真理A：數(shù)學(xué)學(xué)科復(fù)習(xí)的最大意義在于增加“固定部分”

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)對(duì)應(yīng)出口（即高考成績(jī)）造就的成果，可以分為“固定部分”和“浮動(dòng)部分”。所謂固定部分，指的是那些考生學(xué)的特別通透而清晰、體現(xiàn)在結(jié)果（解題）上順暢程度較高的章節(jié)或?qū)ｎ}，簡(jiǎn)而言之，就是考生對(duì)高考數(shù)學(xué)“心里很有底”的部分，只要考，就有大概率拿（滿(mǎn)）分;所謂“浮動(dòng)部分”，指的是那些考生學(xué)的似懂非懂、體現(xiàn)在結(jié)果上（解題）得分或然性較強(qiáng)的章節(jié)或?qū)ｎ}，也就是考生對(duì)考試“心里沒(méi)底”的部分，所以“浮動(dòng)部分”實(shí)則可以簡(jiǎn)稱(chēng)為“運(yùn)氣部分”。對(duì)于某次特定的考試，特定考生的成績(jī)一定有浮動(dòng)部分（運(yùn)氣）的存在，但最主要的影響因素一定是“固定部分”（近似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)期望）。

真理B：數(shù)學(xué)作為形式科學(xué)，對(duì)與錯(cuò)界限清晰

很多人曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)做出過(guò)“自然科學(xué)”的定性，實(shí)際情況是：數(shù)學(xué)是形式科學(xué)。這意味著數(shù)學(xué)的概念、公式、定理均是絕對(duì)正確和毋庸置疑的，形式科學(xué)是邏輯和先驗(yàn)方法的科學(xué)，任何經(jīng)驗(yàn)性的判斷均對(duì)它的有效性不構(gòu)成實(shí)質(zhì)性影響。例如，很多考生擔(dān)心類(lèi)似“數(shù)形結(jié)合”、“反證法”等在高考判卷中會(huì)遇到不公平對(duì)待，這種擔(dān)心完全是多余的，依據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，判卷環(huán)節(jié)中，給考生作答賦分的最主要兩個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)——一是結(jié)果正確（計(jì)算無(wú)誤）、二是邏輯清晰（言之有理）。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解，是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值能否應(yīng)用在除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之外的核心前提。

真理C：高考命題更偏向深刻性而非復(fù)雜程度

這是全國(guó)卷命題和其它試題命題的重要差別。眾所周知，高考的核心功能是通過(guò)分?jǐn)?shù)實(shí)現(xiàn)人才選拔，因此，在大樣本的前提下，高得分考生和低得分考生的核心差別也應(yīng)是國(guó)家人才選拔標(biāo)準(zhǔn)的體現(xiàn)。如果把解答數(shù)學(xué)試題的必備要素形象地分為“技術(shù)工種”和“熟練工種”，“技術(shù)工種”決定或影響了考生“會(huì)不會(huì)做”，“熟練工種”決定或影響了考生“能否算對(duì)”，那么以現(xiàn)在的時(shí)代背景，很顯然思考或理解的深度比計(jì)算的熟練程度更加重要。成功解答復(fù)雜程度較高（題目文字量大、條件較多、解題步驟繁瑣等）的試題，當(dāng)然能說(shuō)明考生潛在的底蘊(yùn)深厚或能力較強(qiáng)，但也很容易誤傷了很多對(duì)數(shù)學(xué)有深刻理解或是創(chuàng)新思維發(fā)達(dá)的人才。相比之下，偏重深刻性（知識(shí)本質(zhì)、數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)思想等）的試題，則更能公平地選拔出符合時(shí)代背景要求的人才。

