在ZF系統(tǒng)的影響下，希爾伯特用公理化方法寫出《幾何基礎(chǔ)》一書之后，于1922年著手制定著名的“希爾伯特綱領(lǐng)”，即一個使數(shù)學(xué)中永遠消除悖論的方案.他的基本思路是：

（1）先把古典數(shù)學(xué)的內(nèi)容公理化進而形式化，使之成為用形式符號和符號序列組成的系統(tǒng)，并用TF表示;

（2）用有限方法證明TF的無矛盾性;

（3）在TF中不會有某個命題A，使A與非A可以同時推出.

這里要特別說明一下（2）中關(guān)于有限方法問題：由于古典數(shù)學(xué)的無矛盾性問題是由實無限引起的，古典的邏輯演算也假定了實無限.所以，如果仍然使用以實無限為前提的思想方法或工具去論證古典數(shù)學(xué)的無矛盾性，會犯循環(huán)論證的邏輯錯誤. 希爾伯特所用方法的特點是：

（1）每一步只考察確定的有限數(shù)量的對象，只承認潛無限;

（2）全稱命題表達的規(guī)律對其中每一個具體對象都必定是可以驗證的;

（3）對于存在性判斷必須直接給出一個特定對象，或給出一個其步驟有特定界限的方法來得到那個對象（因此排中律對涉及無限的命題不能用）;

（4）只能有限制地使用數(shù)學(xué)歸納法.

當這一綱領(lǐng)在當年出爐之后，不少數(shù)學(xué)家立即著手開展工作，并很快取得成績.意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾以五條自然數(shù)公理為出發(fā)點，為算術(shù)理論形式化奠定了基礎(chǔ).他證明了只含加法的算術(shù)公理系統(tǒng)是無矛盾的.

希爾伯特在三年后出版的《論無窮》一書中信心十足地說：“每一個明確的數(shù)學(xué)問題，必能被正確地解答，因為在數(shù)學(xué)中沒有不可知的.”

1930年，他又在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書中更明確地提出：“我力圖用建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的辦法達到一個有意義的目標，這種方法可以恰當?shù)乇环Q為證明論.我想把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中所有的問題按照其現(xiàn)在提出的形式一勞永逸地解決.換言之，即把每一數(shù)學(xué)命題都變成一個可以具體表達的和嚴格推導(dǎo)的公式.經(jīng)過這樣改造的數(shù)學(xué)所推導(dǎo)出來的結(jié)果就會無懈可擊，同時又能為整個科學(xué)描繪一幅合適的景象.我相信我能用證明論達到這一目標.”

雖然如此，只要回憶數(shù)學(xué)中四大學(xué)派之間的激烈爭論，我們就不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的相容性和完備性作為公理化進程中必須解決的兩大問題仍在繼續(xù)困擾著早已名不副實的“數(shù)學(xué)共同體”.

就在持有各種不同觀點的數(shù)學(xué)家們?yōu)閿?shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題展開激烈爭論，形式主義的領(lǐng)軍人物希爾伯特滿懷信心打造他的“證明論”，并確信他的“元數(shù)學(xué)”和證明論將成功地確立全部數(shù)學(xué)相容性和完備性的時候，奧地利旅美數(shù)學(xué)家哥德爾于希爾伯特發(fā)表上述言論的當年9月，在哥尼茲堡的數(shù)學(xué)研討會上公布了他的研究成果：數(shù)論相容的形式系統(tǒng)的不完備性.其中一個核心定理，被后人稱為哥德爾不完備性定理.該定理的推證過程寫在哥德爾的代表作《論數(shù)學(xué)原理和有關(guān)系統(tǒng)I的形式不可判定命題》中.定理向人們揭示出，在任何包含初等數(shù)論的相容的形式系統(tǒng)中，存在不可判定命題，即該命題和它的否定命題在這一系統(tǒng)中都既無法證其真，也無法證其假.由此又可推出：一個包含初等數(shù)論形式系統(tǒng)的相容性，在該系統(tǒng)內(nèi)也是不可證明的.這一結(jié)論作為前一定理的推論常被稱為哥德爾第二定理.

