān)化學分子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：圖論;實對稱矩陣;特征值;三圈圖;路矩陣;路能量

中圖分類號：O157.5?文獻標識碼：A

文章編號：1008-1542（2020）04-0334-07

doi：10.7535/hbkd.2020yx04006

圖能量的研究來源于對化學分子結(jié)構(gòu)的研究。20世紀70年代，著名數(shù)學化學家GUTMAN[1]最先提出了圖能量的概念，將其定義為圖的鄰接矩陣特征值的絕對值之和。顯然，研究圖能量的關(guān)鍵就是研究圖的鄰接矩陣特征值，即與圖譜有關(guān)，在文獻[2—3]中可查閱關(guān)于圖譜的性質(zhì)。研究圖能量的方法一般依據(jù)的是矩陣理論，關(guān)于矩陣的一些研究方法及結(jié)論可參考文獻[4—5]。隨著圖能量的提出，許多學者對各種簡單圖類的能量的界展開了研究，并去刻畫相對應的極值圖，陸續(xù)提出了拉普拉斯能量、無符號拉普拉斯能量、距離能量及Randic'能量等各種能量的定義，關(guān)于這些能量的研究可參考文獻[6—12]。

PATEKAR等[13]提出了圖的路矩陣定義，研究了完全圖、樹、單圈圖、完全二部圖及正則圖等簡單圖類的路矩陣特征值及相關(guān)性質(zhì)。SHIKARE等[14]探究了一些簡單圖路矩陣的譜半徑及路能量，提出了關(guān)于樹、單圈圖和雙圈圖的路能量的極值猜想。AKBARI等[15]證明了上述猜想，得到了n階連通圖的路能量的下界是2（n-1），證明了其極值圖是樹，還確定了n階單圈圖的路能量是關(guān)于圈長k的增函數(shù)，因此分別在k=n和k=3時得到最大值和最小值;文獻[16]研究了n階雙圈圖的路能量，得到當2個圈恰有1個公共點時取得最大路能量，當2個圈恰有1條公共路時取得最小路能量。更多關(guān)于路能量與路拉普拉斯矩陣和對應的路拉普拉斯能量的研究參考文獻[17—19]。

3?結(jié)?語

通過對2類特殊三圈圖的路矩陣進行分塊，采用矩陣分析方法，得出了對應的特征多項式，根據(jù)根的存在性定理估計出特征值的取值范圍，分別證明得到了2類三圈圖有無懸掛點時的路能量。

本研究僅研究了2類三圈圖的路矩陣和對應的路能量，其余種類的三圈圖的路矩陣更為復雜，分塊塊數(shù)更多，應用目前方法研究比較困難。今后將會采用新方法研究其余種類三圈圖的路矩陣和路能量，以期得到三圈圖路能量的極值圖。

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