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奇偶性在高考中的應(yīng)用

2020-09-10 11:56:45陳建會
數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
關(guān)鍵詞:單調(diào)性奇偶性周期性

摘 要:就近年高考中奇偶性應(yīng)用的常見題型,通過確定函數(shù)類型、確定參數(shù)值、確定解析式、確定函數(shù)圖象以及與單調(diào)性、周期性的交匯等角度加以實(shí)例剖析,闡述奇偶性的應(yīng)用,總結(jié)類型,提升能力.

關(guān)鍵詞:函數(shù);奇偶性;參數(shù);解析式;圖象;單調(diào)性;周期性

中圖分類號:G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A????? 文章編號:1008-0333(2020)34-0039-02

收稿日期:2020-09-05

作者簡介:陳建會(1979.5-),男,河北省滄州人,本科,中學(xué)一級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)類型

例1 (2018·上?!?)已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,則α=.

分析 結(jié)合冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)確定參數(shù)α所滿足的條件,進(jìn)而結(jié)合題目中參數(shù)給出的已知值,求出相應(yīng)α的值,得以正確確定冪函數(shù)的類型.

解析 由于冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,

利用冪函數(shù)的基本性質(zhì),可知α是奇數(shù),且α<0,又α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},可知α=-1,故填答案:-1.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來確定函數(shù)的基本類型問題,關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象與性質(zhì),特別要注意的是對應(yīng)的參數(shù)值與相應(yīng)的性質(zhì)之間的關(guān)系.

二、結(jié)合奇偶性確定參數(shù)值例2 (2019·全國Ⅱ卷理·14)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-eax.若f(ln2)=8,則a=.

分析 結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定f(-ln2)的值,并借助對應(yīng)的函數(shù)的解析式建立相應(yīng)的關(guān)系式,通過求解方程來確定相應(yīng)的參數(shù)值.

解析 由于f(x)是奇函數(shù),則知f(-ln2)=-f(ln2)=-8.

又當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-eax,則有f(-ln2)=

-e-aln2=-8,即-aln2=ln8,得a=-3,故填答案:-3.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來確定相應(yīng)的參數(shù)值問題,關(guān)鍵是根據(jù)題條件,利用函數(shù)的奇偶性建立起相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而通過求解相應(yīng)的方程或?qū)?yīng)的關(guān)系式來達(dá)到確定參數(shù)值的目的.

三、結(jié)合奇偶性確定解析式

例3 (2019·全國Ⅱ文·6)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(? ).

A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1

分析 結(jié)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義得到f(-x)=-f(x),通過已知解析式的轉(zhuǎn)化加以確定當(dāng)x<0時(shí)f(x)的解析式問題,進(jìn)而得以正確判斷.

解析 由于f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),-x>0,可得f(-x)=e-x-1=

-f(x),即f(x)=-e-x+1,

故選擇答案:D.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義以及不同條件下函數(shù)的解析式問題來確定相應(yīng)的解析式問題,關(guān)鍵是正確掌握函數(shù)的奇偶性及其關(guān)系.解決此類問題特別要注意解析式中的符號,不要產(chǎn)生混淆.

四、結(jié)合奇偶性確定函數(shù)圖象例4 (2019·全國Ⅲ理·7)函數(shù)y=2x32x+2-x在[-6,6]的圖象大致為(? ).

分析 結(jié)合函數(shù)的解析式以及函數(shù)奇偶性的定義判斷已知函數(shù)的奇偶性問題,進(jìn)而利用函數(shù)圖象的對稱性來排除相關(guān)的選項(xiàng);再結(jié)合f(4)、f(6)的特殊取值情況繼續(xù)排除相關(guān)的選項(xiàng),從而得以正確判斷.

解析 因?yàn)閒(-x)=2(-x)32-x+2x=-2x32x+2-x=-f(x),所以函數(shù)y=2x32x+2-x為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除選項(xiàng)C;又f(4)=2×4324+2-4=12816+116≈8,排除選項(xiàng)A、D.

故選擇答案:B.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性來判斷函數(shù)圖象問題,往往通過函數(shù)的解析式并結(jié)合奇偶性的定義先確定其奇偶性,從而確定函數(shù)圖象的對稱性,再結(jié)合函數(shù)的其他基本性質(zhì)、特殊點(diǎn)處的取值情況等來分析與判斷.

五、結(jié)合奇偶性與單調(diào)性交匯例5 (2019·全國Ⅲ卷理·11;文·12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則(? ).

A.f(log314)>f(2-3/2)>f(2-2/3)

B.f(log314)>f(2-2/3)>f(-2-3/2)

C.f(2-3/2)>f(2-2/3)>f(log314)

D.f(2-2/3)>f(2-3/2)>f(log314)

分析 結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性加以轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是通過奇偶性把對應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì),結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的大小關(guān)系,進(jìn)而達(dá)到判斷代數(shù)式的大小關(guān)系.

解析 由于f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),可得

f(log314)=f(-log34)=f(log34).

而0<2-3/2<2-1=12<2-2/3<20=1=log33<log34,

又f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

所以f(2-3/2)>f(2-2/3)>f(log34),即f(2-3/2)>f(2-2/3)>f(log314),

故選擇答案:C.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性交匯來處理函數(shù)值的大小比較問題,經(jīng)常借助指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對應(yīng)的指數(shù)冪運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算等相關(guān)內(nèi)容,融合“函數(shù)”與“圖象”加以數(shù)形結(jié)合,是高考中比較熱點(diǎn)的一類常見題型.

六、結(jié)合奇偶性與周期性交匯例6 (2018·全國Ⅱ文·12;理·11)已知f(x)是定義域?yàn)椋?∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(? ).

A.-50?? B.0?? C.2?? D.50

分析 結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性與已知函數(shù)關(guān)系式,通過變形與轉(zhuǎn)化來確定函數(shù)的周期性,再綜合利用奇偶性與周期性的交匯知識,先確定一個(gè)周期內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值,再結(jié)合周期性特征來解決相應(yīng)的函數(shù)值的求解問題.

解析 由于f(x)是定義域?yàn)椋?∞,+∞)的奇函數(shù),且滿足f(1-x)=f(1+x),

可得f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

則知函數(shù)f(x)的周期為T=4.由f(x+1)=-f(x-1),及f(1)=2,可得f(3)=-f(1)=-2.

又f(2)=f(-2)=-f(2),則有f(2)=0,可得f(4)=-f(2)=0.

那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,

故選擇答案:C.

點(diǎn)評 結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性交匯知識來綜合考查函數(shù)的求值問題,破解問題的關(guān)鍵是巧妙綜合利用奇偶性及周期性進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化與變換,進(jìn)而將所求解的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)來分析與求解.

歷年高考都對函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)考查,往往都離不開函數(shù)的奇偶性,此類考題經(jīng)常冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等為背景,綜合基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及相關(guān)的運(yùn)算,有時(shí)單獨(dú)考查奇數(shù)性問題,有時(shí)綜合考查奇偶性與其他相關(guān)性質(zhì)的交匯問題,這一類試題出現(xiàn)在小題(選擇題或填空題)中,難度屬于較易型或中等型.

? 參考文獻(xiàn):

[1]劉經(jīng)平.函數(shù)奇偶性在解題中的應(yīng)用[J].高考,2019(09):203.

[2]張明達(dá).函數(shù)的奇偶性常見題型分析[J].中學(xué)生數(shù)理化(高一數(shù)學(xué)),2018(09):14.

[3]徐玉方.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高考版),2011(02):6.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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