摘 要：數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的起點，也是數(shù)學(xué)抽象的一個重要表現(xiàn)，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提出的理論。本文結(jié)合APOS理論，以必修4弧度制的概念教學(xué)為例，探討在實際教學(xué)中如何凸顯概念的本質(zhì)，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育，提高高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：APOS理論;概念教學(xué);弧度制;教學(xué)設(shè)計

一、APOS理論概述

上世紀(jì)60年代，美國數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家杜賓斯基等人提出了APOS理論，該理論是對皮亞杰“自反性抽象”的延伸和拓展。杜賓斯基認(rèn)為，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，如果個體經(jīng)過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，一般就能在建構(gòu)和反思的基礎(chǔ)上，把它們組織成用以解決問題情境的圖式結(jié)構(gòu)[1]。APOS理論主要包括Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）四個過程。

1、第一階段——活動（Action）階段

“活動”階段是指學(xué)習(xí)者通過一系列的操作活動初步認(rèn)識數(shù)學(xué)對象。教師利用學(xué)生熟悉的生活實例創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過觀察、運算、實驗、類比、猜想、判斷等一系列活動建構(gòu)知識。這一階段為數(shù)學(xué)概念的初步形成打好基礎(chǔ)，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點，是完善數(shù)學(xué)概念的前提基礎(chǔ)。

2、第二階段——過程（Process）階段

“過程”階段是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，是學(xué)習(xí)者對前面活動的進(jìn)一步思考，是對“活動”階段的抽象概括。在外在的實際活動和內(nèi)在的思維操作之后，學(xué)生逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并對概念進(jìn)行一般化的概括，是確立數(shù)學(xué)概念的必要準(zhǔn)備，也是學(xué)生概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段。

3、第三階段——對象（Object）階段

“對象”階段是指學(xué)習(xí)者對前面兩個階段的活動進(jìn)行深入地思考，歸納和概括出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，用相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖终Z言描述這一屬性[2]，并進(jìn)行數(shù)學(xué)符號化表示，成為一個具體的對象，并能夠?qū)⑵渥鳛樾碌臄?shù)學(xué)對象參與到其他數(shù)學(xué)問題的研究過程。

4、第四階段——圖式（Schema）階段

經(jīng)過前三個階段，概念此時作為數(shù)學(xué)對象，與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整合形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識網(wǎng)絡(luò)，就是“圖式”階段。這一階段是對概念進(jìn)行綜合的心理加工和整合，在概念間形成實質(zhì)性的聯(lián)系，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對概念的認(rèn)識逐漸深化，在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐漸體現(xiàn)。

二、基于APOS理論的弧度制概念教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)分析

弧度制的概念是三角函數(shù)的重要概念之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)。由必修一中函數(shù)的定義可知，函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)。而在初中所學(xué)的三角函數(shù)自變量是角，這與學(xué)生現(xiàn)有的知識產(chǎn)生了矛盾，而弧度制的定義方式則是完美的實現(xiàn)了角和實數(shù)之間的一一對應(yīng)，有效的解決了這一認(rèn)知沖突。然而，教材中對于弧度制的介紹卻十分簡單，只是通過類比引出弧度制，給出1弧度的定義。教師在教學(xué)時也只是將弧度制作為工具性知識，一筆帶過，這都是造成學(xué)生對弧度制概念理解有困難的原因?；诖耍枚刨e斯基的APOS理論對弧度制的教學(xué)做如下設(shè)計。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷弧度制概念的形成過程，理解弧度的意義，并能正確進(jìn)行弧度與角度的換算;

（2）了解角的集合與實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系;

（3）從初中角度制的弧長與扇形的面積公式，推算出弧度制下的弧長與扇形的面積公式，解決簡單的實際問題

教學(xué)重點：弧度制的定義，弧度制與角度制的換算

教學(xué)難點：學(xué)習(xí)弧度制的必要性，正確理解弧度制的意義

（二）教學(xué)過程

1、活動階段——情景引入，形成直觀認(rèn)識

在扳手?jǐn)Q緊螺帽的過程中，扳手的轉(zhuǎn)動與螺帽的轉(zhuǎn)動之間有什么聯(lián)系？

教師提示：將實際生活情景抽象成數(shù)學(xué)問題，螺帽從A1轉(zhuǎn)到到B1，扳手的另一端從點A轉(zhuǎn)動到點B，在這個過程中，幾何數(shù)量之間具有哪些相等和不等關(guān)系？