正當數(shù)學(xué)家們?nèi)褙炞⒌仄诖龜?shù)學(xué)大師希爾伯特“一勞永逸地解決”“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中所有的問題”時，出現(xiàn)了這種嚴重危及基礎(chǔ)的事，后果是可以想象的.哥德爾的論文發(fā)表后，在數(shù)學(xué)界引起強烈震撼，它無異于證明了數(shù)學(xué)中魔鬼的存在.使剛剛結(jié)束第三次數(shù)學(xué)危機后心情略為舒暢的數(shù)學(xué)家們，又不得不面對一場更為嚴峻的挑戰(zhàn).

哥德爾在證明他的不完備性定理時，創(chuàng)造性地使用了一種將信息轉(zhuǎn)換成數(shù)值的技巧和方法： 他首先將邏輯主義和形式主義者們在數(shù)學(xué)方法中使用的所有符號、符號的順序及構(gòu)成證明的命題或命題集合都統(tǒng)統(tǒng)與自然數(shù)對應(yīng)起來.方法是先為每個數(shù)學(xué)對象、概念或關(guān)系指派一個自然數(shù)：比如1指派給1，2指派給等號，3指派給集合的屬于符號，4指派給2，5指派給加號，……于是符號串1+1=2就變成了1，5，1，2，4，相應(yīng)取出最小的5個素數(shù)2，3，5，7，11，由此可以得到 21·35·51·72·114=1743303870 ，再將自然數(shù)1743303870指派給“1+1=2”，如果注意到該數(shù)只能唯一地被分解，便可知從它開始，原路返回必可得到1+1=2.即是說在“1743303870”與“1+1=2”之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系，顯然這種對應(yīng)是“一一對應(yīng)”.我們把用這種方法得到的數(shù)稱為哥德爾數(shù).類似地，不僅被考察的系統(tǒng)中每個公式有一個哥德爾數(shù)，而且對構(gòu)成證明的整個公式序列，也可得到一個哥德爾數(shù)，該數(shù)的各個因數(shù)的指數(shù)正是每個公式的哥德爾數(shù)（底數(shù)均為由小到大的各個素數(shù)）.顯然，這一過程是可逆的.

哥德爾正是在上述基礎(chǔ)上一步步深入展開其工作的：他一方面使形式系統(tǒng)中“元數(shù)學(xué)”的任何斷言都有指派給它的哥德爾數(shù)，另方面每個這樣的數(shù)又是某個算術(shù)語句的哥德爾數(shù).這樣，“元數(shù)學(xué)”便被映射為算術(shù).接下來再在算術(shù)論斷中去尋找對應(yīng)于某個哥德爾數(shù)的命題是不可證的元數(shù)學(xué)語句.哥德爾不僅證明了這種命題可以構(gòu)造出來，而且還可以通過形式系統(tǒng)允許的更為直觀的推理來確認它是真命題.由此得出結(jié)論，該命題從屬的形式系統(tǒng)如果無矛盾，則必定不完備. 仔細分析后不難發(fā)現(xiàn)，哥德爾處理這一問題時，采用的基本邏輯方法是：對于命題A：A不可證.則A與非A都不可證.原因是： （1）A不能為假.因為，若A為假，即“A不可證”為假，故A不是不可證，這與假命題不可證相矛盾，故A為真; （2）A不可證.因為，若A可證，則“A不可證”為假，即A為假，與（1）中證明的“A為真”相矛盾; （3）由（1）知A為真，故非A為假，即非A不可證. 根據(jù)（2）與（3）知A與非A均不可證.

其實，這種面臨兩難選擇的問題，早在古希臘時期就提出并討論過.當時有個著名的“柏拉圖非存在之謎”，講的是有關(guān)詩神繆斯坐騎的事： 繆斯的坐騎是一匹飛馬，象征著詩的靈感.柏拉圖問：“飛馬存在嗎？”實事求是講，飛馬并不存在.故答曰：“飛馬不存在.”但談?wù)撘粋€不存在的東西是荒唐的，所以談?wù)擄w馬的不存在性是不能成立的.既然“飛馬不存在”不成立，那么“飛馬存在”.但飛馬并不存在，所以“飛馬存在”也不成立.

數(shù)學(xué)家E·拿蓋爾認為：“按照哥德爾的不完備性定理，在初等數(shù)論中，有著無窮無盡的這種問題類，對于它們中的任何一個，無論計算機的構(gòu)造機理多么復(fù)雜，運算速度多么快，也不可能給出答案.” 哥德爾以十分銳利的目光深翻了數(shù)理邏輯這片土地，揭示出即使費九牛二虎之力也無法全面實現(xiàn)希爾伯特綱領(lǐng)的根本原因.

