摘 要：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是指數(shù)函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用問題，可以用來比較兩個(gè)數(shù)的大小、解決含參數(shù)問題，以及指數(shù)不等式和指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題等，巧妙借助指數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可以有效應(yīng)用，巧妙破解.

關(guān)鍵詞：圖象;指數(shù)函數(shù);數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化化歸;分類討論;現(xiàn)實(shí)生活

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0027-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：張?chǎng)埽?982.7-），男，江蘇省常州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最基本的函數(shù)模型之一，也是最重要的函數(shù)模型，是中學(xué)基本初等函數(shù)中非常重要的一種，是高考必考內(nèi)容之一.特別指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其綜合了指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值、定義域、值域、圖象以及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用比較兩個(gè)數(shù)的大小、解決含參數(shù)問題，以及指數(shù)不等式和指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題等.特別對(duì)于其圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是比較常見的題型.

一、數(shù)形結(jié)合巧應(yīng)用

正確作出指數(shù)函數(shù)的圖象，并借助圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合，可以用來解決很多與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.直觀形象，簡(jiǎn)單快捷.

例1 設(shè)函數(shù)y=x3與y=（12）x-2的圖象的交點(diǎn)為（x0，y0），則x0所在的區(qū)間是（? ）.

A.（0，1）? B.（1，2）

C.（2，3）? D.（3，4）

分析 直接判斷x0所在的區(qū)間有圖1困難，而通過作出相關(guān)指數(shù)函數(shù)與函數(shù)y=x3的圖象，數(shù)形結(jié)合來確定兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，進(jìn)而確定x0所在的區(qū)間.

解析 將y=（12）x的圖象向右平移2個(gè)單位，得y=（12）x-2的圖象.

如圖1所示.易見兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足1<x0<2，故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于涉及多個(gè)基本初等函數(shù)的交點(diǎn)問題，或是涉及指數(shù)函數(shù)的方程或不等式問題，經(jīng)常可以合理分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相應(yīng)的函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，直觀明晰，化難為易，快捷處理.

二、化歸轉(zhuǎn)化巧應(yīng)用

在破解一些比較復(fù)雜或不易直接切入的指數(shù)函數(shù)問題時(shí)，往往借助化歸與轉(zhuǎn)化思想，利用相關(guān)條件的化歸與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而把問題具體化，直觀化，方便結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來有效處理，合理化歸，巧妙轉(zhuǎn)化.

例2 已知關(guān)于x的不等式1+2x+（2a+1）4x>0在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 通過對(duì)涉及指數(shù)函數(shù)的不等式恒成立問題加以化歸與轉(zhuǎn)化，引入?yún)?shù)，把相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍問題，達(dá)到等價(jià)轉(zhuǎn)化解決的目的.

解析 由于2a+1>-（14）x-（12）x=-（12）2x-（12）x，令t=（12）x.

∵x>0，∴0<t<1，∴-（12）2x-（12）x=-t2-t.

當(dāng)0<t<1時(shí)，由二次函數(shù)的圖象知-2<-t2-t<0，∴2a+1≥0，解得a≥-12.

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a| a≥-12}.

點(diǎn)評(píng) 化歸與轉(zhuǎn)化思想可以有效實(shí)現(xiàn)抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，同時(shí)實(shí)現(xiàn)不同問題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化與變形.而利用化歸與轉(zhuǎn)化思維，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決指數(shù)函數(shù)問題的很好方法.

三、分類討論巧應(yīng)用

在指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）中，如果涉及的題目中沒有對(duì)底數(shù)a的取值范圍加以確定，往往要根據(jù)題目條件分0<a<1和a>1兩種不同情況加以分類討論，進(jìn)而解決相應(yīng)問題.

例3 設(shè)f（x）=x2-ax<12在（-1，1）上恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 結(jié)合恒成立的不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建熟悉的基本初等函數(shù)，通過指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的構(gòu)建，結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象加以數(shù)形結(jié)合，在此基礎(chǔ)上分類討論，從而得到參數(shù)的取值范圍.

解析 由x2-ax<12Symbol12<ax，在同一坐標(biāo)系中作出y=x2-12與y=ax圖象.

（1）當(dāng)0<a<1時(shí)，在（-1，1）上y=ax圖象在y=x2-12的上方，即y=ax通過B（1，12）或在B的上方，∴a≥12，∴12≤a<1;

圖2

（2）當(dāng)a>1時(shí)，在（-1，1）上y=ax圖象在y=x2-12的上方，即y=ax通過A（-1，12）或在A的上方，∴aSymbolm@@1≥12，即a≤2，∴1<a≤2.

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|12≤a<1或1<a≤2}.

點(diǎn)評(píng) 帶有參數(shù)的函數(shù)問題，特別在利用函數(shù)圖象來分析參數(shù)值時(shí)，根據(jù)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，經(jīng)常利用分類討論來分析與處理，特別對(duì)于指數(shù)函數(shù)問題，底數(shù)情形比較不同，不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，則應(yīng)分類進(jìn)行研究.

四、現(xiàn)實(shí)生活巧應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(shí)，并用于解決實(shí)際問題.在實(shí)際生活中，經(jīng)常有一些對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)模型，可以有效借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與處理.

圖3

例4 如圖所示，已知某池塘中的浮萍蔓延速度所對(duì)應(yīng)的面積y（m2）與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式：y=at，給出以下五個(gè)敘述：

①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a=2;

②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積不低于28m2;

③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過2個(gè)月;

④浮萍每月增加的面積都相等;

⑤若浮萍蔓延的面積為2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時(shí)間分別為t1、t2、t3，則有t1+t2=t3.

其中敘述正確的所有編號(hào)為：.

分析 根據(jù)題目條件，關(guān)鍵在于通過特殊點(diǎn)求出對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的解析式，從而再根據(jù)相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)判斷對(duì)應(yīng)的性質(zhì)等.

解析 取圖象上的點(diǎn)（1，2）代入y=at可得a=2，則①是正確的;

對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2t，當(dāng)t=5時(shí)對(duì)應(yīng)y=25=32>30，則②是正確的;

當(dāng)y=4時(shí)對(duì)應(yīng)t=2，當(dāng)y=12時(shí)對(duì)應(yīng)2t=12，此時(shí)對(duì)應(yīng)的t<4，則從

4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過不到2個(gè)月，則③是錯(cuò)誤的;

對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2t，每月增加的面積都不相等，則④是錯(cuò)誤的;

對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2t，若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時(shí)間分別為t1、t2、t3，則有2t1=2，2t2=3，2t3=6，那么有2t1×2t2=2t1+t2=6=2t3，則t1+t2=t3成立，故⑤是正確的.

綜上分析，其中敘述正確的是：①、②、⑤.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于科學(xué)生活中的指數(shù)函數(shù)問題，關(guān)鍵是把實(shí)際應(yīng)用中的問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、性質(zhì)等加以分析處理，從而得出科學(xué)合理的判斷與推理.以現(xiàn)實(shí)生活為背景材料的新穎的應(yīng)用題已成為高考命題的熱點(diǎn)應(yīng)用之一.

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