現(xiàn)實(shí)A：很多考生經(jīng)歷著“形式大于意義”的復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)科復(fù)習(xí)最高效的過(guò)程應(yīng)是“用少數(shù)資源引導(dǎo)感性認(rèn)識(shí)（初識(shí)現(xiàn)象）、用適量資源滋生理性認(rèn)識(shí)（理解本質(zhì)）、用適量資源鞏固理性認(rèn)識(shí)（見(jiàn)多識(shí)廣）”?？v觀諸多考生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際過(guò)程，每一輪復(fù)習(xí)都相當(dāng)于在以不同的速度做題，所謂的“知識(shí)總結(jié)”太過(guò)急促，所謂的“專(zhuān)題總結(jié)”太過(guò)形式與表面，并未出現(xiàn)足夠的理性認(rèn)識(shí)（數(shù)理邏輯層面或是操作體驗(yàn)中“通性通法”的層面）。盡管足夠的量變定能產(chǎn)生質(zhì)變，但對(duì)于高考復(fù)習(xí)來(lái)講（尤其針對(duì)全國(guó)卷命題特點(diǎn)的復(fù)習(xí)），如果復(fù)習(xí)模式與方法不得當(dāng)，一年的時(shí)間相比能產(chǎn)生大面積質(zhì)變的時(shí)間還是捉襟見(jiàn)肘不少，這也是為什么多數(shù)專(zhuān)家均不提倡用盲目的題海戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科的復(fù)習(xí)。

現(xiàn)實(shí)B：很多考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以“聽(tīng)懂看懂”為衡量標(biāo)準(zhǔn)

盡管近年的高考數(shù)學(xué)在難度上有明顯的下降趨勢(shì)，但多數(shù)學(xué)校對(duì)復(fù)習(xí)并沒(méi)有降低要求，依然和之前的年份大同小異。對(duì)2019年全國(guó)二卷的高考數(shù)學(xué)試題，絕大多數(shù)考生大呼難度大，但在很多專(zhuān)家眼中則并沒(méi)有那么夸張，究其原因，和考生對(duì)“形式創(chuàng)新”（而非內(nèi)在創(chuàng)新）的適應(yīng)能力降低是有直接關(guān)系的。對(duì)于平時(shí)習(xí)慣了以“聽(tīng)懂看懂”為學(xué)習(xí)合格與否的衡量標(biāo)準(zhǔn)的考生來(lái)說(shuō)，試題的形式和內(nèi)容是考生記憶的核心對(duì)象。相比之下，善于深度思考和對(duì)知識(shí)理解深刻的考生，則以提煉的數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)思維等作為試題的存儲(chǔ)方式，這種考生也更具靈活駕馭“形式創(chuàng)新”的能力。

現(xiàn)實(shí)C：很多考生刷過(guò)的（大）部分試卷是遠(yuǎn)離高考的

成熟的科技界中，“標(biāo)準(zhǔn)（化）”是必不可少的核心概念，高考命題（尤其數(shù)學(xué)這種偏理科的科目）中，“標(biāo)準(zhǔn)化”落實(shí)的越扎實(shí)，就越有利于公平測(cè)試與有效選拔?；谝陨显蚩芍呖紨?shù)學(xué)命題，命制的整卷是標(biāo)準(zhǔn)化的“產(chǎn)品”，例如，命題雙向細(xì)目表的制定與落實(shí)和大樣本分層抽樣實(shí)測(cè)，都是完整命題過(guò)程的必要環(huán)節(jié)。相比之下，很多非高考實(shí)考的試卷，例如模擬考試卷、習(xí)題冊(cè)中的套卷等，命題的主觀性相對(duì)較強(qiáng)（主觀臆斷的因素較多），里面很多題目（尤其難度較大的題目）的命制背后，多為打造“藝術(shù)品”而非打造標(biāo)準(zhǔn)化的“產(chǎn)品”。