學(xué)生活動：因為扳手轉(zhuǎn)動的弧長更大，所以點A轉(zhuǎn)動的弧長與點A1轉(zhuǎn)動的弧長不相等，兩弧所在圓的半徑也不相等，但點A和點A1轉(zhuǎn)動的角度相等。

設(shè)計意圖利用學(xué)生熟悉的生活場景引入，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。扳手?jǐn)Q緊螺帽是學(xué)生熟悉的生活體驗，但其中蘊(yùn)含的“弧長與半徑比值為定值”的數(shù)學(xué)元素，是陌生的、抽象的，該階段主要讓學(xué)生初步感受到弧度制度量角的合理性。

2、過程階段——提問設(shè)疑，抽象概念本質(zhì)

問題1上圖中扇形A1OB1與扇形AOB相似，即你能證明嗎？

學(xué)生活動：根據(jù)初中學(xué)過的弧長公式（其中n是圓心角的角度數(shù)）。在扇形A1OB1中，;在扇形AOB中，，所以。

教師活動：在上述證明中，我們不僅可以得到，還發(fā)現(xiàn)，即只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角α確定，也是唯一確定的。

設(shè)計意圖對于弧度制這節(jié)課，大多數(shù)是通過其他單位制中，例如長度可以用“厘米”“米”“千米”來度量，進(jìn)而引入角的新的度量方式——弧度制。這樣的引入并不能使學(xué)生真正認(rèn)識到弧度制的作用，只是簡單的將其看做是角的另一種度量形式，就是數(shù)學(xué)中的一種規(guī)定。上述教學(xué)設(shè)計則是依托具體數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、猜想、求證等過程，認(rèn)識到為什么要這樣規(guī)定，以及這么規(guī)定的合理性，讓學(xué)生理解弧度制的本質(zhì)。

3、對象階段——探究反思，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

問題2用α=度量角，角的單位是什么？

問題3角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算？分組探究并完成下表

問題4任意角都可以用l與r的比值表示嗎？

設(shè)計意圖通過上述幾個問題的探究，學(xué)生在實際操作中理解兩種度量方式是相通的，進(jìn)而掌握弧度制與角度制之間的互換。并且，角的符號表示旋轉(zhuǎn)方向，正角、零角、負(fù)角分別用正數(shù)、零、負(fù)數(shù)表示，建立弧度制下角與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

4、圖式階段——練習(xí)鞏固，建立心理圖式

例4已知扇形的周長為10，圓心角為3rad，求該扇形的面積

問題5通過本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？

設(shè)計意圖學(xué)生經(jīng)過前面三個階段的學(xué)習(xí)后，基本建立了如下的心理圖示：弧度制是用弧長和半徑來度量角的一種方式，弧度制與角度制之間可以互相轉(zhuǎn)換，弧度制實現(xiàn)了實數(shù)與角之間的一一對應(yīng)關(guān)系等。通過上述例題，鞏固學(xué)生對弧度制的認(rèn)識，正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，掌握弧度制下的弧長和扇形面積公式，利用弧度制解決某些簡單的實際問題。最后由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識點，并與原有的圖式進(jìn)行整合，建立起綜合的心理圖式。

三、結(jié)束語

APOS教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)需要學(xué)生主動建構(gòu)，在“操作階段”感知數(shù)學(xué)、在“過程階段”抽象數(shù)學(xué)概念、在“對象階段”歸納數(shù)學(xué)本質(zhì)、在“圖式階段”建構(gòu)知識體系。這四個階段也與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切相關(guān)：弧度制概念的建立，經(jīng)歷了從實際生活抽象出研究對象的過程，以問題激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生主觀思考與推理，其中也有一些直觀思維的參與，這都吻合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象。

總之，APOS理論對數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有很好的指導(dǎo)意義，要實現(xiàn)課堂教學(xué)從“灌輸”到“建構(gòu)”的轉(zhuǎn)變，需要教師更多的設(shè)計與探究，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

參考文獻(xiàn)

[1]周繼云.基于APOS理論的初中函數(shù)教學(xué)研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2010.

[2]李琛.基于APOS理論下的對數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀探究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2018

作者簡介：李若璕（1993年2月，女，籍貫江西撫州，福建省廈門實驗中學(xué)，中學(xué)二級，華中師范大學(xué)，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)，碩士學(xué)位，研究方向數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)）