直到19世紀末，人們還以為數(shù)學(xué)與公理化了的各分支的總和具有相同的廣度.但根據(jù)哥德爾不完備性定理可知，不僅數(shù)學(xué)的全部、就是數(shù)學(xué)的任何一個系統(tǒng)也不能用可以算術(shù)化的公理系統(tǒng)來概括.因為在任何這樣的公理系統(tǒng)中，始終存在可以用非形式的論證證明其正確而在系統(tǒng)內(nèi)部無法證明其正確的有意義的命題.換言之，任何這樣的公理系統(tǒng)都是不完備的，公理化的能力存在致命的局限性. 哥德爾得出的又一結(jié)論是：數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相容性也不能證明.即使用任何數(shù)學(xué)方法都不可能借助安全的邏輯原理證實該數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相容性.這意味著我們期望的數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性和有效性實際是不存在的.數(shù)學(xué)家們隨時面臨傳播謬誤的危險，說不準哪一天，在數(shù)學(xué)中突然冒出一個矛盾來.而且這種情況一旦出現(xiàn)，就等于說全部數(shù)學(xué)都變得毫無意義.因為早已被所有數(shù)理邏輯學(xué)家認可的“蘊涵”這一概念允許從一個假命題推出任何命題來.

哥德爾在1940年以后發(fā)表的論文，給數(shù)學(xué)帶來了新的、更大的震撼.他證明了在策梅羅—弗蘭克爾系統(tǒng)中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理都不能被證偽.沿著他的方向，數(shù)學(xué)家柯恩又證明了，在這一系統(tǒng)中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理都是不可判定的. 數(shù)學(xué)的發(fā)展似乎以驚人的相似回到了非歐幾何誕生前夕那個混亂的年代.它面對著多個發(fā)展方向，但數(shù)學(xué)家們又不知道往哪個方向走去為好. 看來，一方面，哥德爾定理是邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)在現(xiàn)代發(fā)展中取得高度成就的前提下產(chǎn)生的.沒有形式化的高度發(fā)展，不會有哥德爾的成就;另一方面，哥德爾定理的出現(xiàn)又突顯出形式化的局限性.哪怕是早已在我們思想中根深蒂固的自然數(shù)的相關(guān)理論，也無法用一個形式系統(tǒng)對其進行完整的刻畫.

馮·諾依曼在1951年授予哥德爾愛因斯坦勛章時說：“哥德爾在現(xiàn)代邏輯方面的成就是無與倫比的、不朽的——確實，它們不只是一座紀念碑，而且是一座其意義由于受時間、空間限制還遠未顯現(xiàn)的里程碑……由于哥德爾的成就，邏輯科學(xué)已完全改變了它的本性和發(fā)展前景.”

無論是邏輯主義、形式主義、還是集合論公理化者，都受到哥德爾理論的沉重打擊.因為，他們都崇尚公理化，但公理化卻是靠不住的.當然，也不排除找到一種優(yōu)于這幾大學(xué)派所使用的邏輯原理和為這些原理所允許的更好的方法的可能性，但無論怎樣，直到現(xiàn)在都尚未在研究前沿出現(xiàn)找到這種原理或方法的跡象. 似乎只有直覺主義者在暗暗高興，因為他們認為人的直覺能保證相容性，哥德爾的結(jié)論等于進一步證明了直覺的可靠性超出了數(shù)學(xué)的證明.直覺主義者的確在滿懷信心地思索著數(shù)學(xué)的未來，但憑他們的“直覺”真能看透并揭示數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)生的一切嗎？！真能解決數(shù)學(xué)中所有問題和矛盾嗎？

對于一個特定的斷言，并非總能找到一個算法判定它是否可以證明.看來，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)也許不能證明，哥德巴赫猜想也許不可判定，無窮小量或許并不存在，集合論不可能無條件公理化……

“事物內(nèi)部存在的矛盾性是推動事物前進和發(fā)展的動力”，從這個意義上講，哥德爾定理的出現(xiàn)，只會給數(shù)學(xué)的發(fā)展注入新的活力.