策略A：堅(jiān)持“專(zhuān)題優(yōu)于套卷”的大原則

專(zhuān)題與套卷的對(duì)比，實(shí)則是單項(xiàng)與綜合的對(duì)比。在高考數(shù)學(xué)中，所謂“綜合”其實(shí)是個(gè)虛幻的概念，直接原因如下——組成高考數(shù)學(xué)全卷的二十余道試題，多數(shù)試題涉及的章節(jié)（或?qū)ｎ}）都是單一的，即使少數(shù)題有一定的綜合性（涉及多個(gè)章節(jié)的知識(shí)），也只是若干專(zhuān)題的拼盤(pán)。形成這一現(xiàn)象的根本原因，還得用“數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)為形式科學(xué)”來(lái)解釋?zhuān)總€(gè)數(shù)理邏輯都能獨(dú)立存在或者被單獨(dú)詮釋。所以，如果所有專(zhuān)題都學(xué)的特別明白，綜合起來(lái)也一定如魚(yú)得水。換句話(huà)說(shuō)，依據(jù)數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力的養(yǎng)成機(jī)理，鑄就理想分?jǐn)?shù)的最高效方法，并不是靠“綜合”練“綜合”這一看起來(lái)很對(duì)應(yīng)的方式，而是靠“專(zhuān)題”練“綜合”這一更符合數(shù)學(xué)認(rèn)知機(jī)理的方式。

策略B：形成正確的思維方式和認(rèn)知習(xí)慣并使之常態(tài)化

幾乎所有的高考數(shù)學(xué)試題都是某個(gè)或某些數(shù)理邏輯的現(xiàn)象級(jí)表現(xiàn)，所以對(duì)待數(shù)學(xué)試題正確的思維方式以及對(duì)學(xué)習(xí)成果的存儲(chǔ)方式絕不是就題論題，而應(yīng)是注重從現(xiàn)象到本質(zhì)的思考與同一邏輯的不同解釋?zhuān)础耙活}多解”）。例如，《函數(shù)》章節(jié)里“函數(shù)產(chǎn)生到應(yīng)用遵循的特殊一般特殊規(guī)律”、《數(shù)列》章節(jié)里“由遞推關(guān)系到通項(xiàng)公式”、《解析幾何》章節(jié)里“坐標(biāo)輪換式的表現(xiàn)與應(yīng)用”這幾項(xiàng)數(shù)理邏輯來(lái)說(shuō)，就有很多考生在高中階段一直理解的不足夠深刻，導(dǎo)致面對(duì)不同表象同一本質(zhì)的問(wèn)題會(huì)有不一樣的反應(yīng)。堅(jiān)持正確的思維方式還需很注重獨(dú)立思考，對(duì)自己的想法要持“保護(hù)”的狀態(tài)（在獨(dú)立思考之前盡量不要看答案或者直接聽(tīng)講）。

策略C：用大數(shù)據(jù)輔佐數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資源的遴選

既然復(fù)習(xí)備考的目標(biāo)是高考，則最符合高考標(biāo)準(zhǔn)的試題即為優(yōu)質(zhì)的備考資源。然而，選擇優(yōu)質(zhì)的備考資源是很多希望打造數(shù)學(xué)好成績(jī)的考生容易忽略的問(wèn)題，畢竟高考真題的資源是有限的。如何判斷備考資源是否優(yōu)質(zhì)，看（基于大樣本的）試題數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)便是最直觀有效的手段。其中，難度較低的試題只要符合“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”與“考試大綱”即可，難度較高的試題最好兼具較高的區(qū)分度（選拔性）。另外，高考數(shù)學(xué)難題的題面往往都是非常簡(jiǎn)潔的（靠?jī)?nèi)在邏輯彰顯深度）。隨著大數(shù)據(jù)技術(shù)不斷走向深入，對(duì)數(shù)學(xué)試題的屬性標(biāo)定和對(duì)學(xué)生作答情況的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)也會(huì)越來(lái)越詳實(shí)而科學(xué)，考生可有效利用的資源也會(huì)日臻豐富。

作者簡(jiǎn)介：孫煥彥（1983.7—），男，漢族，籍貫：遼寧沈陽(yáng)人，工作單位：長(zhǎng)春博大教育集團(tuán)，碩士學(xué)位，專(zhuān)業(yè)：科學(xué)技術(shù)哲學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)哲學(xué)